Además si det A00 es no nulo, entonces la solución del sistema es única y por lo tanto habría un único punto que no poseerá recta polar. Este punto se denomina centro de la cónica. No todas las cónicas tienen centro.El centro de la cónica tiene la particularidad de ser su centro de simetría.
Si C es una elipse o una hipérbola entonces det A00 ? 0 y el sistema es compatible determinado lo que indica que estas cónicas tienen centro y que éste es único.Ejemplo:
En la elipse del ejemplo anterior el centro será el punto (2,2) única solución del sistema de ecuaciones
Sin embargo si la cónica es una parábola, todos sus puntos tienen polar. La parábola es por tanto una cónica sin centro.
Polo Dada una recta r diremos que un punto P es un polo de r respecto a una cónica C si r es la polar de P respecto a C
Diámetro Llamaremos diámetro de una cónica C a cualquier recta sin polo.
Las figuras siguientes muestran diámetros en una elipse y una parábola
Diremos que dos diámetros son conjugados si no son asíntotas (en el caso de la hipérbola) y uno de ellos coincide con el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas determinadas por la cónica en las rectas paralelas al otro.
Ecuación reducida
Partiendo de la ecuación general de una cónica se puede llegar a su ecuación reducida aplicándole consecutivamente un giro y una traslación de forma adecuada.
Clasificaremos en tres tipos las ecuaciones reducidas de las cónicas:
Elipse, hipérbola, pares de rectas no paralelas:
Parábola
Pares de rectas paralelas o coincidentes
Ejemplo:
Consideremos la ecuación cuadrática
La matriz de la cónica que define la ecuación anterior será
Veamos que tipo de cónica es calculando sus invariantes
Esto nos indica que es una parábola.
La ecuación reducida de esta parábola será
Las cónicas como lugares geométricos
Si F es un punto fijo del plano y D una recta, el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas distancias al punto F y a la recta D están en proporción constante es una cónica no degenerada (elipse, hipérbola, parábola).
Al punto F se le denomina foco de la cónica y a la recta D directriz asociada al foco F.
Ecuación focal
Si C es una cónica propia (no degenerada), en un sistema de referencia determinado, su ecuación será
Esta ecuación se conoce como ecuación focal de la cónica y a'x+b'y+d'=0 es la ecuación de Euler para la directriz.
Más adelante veremos como se puede obtener la ecuación focal partiendo de la ecuación reducida de la cónica.
La cantidad e se denomina excentricidad de la cónica y es un invariante puesto que, como se comprueba fácilmente,
En términos de distancia, la ecuación focal queda como
Es decir, en una cónica no degenerada el cociente entre las distancias de cualquiera de sus puntos al foco y a la directriz es constante (dada por la excentricidad).
Se puede comprobar que en una cónica la directriz asociada a un foco F es precisamente su recta polar. El foco de la cónica es pues cualquier punto del plano para el que la razón de la distancia de un punto cualquiera P de la cónica a F y la distancia de P a la polar de F es constante
Cónicas no degeneradas
Cónicas con centro
Como hemos visto las cónicas propias (o no degeneradas) con centro son la elipse, dentro de la cual se incluye la circunferencia como caso particular (cuando a11= a22), y la hipérbola. Antes de estudiar cada una de ellas por separado veamos algunas de las características conjuntas que presentan.
Para estas cónicas se definen los ejes de la cónica como un par de diámetros conjugados perpendiculares que son además ejes de simetría de la cónica. Además sólo existe un par de ejes salvo en el caso de la circunferencia en el que hay infinitos.
A continuación vemos como se pueden calcular los ejes.
Consideremos la cónica de ecuación
Su matriz asociada es
El centro de la hipérbola es la solución del sistema
es decir el punto (2/9,-10/9).
Para calcular los ejes de la hipérbola hallamos en primer lugar los autovalores de A00 o lo que es lo mismo las raíces del polinomio característico de A00 es decir necesitamos resolver la ecuación en l det(A00-?I)=0, que en este caso queda
Finalmente escribimos la ecuación reducida de la hipérbola:
La elipse y la circunferencia
Un ejemplo real
La órbita del asteroide Eros
La primera ley de Kepler establece que los planetas describen órbitas elípticas con el sol situado en uno de sus focos. Dicha ley también es de aplicación a otros pequeños cuerpos del sistema solar llamados planetas menores o asteroides.En la animación se muestra, en azul, la órbita prácticamente circular de la Tierra (excentricidad 0.017) y, en rojo, la órbita elíptica (excentricidad 0.223) descrita por el asteroide numerado 433 conocido con el nombre de "Eros". La órbita de Eros está contenida en un plano que forma un ángulo de casi 11 grados con el que contiene a la órbita de la Tierra, también llamado plano de la eclíptica. Lo que se observa en la animación es la proyección de la elipse descrita por el cometa sobre este último plano. Las esferas azul, roja y amarilla indican sólamente la posición de la Tierra, el asteroide y el Sol, sin ser representativas del tamaño de estos objetos. De hecho, ninguno de ellos sería visible en la animación en el caso de que se representarán a escala.El internauta interesado en los objetos que, como Eros, describen órbitas próximas a la de la Tierra puede consultar el sistema NEODyS, donde también encontrará multitud de enlaces a otras páginas relacionadas con el tema.
La elipse como lugar geométrico:
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano para los que la suma de las distancia a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
Supongamos que los focos son F1=(c,0) y F2=(-c,0) y llamemos 2a a la suma de las distancias, entonces los puntos (x,y) de la elipse verifican
simplificando esta ecuación se llega a
Esta es la ecuación reducida de la elipse en la que los ejes coordenados son los ejes de simetría de la elipse y el origen de coordenadas es su centro.
Encontremos la ecuación focal de la elipse
Agrupando términos en la última expresión
En esta ecuación focal tenemos que el foco es el punto (c,0) y la directriz es la recta paralela al eje X: x=a2/c. La excentricidad es e=c/a que es estrictamente menor que 1 puesto que c=(a2-b2)1/2< a.
Una cónica propia es una elipse si la excentricidad es menor que 1: e< 1. Cuando e=0 la elipse es una circunferencia: la excentricidad en la elipse mide, por tanto, lo que ésta se aleja de la circularidad. En la circunferencia los dos focos se confunden y son a su vez el centro de la cónica. En la animación siguiente se ve como varía la elipse al ir disminuyendo su excentricidad.
La hipérbola
Un ejemplo real
La órbita del cometa C/2002 E2 Snyder-Murakami
Los cometas son pequeños cuerpos del sistema solar compuestos fundamentalmente por hielo y polvo. Estos objetos describen órbitas altamente elípticas e incluso parabólicas o hiperbólicas, lo que hace que en raras ocasiones se acerquen al Sol. En la animación se representa en rojo la evolución del cometa C/2002 E2 Snyder-Murakami a lo largo de su órbita hiperbólica (excentricidad 1,000468) en un lapso temporal que abarca desde el año 1998 hasta 2006. En azul está representada la órbita de la Tierra, lo que da una idea de la amplitud del recorrido del cometa. La órbita de C/2002 E2 está contenida en un plano prácticamente perpendicular al que contiene a la órbita de la Tierra, también llamado plano de la eclíptica Para la animación se ha elegido una vista que proyecta todos los objetos sobre el plano de la órbita del cometa, lo que hace que la órbita de la Tierra se vea de perfil.El punto amarillo indica la posición que ocupa el Sol como foco tanto de la órbita casi circular de la Tierra como de la hipérbola descrita por el cometa Snyder-Murakami. Las esferas azul y roja indican sólamente la posición de la Tierra y del cometa, sin ser representativas del tamaño de estos objetos. De hecho, ni la Tierra ni el cometa serían visibles en la animación en el caso de que se representasen a escala.
La hipérbola como lugar geométrico
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano para los que la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante
Operando en esta ecuación se obtiene
De igual forma a como se hizo para la elipse, se consigue la ecuación focal de la hipérbola
Luego las cónicas no degeneradas de excentricidad mayor que 1 son hipérbolas.
Cónicas sin centro
La parábola
Un ejemplo real
La órbita del cometa C/2002 B2 LINEAR
Los cometas son pequeños cuerpos del sistema solar compuestos fundamentalmente por hielo y polvo. Estos objetos describen órbitas altamente elípticas e incluso parabólicas o hiperbólicas, lo que hace que en raras ocasiones se acerquen al Sol. En la animación se representa en rojo la evolución del cometa C/2002 B2 LINEAR a lo largo de su órbita parabólica (excentricidad 1,000) en un lapso temporal que abarca desde el año 1999 hasta 2004. En azul está representada la órbita de la Tierra, lo que da una idea de la amplitud del recorrido del cometa. La órbita de C/2002 B2 LINEAR está contenida en un plano que forma un ángulo de casi 153 grados con el que contiene a la órbita de la Tierra, también llamado plano de la eclíptica . Lo que se observa en la animación es la proyección de la parábola descrita por el cometa sobre este último plano.El punto amarillo indica la posición que ocupa el Sol como foco tanto de la órbita casi circular de la Tierra como de la parábola descrita por C/2002 B2 LINEAR. Las esferas azul y roja indican sólamente la posición de la Tierra y del cometa, sin ser representativas del tamaño de estos objetos. De hecho, ni la Tierra ni el cometa serían visibles en la animación en el caso de que se representasen a escala.
La parábola como lugar geométrico
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo (el foco) y una recta dada (la directriz).
Operando en esta ecuación llegamos a
Para este caso la ecuación focal queda
La excentricidad en la parábola es 1.
Dedicamos este trabajo a cada una de nuestras familias y demás personas que de una u otra manera siempre están con nosotros y nos apoyan en lo que decidimos y optamos por hacer.
Autor:
Josselyn Becerra Zuzunaga
Deyve Briones Cachique
Leandra Cadenas Villanueva
Isaac Herrera Garnique
Julio Huayhua Rodríguez
Joao Julca Romero
Gustavo Morales Flores
Daniela Muñoz Chuquitaype
Pamela Panana Oviedo
Curso: Matemática.
Profesor: Raúl Castro Vidal.E. A. P.: Tecnología Médica.
Área: Terapia Ocupacional.
Ciclo: 2010 – I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE MEDICINA
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