Resumen
Se presenta una reseña de la historia y fundamento de la Conjetura de Poincaré así como ciertas reflexiones sobre su solución por Grigori Perelman. Ademos se realiza un detallado análisis sobre la ecuación diferencial del Flujo de Ricci.
Introducción
La comunidad matemática mundial y en menor medida la física, se conmovió ante la noticia en el 2002, de que un matemático ruso, conocido sólo en un pequeño círculo de especialistas había resuelto uno de los problemas mas famosos de la historia de las matemáticas, planteado en 1904 por el gran matemático, físico y filósofo francés Henri Poincaré, sin que hasta ahora, casi un siglo después, nadie había podido resolver aunque fueron muchos los que lo intentaron.
La Conjetura de Poincaré, como se conoce el famoso problema, ha sido resuelta por el matemático ruso de origen judío Grigori Perelman. Antes que Perelman, se acercaron a la resolución y contribuyeron significativamente a la definitiva, dos eminente matemáticos, R.S, Hamilton y B. Thurston, . Hamilton propició la utilización para el tratamiento del problema, del llamado Flujo de Ricci, del cual se realiza un detenido análisi en el rabajo que aquí se presenta. Perelman en su informe reconoce la contribución de Thurston y de Hamilton, especialmente de este último, la correcta utilización del Flujo de Ricci.
Hamilton fue uno de los mas prodigos en elogios hacia el trabajo de Perelman.
En el trabajo que aquí presentamos además de realizar una bresve alusión a lo que es la Topología, y después de algunos detalles históricos de la Conjetura, de Henri Poincaré y de Grigori Perelma, se da cuenta de los aspectos teóricos del Flujo de Ricci utilizndo un mínimo de la matemática necesaria para una mejor comprensión de lo que se espone. .
Desarrollo
Grigori Yaklevich Perelman, es uno de los mas prestigiosos matemáticos de la actualidad, pero de tal cosa sólo tienen conocimiento los especialistas en una rama de las menos tratadas de la ciencia en cuestión como es el caso de la Topología.
La Topología, también conocida como Analysis Situs, es una variante de la geometría en la que se consideran como equivalentes dos figuras por el hecho de que los puntos que conforman una de ellas pueden ponerse en correspondencia continua uno a uno con los de la otra aunque una aparezca como reproducción distorsionada de la otra. De figuras así relacionadas se dice que son topológicamente equivalentes u homeomórficas. Esas figuras parecen como si una de ellas hubiera sido dibujada en una lámina de goma y la otra fuera el resultado de deformar arbitrariamente la lámina de goma.
Por lo explicado una circunferencia y un cuadrado son topológicamente equivalentes.
Una circunferencia y cualquier figura topológicamente equivalente con ella divide al espacio en una región interior y una exterior. Un anillo o sea la figura limitada por dos circunferencias concéntricas tiene una región interior (el anillo propiamente dicho) y dos exteriores. A la región exterior que queda dentro del anillo y a espacios similares a éste, en topología se les llama agujeros u orificios. A las figuras sin agujeros se les llama simplemente conexas, a las que tienen agujeros se les llama múltiplemente conexas. Figuras simplemente conexas no pueden ser topológicamente equivalentes con figuras múltiplemente conexas. En tres dimensiones por razones análogas a las expuestas la esfera es simplemente conexa y equivalente a otra figura tridimensional simplemente conexa como pudiera ser un cubo o dado.
Sobre estos temas de gran importancia en física y otras disciplinas, es destacado investigador el matemático ruso Grigori Perelman el cual se ha especializado en transformaciones topológicas conocidas como Flujo de Ricci. Además de sus trabajos en San Petersburgo ha realizado relevantes estudios en universidades norteamericanas. En el 2002 anunció al mundo haber resuelto el quizás mas importante problema matemático del milenio, conocido como Conjetura de Poincaré, según la cual todas las estruturas compactas, simplemente conexas, esto es, que cualquier lazo cerrado, dibujado en ellas puede constreñirse hasta un punto sin abandonar la estructura, son homeomórficas de un ente geométrico llamado triesfera.
Cierta analogía formal aunque no muy precisa que me parece advertir enttre la expresión del Flujo de Ricci :
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