Objetivo del texto
El objetivo de este breve texto es ser un nexo entre las muchas explicaciones elementales de la hipótesis de Riemann y los Números Primos, con los complejos y elaborados libros escritos por reconocidos matemáticos. Se ha intentado mantener una línea simple entre el concepto de número primo y los desarrollos realizados por Riemann hasta su conocida Hipótesis, y la consecuencia de ésta sobre la teoría de números. Para explicaciones más exhaustivas o desarrollos contemporáneos, se puede consultar la bibliografía citada al final del presente texto y a partir de éstas consultar otras que pueden proporcionar más claridad sobre el tema.
Capítulo 1
Introducción a los Números Primos
Desde hace 2500 años los números primos atraen la atención de matemáticos y aficionados de todo el mundo, se los califica de misteriosos e indomables ya que no parece existir alguna regla que determine sus ubicaciones entre los demás números naturales.
Se define un número primo como aquel número natural que es solo divisible por si mismo y por la unidad, por definición el número 1 no se considera número primo.
El concepto de número primo ya se conocía en la antigua Grecia en la escuela de Pitágoras (hace 2500 años) y un poco después en las obras de Euclides se incluye la demostración de la existencia de una cantidad infinita de estos números.
Un antiguo y efectivo método para hallar números primos es la criba de Eratóstenes, que consiste en una tabla de números naturales dispuestos en columnas, primero se tachan todos los múltiplos de 2, luego se tachan todos los múltiplos del siguiente número no tachado anteriormente y así sucesivamente, los números que quedan sin tachar son los números primos.
Para saber si un número es primo basta dividirlo por todos los números naturales menores a la raíz cuadrada de dicho número y si no se encuentra ningún divisor entonces el número es primo. Si se encuentra un divisor o si el número es par y mayor que 2 se dice que es un número compuesto. Los números primos son importantes porque son los átomos de las matemáticas, ya que todos los demás números se construyen a partir de ellos en forma de productos.
A medida que avanzamos en la recta numérica los números primos son cada vez más escasos y la distancia entre primos consecutivos se va haciendo cada vez más grande, a estas distancias que son regiones libres de primos se las denomina lagunas o desiertos.
Capítulo 2
La función Zeta y los números primos
Fue Euler en su publicación de 1794 ¨Introductio in analysin infinitorum¨, quien demostró la relación entre la función zeta y los números primos, que más tarde se conocería como producto de Euler.
Se redefine la función zeta como la función armónica generalizada.
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