El Control Automático SubRESPUESTAS DEL SISTEMA: SISTEMAS DE PRIMER ORDEN SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
RESPUESTAS DE UN SISTEMA DE CONTROL SubLa respuesta de un sistema de control o de un elemento del sistema, está formada por dos partes: La Respuesta en estado estable, es la respuesta que permanece después de que desaparecen todos los transitorios La Respuesta transitoria, es la parte de la respuesta de un sistema que se presenta cuando hay un cambio en la entrada y desaparece después de un breve intervalo.
RESPUESTAS DE UN SISTEMA DE CONTROL SubPara describir por completo el comportamiento de un sistema, el modelo debe considerar la relación de entradas y las salidas, los cuales son función del tiempo y, por lo tanto son capaces de describir los comportamientos tanto transitorio como en estado estable.
SISTEMA e(t) s(t)
RESPUESTAS DE UN SISTEMA DE CONTROL SubEl tipo de modelo que con frecuencia se emplea para describir el comportamiento de un sistema de control o elemento del sistema de control, es una ecuación diferencial. Las ecuaciones diferenciales son las que involucran derivadas. Estas se pueden clasificar en: Primer Orden , dx/dt Segundo Orden, d(dx/dt)/dt = d²x/dt² Tercer Orden, d³x/dt³ Los métodos de solución de estas ecuaciones son : Prueba solución, que satisface Transformaciones, es decir que se pueda manejar mediante álgebra convencional.
EJEMPLO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN SubUn tanque de un agua controlado por un flotador, fig. 1. dh = k(H-h) donde dh/dt es la razón de cambio dt de la altura y k, una constante
Mientras sube el nivel del agua el valor de (H-h) es menor, y de esta forma es menor de cambio de la altura con el tiempo (dh/dt). Una gráfica de la altura de agua contra el tiempo se muestra en la fig. 2 La ecuación que describe esta gráfica es: h= H (1-e-kt)
En este sistema se puede considerar como entrada la atura requerida H y como salida h, ver fig. 3
H h SISTEMA H h Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 H h
EJEMPLO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN SubUn capacitor en serie con un resistor dVc = 1 (V-Vc) donde dVc/dt es la razón de cambio dt RC de Vc y es proporcional a (V-Vc). Donde R es
la resistencia y C la capacitancia. La Fig. 2, muestra como varía Vc con el tiempo. La gráfica tiene la ecuación.
Vc= V (1-e-t/RC) Se puede considerar que este sistema, tiene la entrada el voltaje V y como salida la diferencia de potencial Vc (fig. 3) SISTEMA V Vc Fig. 3 V Vc V Fig. 2 Fig. 1
CONCLUSION SubTodos los sistemas de primer orden tienen la característica que la razón de cambio de alguna variable es proporcional a la diferencia entre esta variable y algún valor de ajuste de la variable.
PRACTICA CALIFICADA 4 SubCuál será la forma de la ecuación diferencial cuando un termómetro se sumerge en un líquido caliente a una temperatura Th. Cuál será la ecuación de la gráfica de T contra el tiempo. Graficar el sistema de control. Cuál será la forma de la ecuación diferencial para un circuito que consta de un resistor R en serie con un inductor L. Cuál será la ecuación de la gráfica de Vl contra el tiempo. Graficar el sistema de control.(Vl= tensión del inductor)
LA ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN SubUna ecuación diferencial de primer orden es en general de la forma a1 dFo + ao Fo = bo Fi dt
Donde a1, ao, bo son constantes, Fi es la función de entrada al sistema y Fo la salida. dFo/dt es la razón de cambio a la cual la salida cambia con el tiempo.
SEÑALES DE ENTRADA SubLas señales de entrada al sistema pueden adoptar diferentes formas, la más común es la de escalón; ésta se presenta cuando la entrada cambia de valor de manera abrupta. Un ejemplo de este caso es cuando el voltaje se conecta a un circuito. Un impulso es una entrada de corta duración, una rampa es una señal que se incrementa en forma estable y una entrada senoidal es aquella que se describe por senwt.
SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN Suba1 dFo + ao Fo = bo Fi Esta es nuestra ecuación dt
Se hace la sustitución Fo = u +v u =respuesta transitoria v = Respuesta forzada
Para una entrada Fi tipo escalón, la solución es: Fo = (bo / ao ) Fi (1-e- ao t/ a1) La solución es diferente si la señal es tipo rampa o tipo senoidal.
Fi
PRACTICA CALIFICADA 5 SubDemostrar la solución de la ecuación diferencial de primer orden de un sistema eléctrico formado por resistor en serie con un capacitor. Considerar la forma de señal de entrada tipo escalón. Demostrar la solución de la ecuación diferencial de primer orden de un sistema formado por un tanque de agua controlado por un flotador.
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