El control automático. Respuestas del sistema (página 2)

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN SubUna ecuación diferencial de segundo orden es en general de la forma d²Fo +2? wn dFo + w²n Fo = b1 w²n Fi dt² dt Donde wn es la frecuencia angular con la cual el sistema oscilará libre en ausencia de cualquier tipo de amortiguamiento y ? es el factor de amortiguamiento relativo. Cuando ?=0 se tiene oscilaciones libres(fig.) si ?< 1, la situación de la fig. 2, si ?> 1, ver fig. 3.

Fig. 1 Fig. 2

EJEMPLO DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN SubUn circuito RLC en serie presenta una ecuación de segundo orden cuando se aplica una entrada escalón de magnitud V. d²i +R di + 1 i = V i dt² L dt LC LC Donde i es la corriente del circuito, es la señal de salida. R,L,C son constantes

TRANSFORMADAS DE LAPLACE SubLa transformada de Laplace es un método que transforma una ecuación diferencial en una ecuación algebraica. Se dice que el comportamiento del circuito en el dominio del tiempo, se transforma en el dominio de s, en el cual se pueden realizar manipulaciones algebraicas. Así una funcion f(t) se representa en con la transformada de Laplace como. F (s) = ? f (t) e –stdt Ejemplo : v(t)=R i(t) , La tensión en el tiempo, aplicada en circuito de resistencia R, genera un corriente en función del tiempo. Si se toman las transformadas de Laplace de i y v , la ecuación se convierte en V (s) = R I (s)

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TRANSFORMADAS DE LAPLACE PARA UNA FUNCION ESCALON SubLa función escalón se describe como un cambio abrupto en alguna cantidad, y con frecuencia se emplea para describir el cambio en la entrada al sistema cuando se hace un cambio en la entrada al sistema cuando se hace un cambio súbito en su valor; por ejemplo cuando éste se enciende de manera súbita. La figura muestra la forma que tomaría una entrada escalón cuando tiene lugar un cambio abrupto en la entrada en el tiempo t=0 y la magnitud del escalón es 1. La ecuación para esta función es f(t)=1, para todos los valores t mayores que 0. Para los valores de t menores que 0 la ecuación es f(t)=0. La transformada de Laplace de esta función escalón, para valores mayores que 0, es : F(s) = 1 s

TRANSFORMADAS DE LAPLACE PARA UNA FUNCION ESCALON Supongamos ahora que en lugar de una señal de entrada escalón de altura de 1 unidad, se tiene uno de una altura de a unidades, como se muestra en la figura. Para todos los valores t mayores que 0 se tiene f(t)=a. La transformada de Laplace de esta función escalón, para valores mayores que 0, es : F(s) = a s

PRACTICA CALIFICADA 6 SubDeterminar, con base a la tabla 4.1 de nuestra bibliografía, la transformada de Laplace para: Un escalón de voltaje de magnitud de 4 v, que empieza en t=0. Un escalón de voltaje de magnitud de 4 v, que empieza en t=2 seg. Una rampa de voltaje que empieza en t=0 y se incrementa a razón de 3 v/s Una rampa de voltaje que empieza en t=2 s y se incrementa a razón de 3 v/s. Un impulso de voltaje de magnitud 4 V que empieza en t=3s Un voltaje senoidal de amplitud 2 V y frecuencia angular de 10 Hz.

Para ambos casos graficar la señal en función del tiempo.

PRACTICA CALIFICADA 7 SubEmplear la transformada de Laplace para resolver las siguientes ecuaciones

3 dx/dt + 2x = 4

V = RC dVc/dt + Vc circuito eléctrico RC serie