Recursión múltiple Varias llamadas recursivas Ejemplo: Cálculo de los números de Fibonacci
1 si n = 1 Fib(n) 0 si n = 0 Fib(n-1) + Fib(n-2) si n > 1 (Gp:) Dos llamadas recursivas
Recursión múltiple … int main() { for (int i = 0; i < 20; i++) { cout << fibonacci(i) << endl; } return 0; }
int fibonacci(int n) { int resultado; if (n == 0) { resultado = 0; } else if (n == 1) { resultado = 1; } else { resultado = fibonacci(n – 1) + fibonacci(n – 2); } return resultado; } 1 si n = 1 Fib(n) 0 si n = 0 Fib(n-1) + Fib(n-2) si n > 1
Recursión anidada En una llamada recursiva alguno de los argumentos es otra llamada Ejemplo: Cálculo de los números de Ackermann: Ack(m-1, 1) si m > 0 y n = 0 Ack(m, n) n + 1 si m = 0 Ack(m-1, Ack(m, n-1)) si m > 0 y n > 0 (Gp:) Argumento que es una llamada recursiva
Recursión anidada Números de Ackermann … int ackermann(int m, int n) { int resultado; if (m == 0) { resultado = n + 1; } else if (n == 0) { resultado = ackermann(m – 1, 1); } else { resultado = ackermann(m – 1, ackermann(m, n – 1)); } return resultado; } Ack(m-1, 1) si m > 0 y n = 0 Ack(m, n) n + 1 si m = 0 Ack(m-1, Ack(m, n-1)) si m > 0 y n > 0 (Gp:) Pruébalo con números muy bajos: Se generan MUCHAS llamadas recursivas
Recursión anidada Números de Ackermann (Gp:) 2
(Gp:) 3
ackermann(1, 1) (Gp:) ackermann(0, ackermann(1, 0))
(Gp:) ackermann(0, 1)
ackermann(0, 2) Ack(m-1, 1) si m > 0 y n = 0 Ack(m, n) n + 1 si m = 0 Ack(m-1, Ack(m, n-1)) si m > 0 y n > 0
Recursión anidada Números de Ackermann (Gp:) 3
(Gp:) 5
(Gp:) 4
(Gp:) 5
ackermann(2, 1) (Gp:) ackermann(1, ackermann(2, 0))
(Gp:) ackermann(1, 1)
ackermann(1, 3) (Gp:) ackermann(0, ackermann(1, 2))
(Gp:) ackermann(0, ackermann(1, 1))
ackermann(0, 3) ackermann(0, 4) (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) ackermann(0, ackermann(1, 0)) (Gp:) ackermann(0, 1) (Gp:) ackermann(0, 2)
(Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) ackermann(0, ackermann(1, 0)) (Gp:) ackermann(0, 1) (Gp:) ackermann(0, 2)
Ack(m-1, 1) si m > 0 y n = 0 Ack(m, n) n + 1 si m = 0 Ack(m-1, Ack(m, n-1)) si m > 0 y n > 0
Código del subprograma recursivo Código anterior y posterior a la llamada recursiva { Código anterior Llamada recursiva Código posterior } Código anterior Se ejecuta para las distintas entradas antes que el código posterior Código posterior Se ejecuta para las distintas entradas tras llegarse al caso base El código anterior se ejecuta en orden directo para las distintas entradas, mientras que el código posterior lo hace en orden inverso Si no hay código anterior: recursión por delante Si no hay código posterior: recursión por detrás
Código del subprograma recursivo Código anterior y posterior a la llamada recursiva void func(int n) { if (n > 0) { // Caso base: n == 0 cout << "Entrando (" << n << ")" << endl; // Código anterior func(n – 1); // Llamada recursiva cout << "Saliendo (" << n << ")" << endl; // Código posterior } }
? func(5);
El código anterior se ejecutapara los sucesivos valores de n (5, 4, 3, …) El código posterior al revés (1, 2, 3, …)
Código del subprograma recursivo Recorrido de los elementos de una lista (directo) El código anterior a la llamada procesa la lista en su orden: … void mostrar(tLista lista, int pos);
int main() { tLista lista; lista.cont = 0; // Carga del array… mostrar(lista, 0);
return 0; }
void mostrar(tLista lista, int pos) { if (pos < lista.cont) { cout << lista.elementos[pos] << endl; mostrar(lista, pos + 1); } }
Código del subprograma recursivo Recorrido de los elementos de una lista (inverso) El código posterior procesa la lista en el orden inverso: … void mostrar(tLista lista, int pos);
int main() { tLista lista; lista.cont = 0; // Carga del array… mostrar(lista, 0);
return 0; }
void mostrar(tLista lista, int pos) { if (pos < lista.cont) { mostrar(lista, pos + 1); cout << lista.elementos[pos] << endl; } }
Parámetros y recursión Parámetros por valor y por referencia Parámetros por valor: cada llamada usa los suyos propios Parámetros por referencia: misma variable en todas las llamadas Recogen resultados que transmiten entre las llamadas void factorial(int n, int &fact) { if (n == 0) { fact = 1; } else { factorial(n – 1, fact); fact = n * fact; } } Cuando n es 0, el argumento de fact toma el valor 1 Al volver se le va multiplicando por los demás n (distintos)
Búsqueda binaria Parte el problema en subproblemas más pequeños Aplica el mismo proceso a cada subproblema Naturaleza recursiva (casos base: encontrado o no queda lista)
? La repetición se consigue con las llamadas recursivas
Partimos de la lista completa Si no queda lista… terminar (lista vacía: no encontrado) En caso contrario… Comprobar si el elemento en la mitad es el buscado Si es el buscado… terminar (encontrado) Si no… Si el buscado es menor que el elemento mitad… Repetir con la primera mitad de la lista Si el buscado es mayor que el elemento mitad… Repetir con la segunda mitad de la lista
Búsqueda binaria Dos índices que indiquen el inicio y el final de la sublista: int buscar(tLista lista, int buscado, int ini, int fin)// Devuelve el índice (0, 1, …) o -1 si no está ¿Cuáles son los casos base? Que ya no quede sublista (ini > fin) ? No encontrado Que se encuentre el elemento (Gp:) Repasa en el Tema 7 cómo funciona y cómo se implementóiterativamente la búsqueda binaria (compárala con esta)
Búsqueda binaria int buscar(tLista lista, int buscado, int ini, int fin) { int pos = -1; if (ini <= fin) { int mitad = (ini + fin) / 2; if (buscado == lista.elementos[mitad]) { pos = mitad; } else if (buscado < lista.elementos[mitad]) { pos = buscar(lista, buscado, ini, mitad – 1); } else { pos = buscar(lista, buscado, mitad + 1, fin); } } return pos; }
Llamada: pos = buscar(lista, valor, 0, lista.cont – 1);
Las Torres de Hanoi Cuenta una leyenda que en un templo de Hanoi se dispusieron tres pilares de diamante y en uno de ellos 64 discos de oro, de distintos tamaños y colocados por orden de tamaño con el mayor debajo
Cada monje, en su turno, debía mover un único disco de un pilar a otro, para con el tiempo conseguir entre todos llevar la torre del pilar inicial a uno de los otros dos; respetando una única regla: nunca poner un disco sobre otro de menor tamaño Cuando lo hayan conseguido, ¡se acabará el mundo! [Se requieren al menos 264-1 movimientos; si se hiciera uno por segundo,se terminaría en más de 500 mil millones de años] (Gp:) Torre de ocho discos (wikipedia.org)
Las Torres de Hanoi Queremos resolver el juego en el menor número de pasos posible ¿Qué disco hay que mover en cada paso y a dónde? Identifiquemos los elementos (torre de cuatro discos):
Cada pilar se identifica con una letra Mover del pilar X al pilar Y: Coger el disco superior de X y ponerlo encima de los que haya en Y (Gp:) (Gp:) A (Gp:) B (Gp:) C
Las Torres de Hanoi Resolución del problema en basea problemas más pequeños Mover N discos del pilar A al pilar C: Mover N-1 discos del pilar A al pilar B Mover el disco del pilar A al pilar C Mover N-1 discos del pilar B al pilar C
Para llevar N discos de un pilar origen aotro destino se usa el tercero como auxiliar Mover N-1 discos del origen al auxiliar Mover el disco del origen al destino Mover N-1 discos del auxiliar al destino (Gp:) (Gp:) A (Gp:) B (Gp:) C
(Gp:) (Gp:) A (Gp:) B (Gp:) C
(Gp:) (Gp:) A (Gp:) B (Gp:) C
(Gp:) (Gp:) A (Gp:) B (Gp:) C
Mover 4 discos de A a C
Las Torres de Hanoi Mover N-1 discos se hace igual, perousando ahora otros origen y destino Mover N-1 discos del pilar A al pilar B: Mover N-2 discos del pilar A al pilar C Mover el disco del pilar A al pilar B Mover N-2 discos del pilar C al pilar B Naturaleza recursiva de la solución
(Gp:) (Gp:) A (Gp:) B (Gp:) C
(Gp:) (Gp:) A (Gp:) B (Gp:) C
(Gp:) (Gp:) A (Gp:) B (Gp:) C
(Gp:) (Gp:) A (Gp:) B (Gp:) C
Mover 3 discos de A a B
Las Torres de Hanoi Caso base: no quedan discos que mover … void hanoi(int n, char origen, char destino, char auxiliar) { if (n > 0) { hanoi(n – 1, origen, auxiliar, destino); cout << origen << " –> " << destino << endl; hanoi(n – 1, auxiliar, destino, origen); } }
int main() { int n; cout << "Número de torres: "; cin >> n; hanoi(n, 'A', 'C', 'B');
return 0; }
Recursión frente a iteración long long int factorial(int n) { long long int fact;
assert(n >= 0);
if (n == 0) { fact = 1; } else { fact = n * factorial(n – 1); }
return fact; }
long long int factorial(int n) { long long int fact = 1;
assert(n >= 0);
for (int i = 1; i <= n; i++) { fact = fact * i; }
return fact; }
Recursión frente a iteración ¿Qué es preferible? Cualquier algoritmo recursivo tiene uno iterativo equivalente Los recursivos son menos eficientes que los iterativos: Sobrecarga de las llamadas a subprograma Si hay una versión iterativa sencilla, será preferible a la recursiva En ocasiones la versión recursiva es mucho más simple Será preferible si no hay requisitos de rendimiento Compara las versiones recursivas del factorial o de los números de Fibonacci con sus equivalentes iterativas ¿Y qué tal una versión iterativa para los números de Ackermann?
Estructuras de datos recursivas Definición recursiva de listas Ya hemos definido de forma recursiva alguna estructura de datos:
Las listas son secuencias:
La lista 1, 2, 3 consiste en el elemento 1 seguido de la lista 2, 3, que,a su vez, consiste en el elemento 2 seguido de la lista 3, que, a su vez,consiste en el elemento 3 seguido de la lista vacía (caso base) Hay otras estructuras con naturaleza recursiva (p.e., los árboles)que estudiarás en posteriores cursos secuencia vacía (ningún elemento) elemento seguido de una secuencia (Gp:) Secuencia
lista vacía (ningún elemento) (Caso base) elemento seguido de una lista (Gp:) Lista
Estructuras de datos recursivas Procesamiento de estructuras de datos recursivas Naturaleza recursiva de las estructuras: procesamiento recursivo Procesar (lista): Si lista no vacía (caso base): Procesar el primer elemento de la lista // Código anterior Procesar (resto(lista)) Procesar el primer elemento de la lista // Código posterior
resto(lista): sublista tras quitar el primer elemento
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