Física – Movimiento

1. Movimiento relativo
2. Movimiento de Traslación
3. Rotación alrededor de un eje fijo
4. Conceptos básicos
5. Segunda ley de Newton
6. Movimiento rectilíneo
7. Movimiento curvilíneo

Movimiento relativo

Movimiento relativo, cambio de posición respecto de un sistema de referencia que a su vez se mueve respecto a otro sistema de referencia. No se puede hablar de un sistema de r eferencia absoluto ya que no se conoce un punto fijo en el espacio que pueda ser elegido como origen de dicho sistema. Por tanto, el movimiento tiene carácter relativo.

Enciclopedia Microsoft® Encarta® 2002. © 1993-2001 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

Ejemplo 1:

Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. Un bote se dirige hacia el este (aguas abajo) con velocidad relativa al agua de v=4 m/s.

• Calcular la velocidad del bote respecto de tierra cuando el bote se dirige hacia el este (río abajo) y cuando se dirige hacia el oeste (río arriba).
• Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.

• El tiempo que tarda el barquero en hacer el viaje de ida es t1=d/(v+c)

• El tiempo que tarda en hacer el viaje de vuelta es t2=d/(v-c)

El tiempo total es

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Con los datos del problema t = 800/7 = 114.3 s.

 Ejemplo 2:

Ahora, vamos a hacer que el bote atraviese el río y vuelva al punto de partida.

Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. El bote se mueve en agua quieta con una velocidad de v=4 m/s.

• ¿Cómo debe ser dirigido el bote para que llegue a un punto P situado en la orilla opuesta enfrente de O?
• Calcular la velocidad V del bote respecto de tierra.
• Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

El vector velocidad V del barco respecto de tierra debe de apuntar hacia el norte.

El resultado de la suma V = v+c es 

Vj = (v·cosθ i+v·senθ j)+ci

o bien,

0 = c+v·cosθ V = v·senθ

• El ángulo θ se calcula a partir de la primera ecuación cosθ=-c/v.
• La velocidad del barco respecto de tierra V se calcula a partir de la segunda ecuación, o bien, como el cateto V del triángulo rectángulo formado por la hipotenusa v y el otro cateto c.

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

• El viaje de vuelta es similar al viaje de ida. El tiempo total de viaje será

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Con los datos del problema,

• La velocidad del bote respecto de tierra es de:
• Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
• El ángulo que forma la proa del bote con la dirección este-oeste es θ=138.6º.
• El tiempo total de viaje será t=2·37.6=75.6 s

 http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/relativo/relativo.htm

Movimiento de Traslación

Un cuerpo está en traslación si  todas las partículas (puntos) que lo componen  describen la misma trayectoria.  La traslación puede ser rectilínea o curvilínea. [Fig. 3-1].

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Una característica del movimiento de traslación es que cualquier recta, considerada como perteneciente al cuerpo, permanece siempre en la misma dirección. Esto se puede apreciar en la figura 3-1 donde la recta AB es paralela a la recta A’B’.

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_1_1.htm

ECUACIONES

Consideremos dos puntos A y B de un cuerpo en traslación, [Fig. 3-5]

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_1_2.htm

Ejemplo 1:

Dos bloques A y B parten del reposo sobre un plano con unna inclinación de 300 cuando estan separados 18 m. El coeficiente de friccion para el bloque A es de 0.20 y para el bloque B es de 0.40. Caslcular el tiempo transcurrido hasta que los bloques se tocan. Después de hacerlo y de moverse como uno, ¿ cual sera la fuerza de contacto entre ellos?

Figura 1

Solución: En la figura se muestra el DCL de cada cuerpo. Seleccionar los ejes de referencia como se ven en el eje X positivo hacia abajo en la direccion del movimiento. Aplicando ΣY=0 y F= ƒN, las componentes normal y de friccion de la relacion del plano son las que se observan. Al aplicar ΣX = ( W/g )a en cada bloque obtenemos:

Para A: 0.5WA – 0.173WA = (WA/g) aA’ aA = 0.327g

Para B: 0.5WB – 0.346WB = (WB/g) aB’ aB = 0.154g

Asi, la aceleración realtiva con la que A alcanza a B es a = aA – aB = 0.173m/seg2. Por lo tanto, el tiempo para recorrer la distancia relativa entre ellos (de 18m) con esta aceleración constante se encuentra apartir de la ecuación:

( s = v0t + ½ at2 ) 18 = 0 + ½(0.173)(9.81)t2

de donde:

t2 = 21.21 y, por tanto, t = 4.61 resp.

Una vez, que los bloques se tocan, la aceleración comun para el sistema es

ΣX = ( W/g )a

0.5WA – 0.173 WA – P = ( 0.327WA + 0.154WB / WA + WB )

apartir de lo cual encontramos

P = 0.173WAWB / WAWB resp.

Ejemplo 2:

Una varilla ABC gira a 20 rpm alrededor de un eje vertical que pasa por A y sostiene una bola de 100 Kg. En su extremos inferior, como se ve en la figura 11-2.3ª. Se encuentra fija pormedio de una varilla BD. Despreciando los pesos de las varillas AC y BD, calcular la fuerza F en la varilla BD? ¿La fuerza es de tensión o compresión ¿con cuantas rpm, la fuerza será nula?

FIGURA 2

Solución:

El DCL de la varilla Acse muestra en la figura. La bola puede considerarse como una particula que se mueve en un circulo horizontal de radio r = 1.5 sen 300 = 0.75 m. Para eliminar los componentes de la reaccion de la articulación A, usando la suma de momentos con respecto a A, se produce un equilibrio dinamico al aplicar a la bola una fuerza de inercia W/g x V2/r que actúa radialmente hacia fuera respecto al centro de su trayectoria.

La magnitud constante de la velocidad de la bola se calcula a partir de

V = s/t = 2pirn/t V = 2pi(0.75)(20)/60 = 1.56 m/s

Que luego determina la fuerza de inercia centrifuga

W/g x V2/r = 100(1.56)2/9.81 (0.75) = 34 Kg.

Suponiendo que la fuerza F en BD sea compresiva, actua sobre AC, como se indica. Entonces la suma de momentos en equilibrio dinamico alrededor de A nos da

ΣMA = 0 F(cos 30) + 34(1.5 cos 30) – 1000(0.75) = 0

F = +39.5

Como F es positiva, actua en el sentido opuesto y por tanto BD se halla en compresión.

Para encontrar la velocidad v cuando F = 0 en la posición dada, tomamos otra suma de momentos alrededor de A para obtener

ΣMA = 0 W(1.5 sen 30) – (W/g x V2/(0.75)) (1.5 cos 30) = 0

De donde

V2 = 0.75 (9.81) tg 30 = 4.24, o bien V = 2.06 m/seg

Finalmente, la rapidez rotacional (en rpm) correspondiente a esta velocidad es

V = 2pirn/t 2.06 = 2pi(0.75)n/60 n = 26.2 rpm resp.

Mecánica para Ingenieros Dinámica Ferdinand L. Singer

ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO

Cuando cada partícula del cuerpo se mueve en un plano perpendicular al eje y describe una circunferencia cuyo radio es su distancia al eje, el cuerpo está en rotación alrededor de ese eje [Fig. 3-2].

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Se puede apreciar que todas las partículas equidistantes del eje describen idénticas trayectorias; por esto es frecuente tomar  una lámina representativa en cambio de todo el cuerpo; así el movimiento se puede considerar como un movimiento plano que normalmente se denomina rotación alrededor de un punto fijo (intersección del eje con la lámina representativa del cuerpo).  Sin embargo no se debe perder de vista que la rotación es alrededor de un eje fijo.

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_1_1.htm

Ecuaciones

Sin perder generalidad supongamos que el eje de rotación es el eje z.  Sea A un punto del cuerpo rígido y  su vector de posición, [Fig. 3-6].  Como se sabe, la velocidad de A, es tangente a la trayectoria y ésta está contenida en un plano perpendicular al eje de rotación.  El desplazamiento angular de la recta OA se denota por  y su velocidad angular por . Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_1_2.htm

Ejemplo 1:

El conjunto de poleas de la figura 13-3.3 pesa 75 Kg. Y tiene un radio de giro centroidal de 0.6 m. Los blkoques que se encuentran unidos al conjunto por medio de cuerdas enrolladas sobre las poleas. Determinara la aceleración de cada cuerpo y la tencion en cada cuerda.

Solución:

Para cualquier sistema conectado, apliquemos el procedimiento ya antes visto. Así, luego de traza el DCL de cada cuerpo y determinar la direccion del movimiento, fijamos enseguida las relaciones cinematicas entre los cuerpos y finalmente aplicamos la ecuación cinetica apropiada al movimiento de cada cuerpo.

Los momentos de los pesos respecto al centro de rotacion O dan un momento no balanceado en el mismo sentido de giro de las manecillas del reloj. Por tanto, el cuerpo B se mueve asia abajo mientras A sube. Ahora se pueden trazar las DCL de cada de las partes del sistema, mostrando la direccion del movimiento de cada cuerpo tal como se indica en la parte (b). Las aceleraciones lineales de A y B son expresadas cada una en terminos de aceleración angular de la polea según at = ra, o en este caso, por aA = 0.9 y aB = 0.6ª que trazamos como vectores con una linea punteada junto a cada cuerpo. Sus direcciones tambien indican el dentido positivo de las sumas de fuerzas y momentos.

Las ecuaciones cinéticas para los cuerpos en traslación y para la polea en rotacion son, respectivamente ΣX = (W/g) a y ΣM = Ia. Recordando que el momento de inercia esta dado por I = (W/g) K2, la aplicación de estas ecuaciones nos da

Para B: 100 – TB = (100/g)aB = (100/g )(0.6a) (a)

Para A: TA – 50 = (50/g)aA = 50/g(0.9a) (b)

Para la polea: 0.6TB – TA = 75/g(0.6)2 a = (28/g)a (c)

Notese que hemos mantenido simbólicamente la aceleracios gravitacional g, en lugar de usar su equivalente numerico. Como resultado, las ecuaciones anteriores contienen el termino comun a/g el cual se obtiene con facilidad al multiplicar la ecuación (a) por 0.6 y la ecuación (b) por 0.9, para sumar después la ecuación (a), (b), (c)y eliminara asi las tensiones. Obtenemos

a/g = 15/103.5

Apartir de lo cual, si empleamos g = 9.81, nos da

a = 1.4 rad/seg2; aA = 0.9ª = 1.26 m/seg2;

aB = 0.6ª = 0.84 m/seg2 resp.

Sustituyendo el valor conocido de a/g en las ecuaciones (a) y (b) encontramos

TA = 56.6 kg y TB = 91.3 resp.

La reaccion en el eje de la polea se obtiene apartir de la suma vertical

(ΣV = 0) R – 75 – TA – TB = 0 R = 222.8 kg. resp.

Mecánica para Ingenieros Dinámica Ferdinand L. Singer

CONCEPTOS BÁSICOS

Peso de un cuerpo. El peso de un cuerpo es la fuerza de atracción gravitacional ejercida sobre el cuerpo por la Tierra y depende de su posición respecto al centro de la Tierra.

Masa de un cuerpo. La masa M de un cuerpo es la cantidad de materia que contiene y es independiente del lugar donde se encuentre; también se le conoce como masa inercial ya que representa la inercia de un cuerpo, es decir la resistencia de un cuerpo al cambio en su movimiento.

A la razón entre el peso P de un cuerpo y la constante gravitacional g: se le conoce como masa gravitacional M. Pero como el peso y la constante gravitacional varían de acuerdo a su posición con respecto al centro de la Tierra, no se ha podido demostrar ninguna diferencia entre la masa gravitacional y la masa inercial, por lo que se tomarán indistintamente.

Partícula. El término partícula suele referirse a un objeto cuyo tamaño se reduce a un punto.

Cuerpo. El termino cuerpo suele referirse a un sistema de partículas que forman un objeto de tamaño apreciable. Sin embargo el criterio del tamaño es relativo, por lo cual los términos cuerpo y partícula se pueden aplicar al mismo objeto si es que la masa no se toma en cuenta en el análisis.

SEGUNDA LEY DE NEWTON

La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, de manera que podemos expresar la relación de la siguiente manera:

F = m a

Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse como:

F = m a

La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y se representa por N. Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un kilogramo de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s2, o sea,

1 N = 1 Kg · 1 m/s2

La expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es válida para cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia, como por ejemplo un cohete que va quemando combustible, no es válida la relación F = m · a. Vamos a generalizar la Segunda ley de Newton para que incluya el caso de sistemas en los que pueda variar la masa.

Para ello primero vamos a definir una magnitud física nueva. Esta magnitud física es la cantidad de movimiento que se representa por la letra p y que se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad, es decir:

p = m · v

La cantidad de movimiento también se conoce como momento lineal. Es una magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional se mide en Kg·m/s . En términos de esta nueva magnitud física, la Segunda ley de Newton se expresa de la siguiente manera:

La Fuerza que actua sobre un cuerpo es igual a la variación temporal de la cantidad de movimiento de dicho cuerpo, es decir,

F = dp/dt

De esta forma incluimos también el caso de cuerpos cuya masa no sea constante. Para el caso de que la masa sea constante, recordando la definición de cantidad de movimiento y que como se deriva un producto tenemos:

F = d(m·v)/dt = m·dv/dt + dm/dt ·v

Como la masa es constante

dm/dt = 0

y recordando la definición de aceleración, nos queda

F = m a

tal y como habíamos visto anteriormente.

Otra consecuencia de expresar la Segunda ley de Newton usando la cantidad de movimiento es lo que se conoce como Principio de conservación de la cantidad de movimiento. Si la fuerza total que actua sobre un cuerpo es cero, la Segunda ley de Newton nos dice que:

0 = dp/dt

es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es cero. Esto significa que la cantidad de movimiento debe ser constante en el tiempo (la derivada de una constante es cero). Esto es el Principio de conservación de la cantidad de movimiento: si la fuerza total que actua sobre un cuerpo es nula, la cantidad de movimiento del cuerpo permanece constante en el tiempo.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

Problema 1:

Un auto lleva una velocidad de

. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

en el instante en que aplica los frenos en forma constante, y recorre 50m hasta llegar al reposo. Determinar: a) el tiempo empleado en detenerse; b) el coeficiente cinético de rozamiento entre las llantas y el asfalto.

. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Paso 1. Con los datos proporcionados, calcular la desaceleración:

. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

 ; despejando y sustituyendo:

. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Paso 2. Con la aceleración obtenida, se calcula ahora el tiempo que tarda en detenerse:

. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

; despejando y sustituyendo valores:

. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Paso 3. Para calcular el coeficiente de rozamiento dinámico, se utiliza la segunda ley de Newton:

siendo en este caso

. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

, por ser la única fuerza, la fuerza de rozamiento, la que se opone al movimiento; sustituyendo

. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

se obtiene:

. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

 ; la fuerza normal N es igual al peso del auto por estar sobre una superficie horizontal; por lo que sustituyendo:; quedando:

. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

; por lo que el valor del coeficiente de rozamiento, es

. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

 PROBLEMA 3.3.5. Un camión sube por una pendiente de con respecto a la horizontal, con una velocidad constante de . ¿Cuál será la aceleración del camión al llegar al plano horizontal de la carretera?

. Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Paso 1. Como la velocidad se mantiene constante en el plano inclinado,

 entonces las únicas dos fuerzas que intervienen son:

 . Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

estas dos fuerzas son iguales por lo  que la velocidad se mantiene constante; como se desconoce el coeficiente de  rozamiento, en lugar de la fuerza de rozamiento utilizaremos su equivalente que  es la fuerza componente del peso del camión .

Paso 2. En el instante en que el camión llega al camino horizontal :

. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

 ; por lo que la aceleración es:

 . Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Resp.

http://docentes.uacj.mx/agarcia/Cursos/Dinamica/Capitulo3/3SegNew.HTM

MOVIMIENTO CURVILÍNEO

Problema 1:

Las componentes de la velocidad inicial son

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Las ecuaciones del movimiento del proyectil son

. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Conocida la posición (x, y) del blanco, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas t y Eliminando t, nos queda una única ecuación en tg   empleando la relación trigonométrica

. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, por tanto, dos ángulos de disparo dan en el blanco

Ejemplo 1

El applet nos proporciona los datos de la posición del blanco y la velocidad de disparo.

• Posición del blanco x=159.7, y=151.7 m
• Velocidad de disparo v0=89.9 m/s

. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Con los datos proporcionados por el programa la ecuación de segundo grado la escribimos

13.46 tan2 -159.7 tan +167.16=0

Las soluciones son

tan =9.15,  =83.8º tan =1.18,  =49.8º

Introduciendo estos valores en el control de edición titulado ángulo de tiro daremos en el blanco.

 Ejemplo 2:

La composición de movimientos nos indica que mientras la bomba cae, se desplaza horizontalmente una distancia igual al producto de la velocidad del avión por el tiempo que tarda en caer. Como podemos observar, el avión y la bomba están siempre en la misma vertical.

¿Cómo cambia el resultado si el blanco se mueve con velocidad constante en la misma dirección que el avión?. En la figura tenemos el esquema.

La bomba se suelta en el instante t'.  Las posiciones del avión xa y del blanco xb en dicho instante serán respectivamente,

xa=vat' xb=x0b+vbt'

A partir de estas relaciones, obtenemos la posición del avión xa en el momento en el que tiene que soltar la bomba para que acierte en el blanco, a partir de los datos de la altura h,  velocidad del avión va, la posición inicial del blanco x0b  y su velocidad vb. 

. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

http://www.terra.es/personal3/iesuribarri/enlaces/ciencias.htm

BIBLIOGRAFIA

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/relativo/relativo.htm

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_1_1.htm

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_1_2.htm

Mecanica para Ingenieros Dinamica Ferdinand L. Singer

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_1_1.htm

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_1_2.htm

Mecanica para Ingenieros Dinamica Ferdinand L. Singer

ttp://docentes.uacj.mx/agarcia/Cursos/Dinamica/Capitulo3/3SegNew.HTM

http://www.terra.es/personal3/iesuribarri/enlaces/ciencias.htm

Alejandro Hernandez Manzanarez