2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 13. 14. 20. 21. Ejercicios de cálculo vectorial 1.
12.
15. 16. 17. 18. 19.
22. 23. Introducción Curvas en el espacio, ecuaciones vectoriales paramétricas Arco de longitud Cinemática de una particula Derivación de funciones compuestas Derivación implícita Derivada direccional Derivada parcial Derivada direccional gradiente Puntos críticos de una función Derivadas parciales de orden superior Funciones diferenciables Divergencia rotacional y laplaciano Ecuaciones del plano oscilador, normal y rectificante Funciones vectoriales Matriz hesiana Limites Dominios Movimiento circular Propiedades e dientificación física de la divergencia Propiedades e identificación del rotacional Teorema de Lagrange Vector tangente unitario I NTRODUCCION Puesto que el Calculo Vectorial tiene gran aplicación en las áreas de la Ingeniería Mecánica, Industrial, Eléctrica, Electrónica y en la ciencias como la Física, Química , etc. El presente trabajo es una serie de ejercicios resueltos de un selecto grupo de temas de calculo vectorial que tiene como propósito primordial contribuir a la mejora de la enseñanza de Calculo Vectorial Al igual que otras asignaturas de Matemáticas, el Calculo Vectorial se aprende resolviendo ejercicios, por lo que se ha tenido el cuidado de seleccionar un gran numero de ellos. Esta serie puede servir como practica adicional para aquellos quienes estén interesados en las áreas antes mencionadas, ya que se pretende que la misma sea un auxiliar didáctico y convertirse en una colaborador mas de la tarea docente y del aprendizaje
CURVAS EN EL ESPACIO, Ecuaciones vectoriales paramétricas 1- f (t) = 2i + 4 j – 2 k para y que pasa por ( -2, 0. 4) (-2, 0, 4) Ai + Bj + Ck = 2i + 4 j – 2 k x = xo + tA y= yo + tB Z= zo + tC x =-2 + 2 t y = 4t z=4 – 2t 2- f (t) = 4i -3j +7k
x= -3 + 4t y = 2 – 3t z = -3 + 7 t y que pasa por ( -3, 3 , -3)
3- f (t) = 4i -3j +7k y que pasa por ( 1,-1, 4) x= 1 + 4t y = -1 – 3t z = 4 + 7t
4- Ai+ Bj + Ck P ( -3, 3, -3) Q (1 , -1, 4)
x= -3 + 4t y = 2– 3t z = -3+7t
5- f (t) = a sent i + b cos t j x= a sen t y= b cost z= 0
ARCO DE LONGITUD 1 – P’T = (-2sen2t, 2 cos2t, 5 ) de (0,4?) L(p)= (4 (sen2t)2 + 4 (cos2t)2 + 5 )1/2 = 91/2 = 3 4TT 4TT L (p) = 0 IIp ' tIIdt 0 3dt 12 2 – f (t) = (1- cost, sent) f (t) = (1 cost ) 2 sen2 t 2 2 cost 2TT l (t ) 2tt
0 2 2 cost dt 2TT
0 1 cost 2 dt 2 2TT
0 t sen dt 2 4 cos t 2 0 = 8 3- La longitud del arco de la curva y=f(x) entre a y b es:
4 – y=ln(1-x2) en [1/3, 2/3]. 5- ( t, t -1/2, 0) en (-1,1) en R3 -1= to < t1 < ½= t2 < 1 = t3 (-1,0), (0,1/2) y (1/2,1) (-1,0) x(t) = -t y (t)= -t z (t) = 0 ds = 21/2 dt
2 ½ 3. (0,1/2) x(t) = t y (t)= -t + 1/2 z (t) = 0 ds = ( 21/2) 1/2 dt
(1/2, 1)
x(t) = t y (t)= t – 1/2 z (t) = 0
= 2 (2) 1/2
CINEMATICA DE UNA PARTICULA 1. Si Ø : t ( cost, sent, t)
v (t)= Ø’(t)= v=(-sent, cost, 1) S (t) = v(t) = ( sen2t+cos2t + 1)1/2 = rapidez = 2 2. Considerer la patricula movimeindose donde t= ? y hallar la ubicacion en 2 ?
Si Ø : t ( cost, sent, t)
v(?) = ( 0, -1, 1)
v(?) = Ø’(?)
c(?)= Ø= (-1, 0, ?)
w+tv(?) = w + t ( 0, -1, 1)
c(?)= w + ? ( 0, -1, 1) = Ø= (-1, 0, ?)
w= (-1, 0, ?)- ( 0- ?- ?) = (-1, ?,0) + t ( 0, -1, 1)
c (2?)= ( -1, ?,0)+2 ? (0, -1, 1)= ( -1, – ? , 2 ?)
r (t)= 6t2 i – t3j + t2 k
x(t)i + y (t)j + z(t)k
v= x’(t) i + y’ (t) j + z’ (t) k
a= x’’(t) i + y’’ (t) j + z’’ (t) k
= = v= 12 t i – 3 t2 j + 2t k
a= 12 i – 6t j + 2 k
4. r (t) = (3cost)i + (3sent)j + t2 k
v= x’(t) i + y’ (t) j + z’ (t) k
a= x’’(t) i + y’’ (t) j + z’’ (t) k v= -(3sent)i + (3cost) j + (2t)k
a = -(3cost)i -3(sent)j + (2) k
5- r (t) = (sent) i+ (cost) j + 31/2 k
v= x’(t) i + y’ (t) j + z’ (t) k
a= x’’(t) i + y’’ (t) j + z’’ (t) k
v= (cos t)i – (sen t) j + (o)k =
a= -(sent) i – ( cost) j + o = -3sent i + 3cost j + 2t k
= -3 cost i – 3 sent j + 2 k
(cos t)i – (sen t) j
-sen t i – cost j DERIVACION DE FUNCIONES COMPUESTAS 1- g(x,y)= xy, 5x, y3 f(x,y)= 3×2+y2+z2, 5xyz J(fog)= d (fog)1 dx d (fog)1 dy = Jf (g(x,y)) Jg(x,y) = d (fog)2 d (fog)2 dx dy f1= 3×2+y2+z2 , f2= 5xyz , g1= xy, g2= 5x , g3= y3 6x 5xy 2y 5xz 2z 5xy y x 5 0 0 3y2 sustituyendo las variables y multiplicando por la matriz obtengo: 6xy2 + 50x 50xy4
2- f(x,y)= x2+3y2 6x2y+ 6y5 100x2y3
f2 (x,y)= 5×3+2y6 Jf= df1 dx df1 dy = 2x 6y 15×2 12y5 df2 dx df2 dy 3- f(x,y,z)= x2+2, x+y2+z3 g(x,y,z)= x+y+z, xyz, x2+y3 en P(1,1,1)
2 = +v J(fog) (1,1,1) = Jf (g(1,1,1)) Jg(1,1,1) = Jf(3,1,2) Jg(1,1,1) Jf(3,1,2)= 2x 1 0 0 2y 3×2 = 6 1 0 0 2 12 Jg(1,1,1) = 1 1 1 = 1 1 1 yz xz xy 2x 3y2 0 1 1 1 3 0 = 6 1 0 2 0 12 1 1 1 1 1 1 = 6 27 6 39 6 3 2 3 0 4- f(x,y)= sen (x+y) f 2 (x,y)= xex+y f3(x,y)= x+y en P(0,0) Jf(0,0)= df 1 dx df 2 df 1 dy df2 = cos(x+y) ex+y(x+1) 1 cos(x+y) xex+y 1 1 1 1 0 1 1 dx df 3 x
5- f(x) = sen (x2) dy df 3 dy f(g) = sen(g) Dx[sen(x2)] = Dg[sen(g)]·Dx[g(x)] = cos(g)·2x =cos(x2)·2x =
2xcos(x2) DERIVACION IMPLICITA 1- f(x,y,u,v)= xeu+v+uv-1= 0 g(x,y,u,v)= yeu-v-2uv-1=0 df = eu+v dx df= 0 dy df= xeu+v +v du df= xeu+v+u dv dg= 0 dx dg= eu-v dy dg= yeu-v-2u du dg=-yeu-v dv
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