Con esto se pueden hacer predicciones futuras, extrapolando la recta de regresión y sumándole la componente cíclica del mes correspondiente.
Dentro de un rango limitado, estas predicciones pueden ser acertadas.
A continuación se muestra el gráfico de la componente aleatoria sola.
Si se usa el modelo multiplicativo, el procedimiento es parecido.
Nota: Junto con las series de datos como esta, el Banco Central también entrega series sin tendencia y desestacionalizadas.
SUAVIZAMIENTO DE SERIES DE TIEMPO Una forma de visualizar la tendencia, es mediante suavizamiento de la serie.
La idea central es definir a partir de la serie observada una nueva serie que filtra o suaviza los efectos ajenos a la tendencia (estacionalidad, efectos aleatorios), de manera que podamos visualizar la tendencia.
Serie original Serie suavizada
Promedio Móvil. Este método de suavizamiento es uno de los más usados para describir la tendencia.
Consiste en fijar un número k, preferentemente impar, como 3, 5, 7, etc., y calcular los promedios de todos los grupos de k términos consecutivos de la serie.
Se obtiene una nueva serie suavizada por promedios móviles de orden k.
De este modo se tienden a anular las variaciones aleatorias.
Por ejemplo, consideremos una serie de seis observaciones y fijemos el orden k=3. Entonces los términos de la serie suavizada son Nótese que Z(1) y Z(6) no se pueden calcular. En general, se pierden k/2 términos en cada extremo.
EJEMPLO 3. Precio del dólar observado, días miércoles, enero a junio año 2003. Fuente: Banco Central de Chile. En las columnas 3 a 6, se entregan los promedios móviles de orden 3, 5, 7 y 9, respectivamente.
La serie original aparece graficada a continuación.
Los gráficos siguientes corresponden a las medias móviles. Se observa cómo a medida que aumenta el orden, el efecto del suavizado es mayor. Pero también se pierden más datos en los extremos.
El suavizamiento de media móvil es muy fácil de aplicar, permite visualizar la tendencia de la serie. Pero tiene dos inconvenientes:
No es posible obtener estimaciones de la tendencia en extremos y no entrega un medio para hacer predicciones. Si la serie presenta un efecto estacional de período k, es conveniente aplicar un suavizamiento de media móvil de orden k.
En tal caso se elimina el efecto estacional, junto con la variación aleatoria, observándose solamente la tendencia.
SUAVIZAMIENTO EXPONENCIAL
Este modelo se basa en que una observación suavizada, en tiempo t, es un promedio ponderado entre el valor actual de la serie original y el valor de la serie suavizada, en el tiempo inmediatamente anterior.
Si Y(t) representa la serie de tiempo original, y Z(t) la serie de tiempo suavizada, entonces lo anterior se puede escribir
en que a es un número entre 0 y 1.
Si a es cercano a 1, la serie suavizada pondera más fuertemente el valor original, luego ambas se parecen, y en consecuencia, el suavizamiento es poco. Si a se acerca a 1/2, se ponderan moderadamente la serie original y la suavizada, por lo que el suavizamiento es moderado. Si a es cercano a cero, (1-a) es cercano a 1, y la serie suavizada pondera más fuertemente el valor suavizado inmediatamente anterior, por lo que el suavizado es importante.
Consecuencia de la fórmula anterior es que la serie suavizada se puede expresar como
Es decir, cada término suavizado es un promedio ponderado de todos los términos históricos de la serie original, con ponderaciones
etc.
Como a está entre 0 y 1, estos números se van achicando a medida que avanzan.
Eso significa que a medida que nos alejamos hacia el pasado, los término van influyendo cada vez menos en el término presente.
La rapidez con que disminuye la influencia es mayor mientras más grande (cercano a 1) es a. Los gráficos siguientes muestran las ponderaciones de los términos hacia el pasado, cuando a = 0.3 y cuando a = 0.7
Criterio para elegir a:
Si la serie varía lentamente, se eligen valores de a cercanos a 0. (valor típico a = 0.3).
En cambio, si varía bruscamente, se eligen valores de a cercanos a 1 (valor típico a = 0.7).
El método de suavizamiento exponencial sirve para hacer predicciones, pero sólo de un valor, siguiente al último valor observado.
Si se tienen observaciones Y(t), Y(t-1), Y(t-2), … Y(t-k).
Si tratáramos de obtener el término Z(n+1) con la fórmula para el suavizamiento exponencial, nos daría
Si tratáramos de obtener el término Z(n+1) con la fórmula para el suavizamiento exponencial, nos daría pero como no tenemos una observación Y(n+1), la aproximamos por Y(n).
Por lo tanto podemos hacer una predicción para Y(n+1) con la fórmula del suavizamiento exponencial modificada de la siguiente forma:
Si se intentara hacer más de una predicción, daría el mismo valor, por eso que sólo se usa para predecir un valor a la vez. pero como no tenemos una observación Y(n+1), la aproximamos por Y(n).
Por lo tanto podemos hacer una predicción para Y(n+1) con la fórmula del suavizamiento exponencial modificada de la siguiente forma:
Sin embargo, en la práctica, cada vez que aparece una nueva observación real, se actualiza la fórmula anterior, pera predecir la siguiente.
Así, cada vez que el tiempo avanza en una unidad, se predice un nuevo valor a futuro. El valor de a se que sirve mejor se suele buscar por un sistema de prueba y error, hasta encontrar el que permite predecir mejor.
EJEMPLO 4 En la página siguiente se muestra el Producto Interno Bruto trimestral de Chile, desde el primer trimestre de 1996 hasta el primer trimestre de 2003, en millones de pesos.
Fuente: Banco Central de Chile.
Junto a los datos se muestran tres suavizamientos exponenciales con a=0.3, a=0.5 y a=0.7.
Como no hay datos indefinidamente hacia el pasado, los primeros términos de la serie sauvizada salen algo distorsionados, pues no consideran suficientes términos hacia atrás.
La forma de calcular es la siguiente, partiendo del primer trimestre 1996, que llamaremos t=1 :
Z(1) = X(1) Z(2) = a Y(2)+(1-a) Z(1) Z(3) = a Y(3)+(1-a) Z(2) etc.
Como se ve, Z(1) no contiene toda la historia hacia atrás, Z(2) sólo un termino hacia el pasado, Z(3) sólo 2, etc. Los gráficos de la serie y los tres suavizamientos se muestran a continuación.
En los gráficos se puede apreciar que cuando la constante a es pequeña, cercana a cero, el suavizamiento es significativo.
A medida que aumenta a acercándose a 1, el suavizamiento es menos y la serie suavizada se parece más a la serie original.
Se dispone de 29 datos. Es posible hacer una predicción del término de orden 30, que corresponde al segundo trimestre de 2003, mediante la fórmula Y(30) = a Y(29) + (1-a) Z(29) En el caso de a=0.3, se tiene Y(30) = 0.3 * 9621810 + 0.7 * 9386688 = 9457224 millones de pesos. En el caso a=0.5, la predicción da 9554055 millones de pesos. Y en el caso a=0.7, se obtiene el valor 9600122 millones. Observando el gráfico, ¿ cuál de las tres predicciones parece ser mejor ?
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