Curiosidad científica acerca de como ajustar la duración real de un año a la vida civil

2. Desarrollo
3. Conclusiones
4. Bibliografía

Introducción.

Es bien conocido, de la mayoría de las personas, que cada cuatro años se añade un día a la duración de este y se le denomina bisiesto. Es también divulgado, la causa por la que se necesita considerar tal año; aunque no así de bien, se sabe que una solución adecuada de este problema requiere, más que de simples cálculos aritméticos, el auxilio de una herramienta matemática, que permita escoger una mejor alternación para los años de 366 días; pues no es el del cálculo simple de considerar que un año dura 6 horas más y por tanto al cuarto, se añade un día.

La inexactitud o la falta de precisión en la solución de este problema, traería como consecuencias, entre otras, desplazamiento en las estaciones del año y por tanto en la vida de los hombres.

La cuestión concreta consiste, en que el año real dura 365dias, 5 horas, 48 minutos y 46 segundos, que resulta muy incómodo para la vida civil; pero considerar una aproximación de 365 días y 6 horas, generaría un retraso cada año de 11 minutos y 14 segundos, que en el tiempo de 400 años, alcanzaría algo más de 3 días.

La solución dada en estos términos ocurrió en la época de Julio Cesar, (Siglo I a.n.e.) que encomendó esta tarea a Sosígenes de Alejandría, acumulándose hasta 1582, en que se hizo una nueva reforma, un retrazo de 10 días, que fue corregido el 4 de Octubre de 1582.

Esta nueva reforma, fue dada a conocer por el Papa Gregorius XIII, y consistía en adicionar la regla siguiente: Si el número del año finaliza en dos ceros y el número de las centenas no se divide por 4, entonces este año resulta ordinario. (De 365 días).

La comisión encargada por Gregorius, no conocía con la precisión actual la duración real del año, utilizaban unas tablas astronómicas en las que se excedía en 26 segundos, de los datos auténticos. No obstante su precisión era satisfactoria. La solución precisa a este problema, se ofrece utilizando las fracciones decimales introducidas en Europa en el siglo XVI por Simón Stevin, sabio Belga y las fracciones continuas.

Para exponer brevemente, una solución matemática de este problema, detengámonos en el siguiente dato. El tiempo de duración real del año excede los 365 días solo en 5 horas, 48 minutos y 46 segundos, que representa casi la sexta parte de un día. Averigüemos con mayor precisión el valor de la fracción decimal dada; para esto calculemos el tiempo en segundos de este período y dividámoslo por el tiempo en segundos de un día. Esta simple operación nos brinda un resultado igual a 0,2421990740741; por tanto el año real dura 365,2421990740741 que es muy incomodo para usarlo en la vida civil.

Pretendemos abordar, como es posible hacer una selección adecuada de alternancia de los años bisiestos y ordinarios, de forma que la duración media del año sea suficientemente próxima a la real, utilizando las fracciones continuas. Esta solución es más actual, pues problemas similares fueron resueltos desde la antigüedad (Por ejemplo el cálculo aproximado de p por Arquímedes) con suficiente precisión.

Desarrollo:

Convengamos en llamar a la expresión

donde a1, a2 ……….as son números naturales no nulos y a0 natural, fracción continua. Los números a0, a1,…….,as son sus elementos.

Para el cálculo de una fracción continua utilicemos el algoritmo de la división Euclidiana en los naturales. Dada la fracción decimal p/q, escribamos

p=q*a0 +r0

de donde dividiendo por "q" obtenemos

= a0 +

si aplicamos este razonamiento a q/r0 obtenemos

= a1 +

sustituyendo q/r0 en p/q queda

Teniendo en cuenta que los ri son los restos sucesivos de la división de Euclides, podemos asegurar que estos decrecen a cero, por tanto el proceso es finito. Si continuamos este procedimiento, llegamos a una expresión similar a (I). Hagamos algunas precisiones acerca de las propiedades más importantes al menos para nuestro fin.

Una fracción continua puede interrumpirse en el n-ésimo elemento y desechar los restantes a partir del (n+1)-ésimo. El valor obtenido se denomina n-ésima fracción congruente y la denotaremos .

Mostremos un ejemplo con el número 365,2421990740741 que representa la duración aproximada del año real, considerémoslo solo con 6 lugares decimales.

Este se representa como fracción decimal,

365242199 .

1000000

Siguiendo el esquema de Euclides esta puede escribirse como,