Curiosidad científica acerca de como ajustar la duración real de un año a la vida civil (página 2)

No es necesario continuar el cálculo, que finaliza en unos pasos más que el lector puede realizar. En la última fracción continua, es posible elegir las siguientes fracciones parciales o congruentes:

= 365;

= 365 + ;

;

;

Las expresiones anteriores representan aproximaciones del número ; más adelante mostraremos la conveniencia de poder elegir aproximaciones de este tipo. Esta representación de una fracción continua, es engorrosa y extensa, por lo que usaremos además la siguiente notación.

[365]; [365;4]; [365;4,7]; [365;4,7,1].

A la fracción continua asociada a la fracción decimal , completamente desarrollada, le corresponde en la notación anterior, la siguiente expresión.

[365;4,7,1,3,5,20,6,12].

No obstante, esta descripción parte de una aproximación hecha a la fracción decimal, que representa la duración del año real; que por tanto incluye, además del error de la fracción congruente seleccionada, el de la aproximación decimal. Mas adelante, haremos los cálculos sin incluir error de redondeo.

No obstante, las fracciones congruentes resultan incómodas de manipular, si son descritas en la notación por pisos. Para salvar esta dificultad, convengamos en generalizar las denominaciones usadas para las fracciones congruentes del ejemplo anterior.

En general la fracción congruente será designada también por:

[a0;a1, a2,……., an] ; (II)

donde a0 representa la parte entera del número y los ai con i= 1,……,n; los diferentes escalones de la fracción.

Esbocemos la idea central de la demostración y describamos brevemente un algoritmo para el cálculo de una fracción congruente, a partir de sus elementos. Hagamos algunas transformaciones algebraicas en las primeras fracciones, para tratar de obtener una expresión general recurrente. Es evidente que

=;

= a0 + = ;

si sustituimos a1 por a1+ obtenemos el siguiente escalón de la fracción; o sea;

=;

si tenemos en cuenta que p0=a0; q0=1; p1=a1.a0 +1 yq1 =a1, obtenemos:

=.

De la última expresión se puede extraer la siguiente ley general:

pn = pn-1.an + pn-2 ;

qn = qn-1.an + qn-2 ; (III)

n = 2,3,……,s.

La demostración se hace por el método de inducción, y solo daremos algunos elementos. El inicio de inducción ha sido efectuado al arribar a la fórmula general recurrente; considerando además como hipótesis que la expresión es verdadera para un cierto k, se arriba a la tesis, sustituyendo en la fracción congruente k-ésima, el elemento ak por el término ak + y realizando las transformaciones algebraicas pertinentes.

Si observamos detenidamente las fórmulas (III) y tenemos en cuenta que q0 puede ser igual o menor que q1, podemos proponer el siguiente orden para los numeradores y denominadores de las fracciones congruentes,

p0 < p1< p2 < p3 < ………;

q0 £ q1 < q2 < q3 < ………. (III.1)

En este momento podemos proponer una tabla simple para el cálculo del denominador y el numerador de la fracción congruente . Este cálculo simple se hará solo a partir del elemento an y las dos fracciones anteriores.

TABLA I

Los elementos de la primera fila se ubican todos y los datos de las dos primeras columnas; a partir de aquí se necesita para cada cálculo las dos columnas anteriores y el elemento de la primera fila de la columna a calcular, como muestra la tabla que a continuación mostramos.

TABLA II

Para calcular pn se multiplica a pn-1 por an y se le suma pn-2. De manera análoga se puede calcular qn. Ilustremos estos cálculos para la fracción continua correspondiente al número . En la forma (II) este se puede escribir como:

[365;4,7,1,3,5,20,6,12].

TABLA III

Dadas dos fracciones congruentes vecinas, estimemos el incremento que se produce al pasar de la anterior a la siguiente, que designaremos por D n:

D n= (IV)

donde Dn se expresa como:

Dn = pn+1qn -pnqn+1.

Sustituyendo pn+1 y qn+1 por sus equivalentes según las relaciones (III), conseguimos disminuir los índices en una unidad, arribando a la igualdad;

Dn = -(pnqn-1-pn-1qn) = -Dn-1;

Que es una relación recurrente que permite disminuir el índice asta cero; o sea;

Dn = -Dn-1 = Dn-2 = -Dn-3 = ….. = (-1)n.D0.

Solo nos falta calcular D0, para tener una estimación exacta de D n; como sabemos que:

D0 = p1q0-p0q1 = (a1a0 +1) – a0a1 =1.

Luego obtenemos para Dn , el sencillo valor:

Dn = (-1)n.

Finalmente, los incrementos de las fracciones congruentes resultan ser según la formula (IV),

D n = . (IV.1)

De esta fórmula se pueden extraer algunas conclusiones importantes.

1. Si n es par, el incremento D n es positivo; por tanto la fracción n-ésima es menor que (n+1)-ésima.
2. En esta situación, la fracción (n-1)-ésima también es de orden impar y el incremento D n-1 es negativo.
3. De las dos conclusiones anteriores, se deduce que la n-ésima fracción congruente de orden par y es menor que sus fracciones vecinas
4. Análogamente se puede obtener que cualquier fracción de orden impar, es mayor que las fracciones vecinas. (Por fracción vecina entenderemos por supuesto, la que le antecede y la que le sucede).
5. La fracciones congruentes pares conforman un conjunto finito que pueden ordenarse de forma creciente hacia el valor y las impares conforman un orden decreciente al mismo valor.
6. Como los denominadores qn constituyen un conjunto que se ordena de forma creciente, según muestran las fórmulas (III.1), el valor absoluto de la sucesión de los incrementos es decreciente. La última fracción congruente coincide con
7. De los observaciones anteriores se desprende que: El valor

está comprendido entre dos fracciones continuas consecutivas cualesquiera; por tanto la diferencia en valor absoluto con cualquier fracción congruente, es menor que el valor absoluto del incremento que se produce al pasar de una a la otra. Por tanto son válidas las siguientes relaciones:

= <.

La última mayoración es la más conveniente, porque qn+1 puede ser desconocido, si se cuenta con la fracción congruente .

Este resultado nos permite determinar el error máximo absoluto, en que incurrimos cuando aproximamos el número racional por la fracción congruente .

Todo número racional positivo, puede ser representado por una fracción continua finita (El proceso se justifica por la utilización de los restos de la división Euclidiana que es un proceso finito y decrece a cero) y toda fracción continua finita representa un número racional positivo.

Se puede construir un proceso similar para los racionales negativos y con fracciones infinitas para los reales en general; pero no ha sido tratado porque está fuera de las necesidades del problema que nos ocupa. "La selección más adecuada para alternar los años bisiestos".

Retomemos el cálculo del número que representa, la parte del día asociada al tiempo de 5 horas, 46 minutos y 46 segundos, expresado como fracción decimal. Este es igual a:

;

que después de simplificado queda:

.

Desarrollemos este último en fracciones continuas. Aclaremos que no incluimos la parte entera del número que realmente nos interesa, a saber 365; solo trabajaremos con la fracción anterior.

43200 = 4*10463+1348;

10463 = 7*1348 + 1027;

1348 = 1*1027 + 321;

1027 = 3*321 + 64;

321 = 5*64 + 1;

64 = 64*1.

Utilizando este algoritmo, podemos arribar al desarrollo propuesto para la fracción .

= 4 + ;

= 4 + ;

= 4 + ;

= 4 + ;

= 4 + ;

A partir de aquí, las fracciones congruentes asociadas al número que representa, la duración real del año son:

= 365;

= 365 + ;

= 365 + =365 + ;

= 365 + ;

= 365 + ;

= 365 + ;

= 365 + ;

= 365 + ;

= 365 + ;

= 365 + ;

= 365 + ;

Hagamos una tabla similar a la tabla II de la página 5, para la fracción desarrollada, de forma que podamos comparar mejor cada elemento de aproximación. Tengamos en cuenta que en esta tabla, la primera fila indica el elemento ai de la fracción, la segunda y tercera filas, el númerador pi y el denominador qi, de la i-ésima fración congruente.

TABLA IV

A partir de los datos de esta tabla, es obvio que las dos últimas aproximaciones, son realmente incómodas, por tanto solo analizaremos cual de las cuatro primeras aproxima mejor la duración real del año y a la vez es mejor de usar. La segunda y tercera filas nos brindan la relación existente entre la cantidad de años bisiestos y la extensión del periodo de tiempo en que estos deben ser considerados; por tanto la primera columna indica que debe ser considerado, un año bisiesto cada cuatro años; o sea; que la duración media del año es de 365 días y 6 horas, de donde resulta un exceso de 11 minutos y 14 segundos.

Averiguando que parte del día es cada fracción de la tabla (referido a las columnas 3, 4 y 5), sabremos en cuanto se desvía la duración media asumida, de la duración real del año. Para conseguir esto, es necesario resolver una proporción del tipo

;

donde x significa la cantidad de segundos de un día en los que se puede describir la fracción . Estos sencillos cálculos se muestran en la siguiente tabla.

TABLA V

No hay dudas de que la cuarta aproximación, es excepcionalmente buena. ¡Produce un error de 1 segundo en un período de 128 años, considerando 31 años bisiestos!. Conduzcamos estos datos a un número redondo de años, teniendo en cuenta que tres períodos de 128 años, totalizan 384, que incluyen 93 bisiestos; si además tenemos presente que con 16 años más, completamos 4 siglos, solo nos faltaría decidir cuantos deben ser bisiestos, según la fracción , resolviendo la igualdad:

;

de donde resulta x =3,875; arribando a la cifra aproximada de 96,875 años bisiestos. Por tanto podemos asumir que es necesario considerar 97 años bisiestos en un período de 400 años. Si queremos también saber el error adicional que incluimos, además de 1 segundo para cada período de 128 años, debemos averiguar que tiempo es en minutos y segundos 0,125 días. Este resulta ser igual a 3 horas, adicionándole además 3 segundos de los tres períodos completos de 128 años, obtenemos en total un ERROR de 3 horas 3 segundos en 400 años.

Finalmente señalemos, que la comisión encargada por Gregorius XIII, no conocía las fracciones continuas y la duración real del año con la precisión actual; por tanto no fue este el camino elegido para la solución del problema del calendario, sino teniendo en cuenta que las tablas usadas por ellos, consideraban la duración media del año como de 365 días, 5 horas, 49 minutos y 16 segundos; por tanto el año medio Juliano excedía a este en 10 minutos y 44 segundos.

Esta información los condujo a estimar en que tiempo se cometería el error de 1 año, que se encuentra al dividir la cantidad de segundos de 1 día, entre el total de segundos de 10 minutos y 44 segundos; o sea;

= ;

resultando aproximadamente 134 años. Como 3 veces este tiempo es casi 400 años, basta omitir 3 años bisiestos en este período. Precisamente este es el contenido de la reforma aprobada por Gregorius, para realizar al Calendario Juliano.

Conclusiones.

Se muestra, como pueden utilizarse las fracciones continuas en la búsqueda de soluciones aproximadas y más convenientes a un problema de la vida real. Hay otras situaciones que también pueden abordarse con esta herramienta, como el cálculo del número π; pero no son expuestos en el trabajo. Es sorprendente saber que Arquímedes encontró una buena aproximación para este número, en la fracción que solo fue mejorada en el siglo XIX, y su obtención se realizó a base de fracciones de denominador 7.

Bibliografía.

2. N.M. Beskin. Fracciones Maravillosas. Editorial MIR. Moscú. 1987.
3. P. F. De Córdova. Optimización en Ingeniería. Servicio de Publicaciones de la Universidad Politécnica de Valencia. 1998.
4. F. Gímenez; G. Rubio. Práctica de métodos Matemáticos en Ingenieria. Servicio de Publicaciones de la Universidad Politécnica de Valencia. 1998.
5. K. Ribnikov. Historia de las Matemáticas. Editorial MIR. Moscú. 1987.
6. J. R. Newman. Sigma. El Mundo de las Matemáticas. Ediciones Grijalbo. Barcelona. 1969.

Autor:

M.Cs. Dagoberto Acosta Iglesias

M.Cs. Pedro Luís Delgado Bravo.