Transformadas de la Imagen Suponiendo que la imagen tiene tamaño NxN, su transformada puede expresarse de la forma: Donde: T(u,v) es la transformada de f(x,y); g(x,y,u,v) es el núcleo (o kernel) de la transformada directa; u y v toman valores de 0 a N-1. La transformada inversa se expresa como: donde h(x,y,u,v) es el núcleo de la transformada inversa. ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL
Transformadas de la Imagen El núcleo directo es separable si g(x,y,u,v)=g1(x,u) g2(y,v).
Entonces,
La transformada bidimensional se puede calcular realizando dos transformadas unidimensionales
Además el núcleo es simétrico si g1 y g2 son iguales.
Entonces,
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Transformadas de la Imagen Expresión matricial: Si el núcleo g(x,y,u,v) es separable y simétrico, la transformada se puede expresar en forma matricial. Sean F, G y T las matrices de elementos
Entonces, la transformada
puede escribirse de la forma
Para obtener la transformada inversa, se multiplica a derecha e izquierda por la matriz inversa de G y de su traspuesta:
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Transformadas de la Imagen Algunos ejemplos de transformadas:
La transformada de Fourier.
La transformada discreta del coseno.
La transformada de Hadamard.
La transformada de Walsh. ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL
La transformada de Fourier La transformada de Fourier de una función continua e integrable en una variable real x se define por Observemos que la transformada de una función real es una función compleja. Es decir, F(u)=R(u)+I(u)i, donde R(u) e I(u) son la parte real e imaginaria de F(u), respectivamente. La variable u recibe el nombre de variable de frecuencia.
El módulo de F(u), |F(u)|= (R(u)2+ I(u)2)1/2 recibe el nombre del espectro de Fourier.
El cuadrado del espectro se denomina espectro de potencias ó densidad espectral de f(x).
Su ángulo P(u)=arctg(I(u)/R(u)) recibe el nombre de fase. ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL
La transformada de Fourier La oscilación sobre un valor medio (A) puede representarse por una forma lineal (B) y ésta puede reproducirse como una suma de ondas.La onda C describe la forma B mucho peor que las cinco ondas del gráfico D que vemos sumadas en E. ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL
La transformada de Fourier La inversa de su transformada se define como: Análogamente, se define la transformada de Fourier de una función continua e integrable de 2 variables: y su inversa como ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL
La transformada de Fourier discreta Sea f(x,y) una imagen en niveles de grises, tal que x=0,1,…,N-1 e y=0,1,…,N-1; y f(x,y) toma valores discretos representando el nivel de gris del píxel (x,y) entonces, la transformada discreta de Fourier de la imagen consiste en una función F(u,v) tal que u=0,1,…,N-1 y v=0,1,…,N-1: y su inversa como ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL
Propiedades de la transformada de Fourier En este apartado, nos vamos a centrar en las propiedades de la transformada de Fourier discreta bidimensional (TFD). Núcleo separable y simétrico
La ventaja que aporta esta propiedad es el hecho de poder obtener la transformada F(x,y) (o la inversa f(x,y)) en dos pasos, mediante la aplicación de la Transformada de Fourier 1-D (o su inversa): donde ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL En particular, esto significa que la matriz de la transformada se puede obtener mediante un producto de matrices T=AT FA
Propiedades de la transformada de Fourier La linealidad La transformada de Fourier y su inversa son transformaciones lineales, es decir, poseen la propiedad distributiva respecto de la suma. La traslación TF[f(x,y) ei2Pi(Ux+Vy)/N]=F(u-U, v-V) (se traslada el origen de la transformada a (U, V))
TF[f(x-X, y-Y)]=F(u, v) e -i2Pi(uX+vY)/N
Un caso particular de esta propiedad consiste en mover el origen de la transformada de Fourier de f(x,y) al centro de la matriz N X N que le corresponda, es decir al punto (N/2,N/2). Para ello, podemos hacer uso de que: TF[f(x,y)(-1)x+y ] se hace corresponder con F(u-N/2,v-N/2). También cabe resaltar, que un desplazamiento en la función f(x,y), no provocará un cambio en la magnitud de su transformada de Fourier. Véase esto matemáticamente en la siguiente expresión:
|F(u,v)e-i2Pi(uX+vY)/N|=|F(u,v)| ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL
Propiedades de la transformada de Fourier La simetría y periocidad Si f(x,y) es real, la transformada de Fourier satisface:
|F(u,v)|=|F(-u, -v)|
La transformada discreta de Fourier y su inversa son funciones periódicas de periodo N; es decir, F(u,v)=F(u+N, v)= F(u, v+N)=F(u+N, v+N).
Consecuencia:
Si se desplaza el origen de la transformada al punto (N/2, N/2), para calcular la transformada de Fourier , F(u-N/2, v-N/2), en un periodo completo sólo necesitamos calcularla en los N/2 + 1 puntos primeros.
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Propiedades de la transformada de Fourier La simetría y periocidad ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL
Propiedades de la transformada de Fourier La rotación Si rotamos la función f(x,y) un ángulo determinado, la transformada de Fourier también será afectada por una rotación del mismo ángulo. Esta propiedad también se da a la inversa, es decir, si la transformada se rota en un determinado ángulo, la transformada inversa también se verá rotada ese mismo ángulo. ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL
Propiedades de la transformada de Fourier Representación del logaritmo del espectro El espectro de Fourier suele tener un rango mucho mayor que los usuales para mostrar una imagen. Una técnica usual para evitar esto es considerar el logaritmo del espectro usando la fórmula
D(u,v)=C(log(1+|F(u,v)|))
donde C es una constante adecuada de reescalado de la imagen, que se aplica para obtener valores dentro de la paleta de colores disponible.
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Propiedades de la transformada de Fourier Valor promedio Una definición ampliamente utilizada del valor promedio de una función discreta de dos dimensiones es: Propiedad: ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL
Aplicación del logaritmo del espectro de Fourier Analizador de texturas
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Aplicación del logaritmo del espectro de Fourier Analizador de texturas
Texturas de campos Texturas de charcas ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL
Aplicación del logaritmo del espectro de Fourier Analizador de texturas
Texturas de ciudad Texturas de agua ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL
Para practicar: Applet de Java
http://www.dai.ed.ac.uk/HIPR2/fourier.htm
http://www.ee.siue.edu/~cvip/
http://rsbweb.nih.gov/ij/applet/
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La transformada rápida de Fourier
Un algoritmo que calcule la transformada de Fourier unidimensional tiene de complejidad O(N2). Existe un algoritmo "rápido" que calcula dicha transformada en O(N log N) operaciones (donde N=2k).
Para conseguir tal reducción, hemos de darnos cuenta que si escribimos N=2M entonces
para u=0,1,2,…,M-1, donde y ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL
Además se cumple que siendo u=0,1,2,…,M-1. Por tanto, para conocer la transformada de Fourier F(u) para todo u, sólo tenemos que calcular Fp(u) y Fi(u) para u=0,1,2,…,N/2-1. Si volvemos a aplicar el mismo razonamiento para M=2L, sólo tendremos que calcular el valor de Fp(u) y de Fi(u) para u=0,1,2,…,N/4 – 1, y así sucesivamente. Una situación análoga se tiene para la transformada inversa de Fourier. ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL La transformada rápida de Fourier
La transformada rápida de Fourier ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL
La transformada rápida de Fourier ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL Considérese la Transformada Discreta de Fourier (DFT):
con Sea:
Transformada rápida:
La transformada rápida de Fourier Para practicar:
http://www.dai.ed.ac.uk/HIPR2/
http://www.ee.siue.edu/~cvip/
http://rsbweb.nih.gov/ij/
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La transformada de Hadamard La transformada de Fourier se basa en términos trigonométricos.
La transformada de Hadamard consiste en un desarrollo en serie de funciones básicas cuyos valores son +1 o -1. La transformada de Hadamard, H(u,v), de una imagen f(x,y) de dimensiones N x N donde N=2k viene dada por la fórmula donde u=0,1,…,N-1 y v=0,1,…,N-1 y bj(z) es el j-ésimo bit (de derecha a izquierda) de la representación binaria de z. ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL
La transformada de Hadamard La transformada inversa de Hadarmad es idéntica a la anterior, intercambiando las funciones H y f: La ventaja que tiene esta transformada es que cualquier algoritmo que calcule la transformada directa de Hadamard, puede emplearse sin modificaciones para calcular la transformada inversa. ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL
La transformada de Hadamard Los núcleos de la transformada de Hadamard también son simétricos y separables. donde Por tanto para calcular la transformada de Hadamard bidimensional, se calcula dos veces consecutivas la transformada de Hadamard unidimensional: ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL
La transformada de Hadamard Llamemos g(x,u) al núcleo de esta transformada. Es muy fácil calcular la matriz del núcleo para cualquier N=2k de forma inductiva.
La matriz de Hadamard, de menor k, es Inductivamente: La matriz de transformación A tal que H=AFA, donde F es la imagen original, viene dada por A=(1/(N1/2))HN.
Por ser A-1=A, la formulación de la transformada inversa es idéntica a lo anterior. ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL
La transformada de Hadamard Ejercicio:
Calcular los valores de g(z,w) para N=4.
Comprobar que la matriz G que representa la función g(z,w) es simétrica con filas y columnas ortogonales.
Diseñar un algoritmo que calcula la transformada de Hadamard de una imagen usando la matriz anterior. ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL
La transformada ordenada de Hadamard A menudo es importante expresar la función base de Hadamard ordenada, de forma que la secuencia aumente con u. Para ello, una ligera variación en la transformada de Hadamard produce la transformada ordenada de Hadamard que tiene por fórmula: donde El núcleo g(x,y,u,v) de esta transformada también es separable y simétrico: La inversa de la transformada ordenada de Hadamard tiene la misma fórmula. ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL
La transformada ordenada de Hadamard Ejercicio: Calcular el núcleo de la transformada ordenada de Hadamard bidimensional para N=4.
ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL Cada bloque consiste en 4×4 elementos, correspondientes a g(x,y,u,v), fijando u y v y variando x e y entre 0 y 3.
El origen de cada bloque es la esquina superior izquierda. El blanco y el negro representan +1 y -1 respectivamente.
Debido a la similitud entre la transformada de Hadamard y la transformada Walsh, a menudo encontramos en la literatura el término transformada Walsh-Hadamard para referirse a cualquiera de las dos.
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