Visualización de Ondas en 2D y el fenómeno de interferencia (página 2)

III. Interferencia destructiva y constructiva

En la mecánica ondulatoria la interferencia es lo que resulta de la superposición de dos o mas ondas, resultando en la creación de un nuevo patrón de ondas.

Aunque la acepción mas usual para interferencia se refiere a la superposición de dos o mas ondas de frecuencia idéntica o similares principio de superposición de ondas establece que la magnitud del desplazamiento

ondulatorio en cualquier punto del medio es igual a la suma de los desplazamientos en ese mismo punto de todas las ondas presentes. Esto es consecuencia de que la Ecuación de onda es lineal, y por tanto si existen dos o mas soluciones, cualquier combinación lineal de ellas será también solución.

Codigo(3)

Imagen(3)

La visualización del fenómeno de interferencia se encuentra en la imagen (3) superior. El mismo efecto puede conseguirse dibujando una hoja de líneas negras y blancas horizontalmente y hacer otra hoja con igual patrón en forma vertical en Acetato, usando un proyector de luz sobreponga las hojas y observe el patrón que se forma.

Problemas

1. Usando el código(3) genera una interferencia entre una onda con componente vertical y componente horizontal, ¿que sucede cuando la frecuencia de la onda vertical y horizontal son aproximadamente iguales?
2. Usa el código(1) y genera ondas sin(x) de diferente frecuencia f, ¿que sucede a frecuencias altas por encima del numero de segmentaciones? ¿Que sucede cuando la frecuencia es igual a 255 Hz? El numero de segmentos es 1/(n-1) en donde n es la frecuencia de adquisición fn = 255 Hz
3. La función f(x)=ln(ax) en donde a es un escalar, edita el código(2) y agrega la constante a ¿Qué sucede con la intensidad si a un numero grande? ¿Qué sucede con la intensidad si a es un numero pequeño?

IV. Ondas Viajeras

Considera un pulso en una dimensión (1D) de forma arbitraria descrito por Yo =f(Xo), fijo en un sistema de coordenadas Oo(Xo, Yo ), ahora piensa que el pulso se mueve en dirección el eje x a velocidad constante v, se asume que el pulso mantiene su forma original. Cualquier punto P en el nuevo sistema de coordenadas O(x, y) puede localizarse con la relación x0 = x ± vt

(1)

La ecuación (1) muestra que con una substitución en y=f(x’) por f(x ± vt) genera una onda que se propaga a velocidad constante, esto se puede comprobar sustituyendo la solución en la ecuación de onda. El código a continuación hecho en software Matematica y muestra una onda viajera sin(x ± vt)

Código(4)

Imagen(4)

El siguiente código Grafica la animación de una Onda en (3D) propagándose a una velocidad constantante v

Código(5)

Imagen(5)

Problemas

1. Edita el código(4), Cambia el valor de la velocidad v por v=-1, ¿En que dirección del eje x se mueve la onda?

   

   a) De las funciones superiores cuales son ondas y cuales no

   b) Si es una onda, menciona la dirección y magnitud de la velocidad

2. Considera las siguientes funciones, donde la distancia se mide en metros y el tiempo en segundos

   

3. La siguiente expresión muestra una onda viajera, determine la velocidad (magnitud y dirección),donde la distancia es en metros
4. Un pulso de la forma

se forma al perturbar una cuerda, en donde a y b son constantes y x es en centímetros. Dibuja el pulso, Escribe la ecuación que representa al pulso moviéndose a una velocidad de 10 cm/s en la dirección negativa del eje x

V. Ecuación de onda en 2D

La ecuación de onda en 2D en coordenadas cartesianas se muestra a continuación en donde depende de la posición y el tiempo

(5.1)

Nuestro objetivo es resolver la ecuación de onda en coordenadas cartesianas (1) para esto proponemos el método de separación de variables

(5.2)

Sustituyendo la solución propuesta (5.2) en la ecuación (5.1) desarrollamos y intentamos de separar las variables independientes

Dividiendo ambos lados por

Una función de x es igualada a una función de y, t, pero x, y, t son variables independientes. Esta independencia significa que el comportamiento de x no está determinado por las otras dos variables. Por tanto igualamos ambos lados a una constante.

Observa que al introducir la constante tenemos 2 sistemas de ecuaciones diferenciales la ecuación (1) solo depende de x y por tanto es ordinaria, la ecuación (2) solo depende de x e y por tanto intentamos de separar las variables de nuevo para obtener un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

Separando la ecuación (2) insertamos una nueva constante y se obtiene (5.3)

(5.3)

En donde y , resolvemos las tres de ecuaciones diferenciales ordinarias en (5.3) imponiendo las condiciones de frontera para la siguiente geometría

Imagen(6)

Las condiciones de frontera impuestas para esto problema, la funcion debe ser cero en las orillas de la membrana, y una amplitud A en t = 0. Las cuales se describen matemáticamente como sigue

(5.4)

Resolviendo las ecuaciones diferenciales en (5.3) con las condiciones de frontera (5.4) se encuentra la siguiente solución

(5.5)

Usando matemática se crea una animación de la ecuación (5.5)

Código(6)

Imagen(7)

Problemas

1. Cambia los valores de a ,b,k y n en el codigo (5) y observa que hay varias combinaciones corresponder al mismo de w. es decir varias vibraciones de la misma frecuencia pero diferentes lineas nodales curvas de puntos en la membrana que no se mueven

Bibliografía :

1. Introduction to Optics, Frank L. Pedrotti, Leno S. Pedrotti, ISBN-10: 0134914651

2. Guide to MATLAB: For Beginners and Experienced Users by Brian R. Hunt (Editor), Ronald L. Lipsman, Jonathan M. Rosenberg, ISBN-10:0521803802

3. Mathematical Methods for Physics and Engineering: A Comprehensive Guide by K. F. Riley, M. P. Hobson, S. J. Bence, ISBN-10: 0521861535

Texto Creado por

Oscar Guerrero Miramontes