Unión de conjuntos (?): la operación unión de dos conjuntos (A ? B) está formado por todos los elementos que pertenecen a A, o a B, o a ambos. A ? B = {x/ x ? A ? x ? B}
Sean los conjuntos U = { p , r , s , t } , A = { p , s } y B = { r , s } .
A ? B = { p, s, r} Intersección de conjuntos (?): La operación intersección de dos conjuntos es el conjunto (A?B) que está formado solamente por los elementos que pertenecen a A y a B simultáneamente. A ? B = {x/ x ? A ? x ? B} Sean los conjuntos U = { p , r , s , t } , A = { p , s } y B = { r , s } .
A ? B={s} Diferencia de conjuntos ( ? ): La operación diferencia de dos conjuntos es el conjunto (A?B) que está formado por todos los elementos que pertenecen a A, pero que no pertenecen a B. A ? B = {x/ x ? A ? x ? B} Sean los conjuntos U = { p , r , s , t } , A = { p , s } y B = { r , s } .
A ? B ={p} Diferencia simétrica de conjuntos ( ? ): La operación diferencia simétrica de dos conjuntos es el conjunto (A ? B) que está formado solamente por todos los elementos que pertenecen a A o a B, pero no a ambos. A ? B = {x/ x ? A ? x ? B} Sean los conjuntos U = { p , r , s , t } , A = { p , s } y B = { r , s } .
A ? B ={p,r}
A ? ? A ??x?Z / x ?3x?28? d) A ??x?Z / x ? ?1? e) Complemento de un conjunto ( c ): Dado un conjunto universo U y un conjunto A, el complemento c
pertenecen a A. c = { x / x?U ? x ? A } Sean los conjuntos U = { p , r , s , t } , A = { p , s } y B = { r , s } . c CUESTIONARIO WORK PAPERS 4 CONJUNTOS 1.- Dado los siguientes conjuntos, notarlo por comprensión y extensión a) A = {a, e, i, o, u} b) B = {Norte, Sur, Este, Oeste} c) A ? x?Z /3×2 ? 48 2
2 f) A??x?N / x ? ?1? g) A ??x?N /6x? x2 ?9 ? 0? y A y B tienen los mismos elementos? 2.- Sean los conjuntos: , A = {1, 2, 3, 4, 5, 7} B ??x?N / x ?3?
B = {3, 4, 7, 8} C = {1, 4, 6, 7, 8} Calcular y graficar utilizando el diagrama de Venn las siguientes operaciones: a) A U B b) A n B c) B ? A d) B – A e) (A U B) U C f) (A n B) U C A = { a,b, {a, b,}, c, e} ; B={b, e, {b, a}, {c, a}, f} C={b, d, f, a} g) (B – A) n C 3.- Dado los conjuntos:
Hallar los conjuntos: A – B= A n B = B ? A = ; ; ; (A – B) U C = (A n B) n C = (C ? A) n A = PAR ORDENADO.- Un par ordenado es una pareja de elementos que guardan un orden determinado:
Si: ?a ? x; b ? y ?a,b???x,y? en donde; x ?Primer componente; y ?Segundo componente FUNCIONES.- Es el conjunto de pares ordenados ?x,y? entre los cuales no existe dos pares , ordenados con el mismo primer componente, gráficamente una función es aquella grafica en don de una recta vertical corta en un solo punto a la función. Ejemplo: Determinar si las siguientes relaciones son funciones: “Si es función” R2 ???2,2?,?3,5?,?4,5?,?6,1?,?3,5?? “No es función porque el primer componente 3 se repite” R3 ????2,1?,?2,5?,?5,5?,?3,1?,??6,5?,?6,7?? “Si es función” Dominio de una función.- Es el conjunto de los primeros componentes de los pares ordenados de una función, gráficamente el dominio de una función es la sombra que proyecta la grafica en el eje “x”, el dominio se simboliza con Df. Dominio de Imagen.- Es el conjunto de los segundos componentes de los pares ordenados de una función, gráficamente el dominio de imagen de una función es la sombra que proyecta la grafica en el eje “y”, el dominio de imagen se simboliza con DIf. Ejemplo: Dado la siguiente función calcular el Dominio, Dominio de imagen la siguiente función:
Df = ?2,3,4,6,?3? DIf.= ? 15,7,6,4? CALCULO DE DOMINIO DE FUNCION: Si una función depende de una ecuación matemática, el dominio de esta función estará restringido por las siguientes operaciones: R 1 7 6 5 4 3 2 1 0 PRODUCTO CARTESIANO.- Dados dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano A?B al conjunto formado por todos los pares ordenado cuyo primer componente pertenece al conjunto A y el segundo componente pertenece al conjunto B; es decir: A?B ? ?x,y? x?A ? y?B Nota: Si A tiene “m” elementos y B tiene “n” elementos, el producto cartesiano A?B tendrá m?n elementos PLANO COORDENADO.- Es el producto cartesiano RxR donde R es el conjunto de todos los números reales, consecuentemente el plano coordenado es el conjunto de todos los pares ordenados de los números reales. Gráficamente un plano de coordenado esta formado por dos rectas perpendiculares entre si RELACIONES.- Se llama relaciones a cualquier subconjunto de un producto cartesiano dado; es decir una relación es cualquier conjunto de par ordenado. Ejemplo: Graficar las siguientes relaciones obtenidas del anterior ejemplo A?B R1 ???2,1?,?2,5?,?4,5?,?6,1?,?6,5?,?6,7??
8 0 1 2 3 4 5 6 7
f?x?? h?x? ?
? División
Radical g?x? ; f?x?? g?x? ; ?h?x?? 0 ? g?x?? 0 Para realizar el calculo de domino de una función que tiene restricción deberá resolver la inecuación y el conjunto de solución será el dominio de la función. VARIABLES DEPENDIENTES: Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x. VARIABLE INDEPENDIENTE: Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x. VARIABLE CONSTANTE: Es aquella que no esta en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo: Y = 2, la constante gravitacional, entre otras. ÁLGEBRA DE FUNCIONES: El desarrollo de las funciones nos lleva a generar una serie de reglas que permiten tomar decisiones acerca de los dominios y dominios de imagen, entre otros, esta combinación de operaciones algebraicas de las funciones: Sean f y g dos funciones, definimos las siguientes operaciones: ? ? ? ? Suma: Diferencia: Producto: Cociente: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f – g)(x) = f(x) – g(x) (fg)(x) = f(x)g(x) (f/g)(x) = f(x)/g(x) x Los resultados de las operaciones entre funciones f,g nos conduce a analizar el dominio de las funciones, así para f + g, f – g y fg el dominio es la intersección del dominio de f con el dominio de g. En el caso del cociente entre funciones el dominio de f / g es la intersección del dominio de f con el dominio de g, para los que g(x) = 0. CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES: Las funciones se clasifican en funciones: lineales, cuadráticas, cúbicas, polinomiales, racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, valor absoluto, definidas por sección, etc. FUNCIONES LINEALES: Son aquellas funciones que tiene la forma f??? mx?b, el dominio de estas funciones son todos los reales y su dominio de imagen también es todos los reales 2
dominio de estas funciones son todos los reales y su dominio de imagen estará restringido por el radical.
FUNCIONES POLINOMIALES: Son aquellas funciones que dependen de un polinomio de la forma f?x??axn ?bxn?1 ?…..??n?1?x?n, el dominio de estas funciones son todos los reales y su dominio de imagen dependerá del grado del polinomio que tenga.
g?x? FUNCIONES RACIONALES: Son aquellas funciones que tienen la forma , el dominio de estas funciones están restringidos por la condición h?x?? 0 y su dominio de imagen dependerá de la función inversa. CUESTIONARIO WORK PAPERS 5
1. Dadas las funciones; hallar el Dominio, Grafica y Dominio de Imagen: a)
b)
c)
d)
e) Y ? 2x?5 Y ? ?4×2 ?3 Y ? x3 ?2 Y ? ?(x?2)3 ?2 Y ?5×3 ?3×2 ?2
x ?4 x ?1 Y ? 2 ?a a22 ? ? ? ? ? B ? ? f) Y ? x4 ?6×3 ?4×2 ?2x?2 g)
h)
i)
j) 3 x?3 x 2
x?6 x?2 2 2 Y ?
y ?
Y ?
Y ? k)
l) x2 ?3 x ?4 Y ? x?1?4 x 2 ?2 x 2 ?3 m) Y ? MATRICES. Una matriz es un arreglo rectangular de números ordenados en m-filas (horizontales) y n-columnas (verticales) encerrados entre paréntesis o corchetes. La notación mas usada es A = [aij] donde i es el número de posición de la fila y j el de la columna. El tamaño de la matriz se especifica usualmente escribiendo como subíndice “mxn” ? ? ? a1n ? ? a2n? ? a3n ? ? ? amn?m?n a13 a23 a33 ? am3 ?a11 a12 ? 21 A? ?a31 32 ? ? ?am1 am2 ? 2 8 ??5 27 ?15? 0 ??2?3 ejemplo Cuando m = n se dice que la matriz es cuadrada. Diagonal principal: Solo existe en matrices cuadradas y es la línea formada por los elementos aij tales que i = j Traza de una matriz: es la suma de los elementos de la diagonal principal. Traza (A) = a11 + a22 + a33 + … + ann
TIPOS DE MATRICES Matriz fila: Es una matriz de orden 1 x n.
Matriz columna: Matriz de orden m x 1
U ? ? I2 ? ? ?0 1? A ? ? ? ? ? ? ?12? A ? ? 0 ? ??3?
Matriz nula: Es una matriz cuyos elementos son todos “0”
?0 0 0? A ? ?0 0 0? ?0 0 0? Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada cuyos elementos aij = o cuando i>j ? ? 5 ? ?6? 7 ? ?3 ?2 ?0 4 ?0 0 ? ? ? ? ? ? Matriz triangular inferior: Es una matriz cuadrada cuyos elementos aij = o cuando i< j
?1 0 0 ? ?4 ?3 ?6 15 12? Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada cuyos elementos aij = o cuando i ? j
?9 0 0? D ? ?0 7 0? ?0 0 5? Matriz escalar: Es una matriz diagonal cuyos elementos aij = k(k ? 0) cuando i = j
?3 0 0? E ? ?0 3 0? ?0 0 3? Matriz identidad: Es una matriz diagonal cuyos elementos aij = 1 cuando i = j ? ? ?1 0? ? ?1 0 0? I3 ? ?0 1 0? ?0 0 1? Matriz simétrica: Es una matriz cuadrada donde aij= aji para i ? j ? ? 5 ? ?6? 7 ? ?2 4 ?6 ? 3 ??2 ? 5 Matriz antisimétrica: Es una matriz cuadrada donde aij= – aji para i?j y aij = 0 para i=j
A? ? ? ?A? ? A? ? 0 ?2?3 A ? ? ?3?2?2 B ? ? C ? ? D ? ? A? B ? ? C ? D ? ? ? ? 5 ? ?6? 0 ? ?2 0 6 ? 0 A ? ? 2 ??5
OPERACIONES CON MATRICES
Matriz opuesta: Sea A = [aij] su opuesta es – A = – [aij] = [– aij] 15? 0?? ?8 ?27 ??2 ? 5 ?15? 0 ?? ? 2 8 ??5 27 Matriz traspuesta: Sea A = [aij] de orden m x n su traspuesta se obtiene permutando las filas con ’ t ? ? ?5? 27? 0 ?3?2 ? 2 8 ??5 27 ?15? ? ? 2 ? At ? ? 8 ??15 Suma de matrices: Sean la matrices A = [aij] y B = [bij] su suma se obtiene sumando “elemento a elemento” A + B = [aij+ bij] y es del mismo tamaño. Nota: Solo se pueden sumar matrices del mismo tamaño. Sean las matrices A y B realizar la suma A+B: 9? 4??2?3 13? 6??2?2 0 108 ??5 ?18 ?1 ?0 3? 2??2?3 ?5 104 ? 0 ??3 6? 2??2?3 5 4 ?1 ?3 8? 9??2?2 ??7 ?12 5 ? ? ?2 ?6 A?C ? no existe
Multiplicación por un escalar: El producto de una matriz A = [aij] por un escalar “k” se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz por dicho escalar k·A = [k·aij] Nota: En el trabajo con matrices se acostumbra a llamar escalar las cantidades numéricas independientes.
A? ? ?6 ?3?2?2 C ? ? C ? A? B ? ? A ? ? ??1 2? C ? ? ?3 1 5? B ? ? D ? ? ??1 0 1? ?1 ?2 3 5? E ? ??1 1 2? F ? ? ? ? ? 4 1 3? ? H ??h ? / hi j ?i ? ?6 15? ?
??5 ?25 30 ? ? ?2 5 ? ? 1 5 ?6? ??3 4 2 ??2?3 Sean las matrices : Multiplicación de matrices: Nota El producto de dos matrices solo es posible cuando el número de filas de la segunda matriz es igual al número de columnas de la primera.
Sean las matrices A = [aij]mxp y B = [bij]pxnel producto es pasible porque el número de filas de B es p y es igual al número de columnas de A. La matriz resultante C es del orden m x n C = A·B = [cij]mxn y sus elementos se obtienen multiplicando los elementos de las filas de A por los elementos correspondientes de las columnas de B y sumando estos productos. p
k?1 6 0 4 ? ? ?33 ?29 ?22 2 ? ?10? ? 20?3?2 ? ? ?8? 0 ? 2 ?3?2 ? 5? 3? 2?3?3 ? ? 4 B ? ??1 ? 7 ?1 A ? ?2 ?3 CUESTIONARIO WORK PAPERS 6 MATRICES
1. Considerando las siguientes matrices: ? ? ? ? ?4 ?1? ?0 2 ??
? 1 5 2? ? ? 3 2 4? ? 3 0? ? ? 1 1?
?1 4 2? ? ?4 ?3 0 7?
j ? 6 1 3?
G ??gi j?4 x 3 / gi j ?i? j
i j 2 x 3 2. Determine cuando sea posible y justifique su respuesta cuando no lo sea.
e) GH – 2F (3H + /2C) – BA f) a) 3C – D b) c) (AB)C (4B)C + 2B d) D + E2 T T 1 T 3. Generar las siguientes matrices: a) Matriz identidad de 4*4 b) Matriz escalar de 5*5 c) Matriz triangular inferior de 3*3 d) Matriz nula 1. Según el estudio del álgebra y de las operaciones algebraicas, reflexionar y discutir en grupo las aplicaciones: mencionar mínimo 5 aplicaciones 2. Identifique los distintos métodos para resolver sistemas ecuaciones y desarróllelos mediante un ejemplo.
CONCLUSIONES (Sintetizar la opinión del grupo) COMENTARIOS (Sintetizar la opinión del grupo)
INTEGRANTES (Máximo cuatro) Ap. Paterno Ap. Materno Nombres Firma 1.- Las ecuaciones matemáticas son herramientas, que permiten el análisis relacionados con su especialidad, investigue indicando las aplicaciones prácticas de su carrera.
CONCLUSIONES (Sintetizar la opinión del grupo)
COMENTARIOS (Sintetizar la opinión del grupo)
INTEGRANTES (Máximo cuatro) Ap. Paterno Ap. Materno Nombres Firma 1.- Las operaciones que se pueden realizar con dos o más conjuntos son: unión, intersección, diferencia, complemento Analicé y explique cada una de estas operaciones y de un ejemplo en cada caso.
CONCLUSIONES (Sintetizar la opinión del grupo) COMENTARIOS (Sintetizar la opinión del grupo)
INTEGRANTES (Máximo cuatro) Ap. Paterno Ap. Materno Nombres Firma Utilizando los apuntes analizar, relacionar y debatir el tema, analizando las variables y constantes de Dichas ecuaciones, indicar a que tipo de función corresponden cada tipo de grafica
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COMENTARIOS (Sintetizar la opinión del grupo)
INTEGRANTES (Máximo cuatro) Ap. Paterno Ap. Materno Nombres Firma
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