. . a a o a a a a a o a u o u o o Una Reformulaci´n de la Mec´nica Cl´sica Antonio A. Blatter Licencia Creative Commons Atribuci´n 3.0 (2015) Buenos Aires Argentina Este trabajo presenta una reformulaci´n de la mec´nica cl´sica que es invariante bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales y que puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia sin necesidad de introducir las fuerzas ?cticias. Introducci´n La reformulaci´n de la mec´nica cl´sica que este trabajo presenta se desarrolla a partir de un sistema auxiliar de part´iculas (denominado free-system) que es utilizado para obtener magnitudes cinem´ticas (denominadas inerciales) que son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales. La posici´n inercial ri , la velocidad inercial vi y la aceleraci´n inercial ai de una part´icula i, est´n dadas por: . ri = (ri – R) . vi = (vi – V ) – ? × (ri – R) . ai = (ai – A) – 2 ? × (vi – V ) + ? × [ ? × (ri – R) ] – a × (ri – R) ( vi = d(ri )/dt ) y ( ai = d2 (ri )/dt2 ) donde ri es el vector de posici´n de la part´icula i, R es el vector de posici´n del centro de masa del free-system y ? es el vector de velocidad angular del free-system (ver Anexo I ) La fuerza neta Fi que act´a sobre una part´icula i (mi ) produce una aceleraci´n inercial ai , seg´n la siguiente ecuaci´n: Fi = mi ai Los sistemas de referencia inerciales y no inerciales no deben introducir las fuerzas ?cticias sobre Fi . Las magnitudes [ mi , ri , vi , ai y Fi ] son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales. Un sistema de referencia S es no rotante si la velocidad angular ? del free-system respecto a S es igual a cero y S es adem´s inercial si la aceleraci´n A del centro de masa del free-system respecto a S es igual a cero. 1
N i N i N i N i N i N i o o N i N i N i N i 1 2 N i N i 1 2 e a N i 1 2 N i N i 1 2 e a De?niciones
Para un sistema de N part´iculas, las siguientes de?niciones son aplicables: Masa . M = N i mi Posici´n CM 1
Velocidad CM 1
Aceleraci´n CM 1
Posici´n CM 2
Velocidad CM 2
Aceleraci´n CM 2 . Rcm = M-1 . Vcm = M-1 . Acm = M-1
. Rcm = M-1 . Vcm = M-1 . Acm = M-1 mi ri
mi vi
mi ai
mi ri
mi vi
mi ai Momento Lineal 1
Momento Angular 1
Momento Angular 2
Trabajo 1
Energ´ia Cin´tica 1
Energ´ia Potencial 1 . P1 = . L1 = . L2 =
. W1 = . ? K1 = . ? U1 = – mi vi
mi ri × vi
mi (ri – Rcm ) × (vi – Vcm )
Fi · dri = ? K1
? 1/2 mi (vi )2
Fi · dri Energ´ia Mec´nica 1
Lagrangiano 1 . E1 = K1 + U1 . L1 = K1 – U1 Trabajo 2
Energ´ia Cin´tica 2
Energ´ia Potencial 2 . W2 = . ? K2 = . ? U2 = – Fi · d(ri – Rcm ) = ? K2
? 1/2 mi (vi – Vcm )2
Fi · d(ri – Rcm ) Energ´ia Mec´nica 2
Lagrangiano 2 . E2 = K2 + U2 . L2 = K2 – U2 2
N i N i N i e a N i N i N i e a N i 1 2 N i N i 1 2 e a N i 1 2 N i N i 1 2 e a 2 e a Trabajo 3
Energ´ia Cin´tica 3
Energ´ia Potencial 3 . W3 = . ? K3 = . ? U3 = – ? 1/2 Fi · ri = ? K3
? 1/2 mi ai · ri
? 1/2 Fi · ri Energ´ia Mec´nica 3 . E3 = K3 + U3 Trabajo 4
Energ´ia Cin´tica 4
Energ´ia Potencial 4 . W4 = . ? K4 = . ? U4 = – ? 1/2 Fi · (ri – Rcm ) = ? K4
? 1/2 mi (ai – Acm ) · (ri – Rcm )
? 1/2 Fi · (ri – Rcm ) Energ´ia Mec´nica 4 . E4 = K4 + U4 Trabajo 5 . W5 = Fi · d(ri – R) + ? 1/2 Fi · (ri – R) = ? K5 Energ´ia Cin´tica 5
Energ´ia Potencial 5 . ? K5 = . ? U5 = – ? 1/2 mi (vi – V )2 + (ai – A) · (ri – R)
Fi · d(ri – R) + ? 1/2 Fi · (ri – R) Energ´ia Mec´nica 5 . E5 = K5 + U5 Trabajo 6 . W6 = Fi · d(ri – Rcm ) + ? 1/2 Fi · (ri – Rcm ) = ? K6 Energ´ia Cin´tica 6
Energ´ia Potencial 6 . ? K6 = . ? U6 = – ? 1/2 mi (vi – Vcm )2 + (ai – Acm ) · (ri – Rcm )
Fi · d(ri – Rcm ) + ? 1/2 Fi · (ri – Rcm ) Energ´ia Mec´nica 6 . E6 = K6 + U6 Relaciones
En un sistema de part´iculas, entre las energ´ias cin´ticas, las energ´ias potenciales y las energ´ias mec´nicas, se dan siempre estas relaciones (ver Anexo II )
K1 = K2 + 1/2 M Vcm
K3 = K4 + 1/2 M Acm · Rcm
K5 = K6 + 1/2 M (Vcm – V )2 + (Acm – A) · (Rcm – R) K5 = K1 + K3 & U5 = U1 + U3
K6 = K2 + K4 & U6 = U2 + U4 & E5 = E1 + E3
& E6 = E2 + E4
3
e N i N i N i N i N i = N i N i a a a N i N i a a Principios
El momento lineal [ P1 ] de un sistema aislado de N part´iculas permanece constante si las fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma d´bil. P1 = constante d(P1 )/dt = mi ai = Fi = 0 El momento angular [ L1 ] de un sistema aislado de N part´iculas permanece constante si las fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma fuerte. L1 = constante d(L1 )/dt = mi ri × ai = ri × Fi = 0 El momento angular [ L2 ] de un sistema aislado de N part´iculas permanece constante si las fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma fuerte. L2 = constante d(L2 )/dt = mi (ri – Rcm ) × (ai – Acm ) mi (ri – Rcm ) × ai = (ri – Rcm ) × Fi = 0 Las energ´ias mec´nicas [ E1 y E2 ] de un sistema de N part´iculas permanecen constantes si el sistema est´ sujeto solamente a fuerzas conservativas. E1 = constante
E2 = constante ? E1 = ? K1 + ? U1 = 0
? E2 = ? K2 + ? U2 = 0 Las energ´ias mec´nicas [ E3 y E4 ] de un sistema de N part´iculas son siempre iguales a cero, por lo tanto, permanecen siempre constantes. E3 = constante E3 = 1/2 mi ai · ri – Fi · ri = 0 E4 = constante E4 = 1/2 mi ai · (ri – Rcm ) – Fi · (ri – Rcm ) = 0 N i 1/2 mi (ai – Acm ) · (ri – Rcm ) = N i 1/2 mi ai · (ri – Rcm ) Las energ´ias mec´nicas [ E5 y E6 ] de un sistema de N part´iculas permanecen constantes si el sistema est´ sujeto solamente a fuerzas conservativas. E5 = constante
E6 = constante ? E5 = ? K5 + ? U5 = 0
? E6 = ? K6 + ? U6 = 0
4
k k k k ia a ia a ia a ia a ia a ia a o e ia a k k o e ia a k k o e ia e k o e ia e k o e e k o e e k Observaciones Todas las ecuaciones de este trabajo pueden ser aplicadas en cualquier sistema de referencia inercial o no inercial. Los sistemas de referencia inerciales y no inerciales no deben introducir las fuerzas ?cticias sobre Fi . En este trabajo, las magnitudes [ m, r, v, a, M, R, V, A, F, P1 , L1 , L2 , W1 , K1 , U1 , E1 , L1 , W2 , K2 , U2 , E2 , L2 , W3 , K3 , U3 , E3 , W4 , K4 , U4 , E4 , W5 , K5 , U5 , E5 , W6 , K6 , U6 y E6 ] son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales. La energ´ mec´nica E3 de un sistema de part´iculas es siempre igual a cero [ E3 = K3 +U3 = 0 ] Por lo tanto, la energ´ mec´nica E5 de un sistema de part´iculas es siempre igual a la energ´ mec´nica E1 del sistema de part´iculas [ E5 = E1 ] La energ´ mec´nica E4 de un sistema de part´iculas es siempre igual a cero [ E4 = K4 +U4 = 0 ] Por lo tanto, la energ´ mec´nica E6 de un sistema de part´iculas es siempre igual a la energ´ mec´nica E2 del sistema de part´iculas [ E6 = E2 ] Si la energ´ia potencial U1 de un sistema de part´iculas es una funci´n homog´nea de grado k entonces la energ´ potencial U3 y la energ´ia potencial U5 del sistema de part´iculas, est´n dadas por: [ U3 = ( 2 ) U1 ] y [ U5 = (1+ 2 ) U1 ] Si la energ´ia potencial U2 de un sistema de part´iculas es una funci´n homog´nea de grado k entonces la energ´ potencial U4 y la energ´ia potencial U6 del sistema de part´iculas, est´n dadas por: [ U4 = ( 2 ) U2 ] y [ U6 = (1+ 2 ) U2 ] Si la energ´ia potencial U1 de un sistema de part´iculas es una funci´n homog´nea de grado k y si la energ´ cin´tica K5 del sistema de part´iculas es igual a cero entonces se obtiene: [ K1 = – K3 = U3 = ( 2 ) U1 = ( 2+k ) E1 ] Si la energ´ia potencial U2 de un sistema de part´iculas es una funci´n homog´nea de grado k y si la energ´ cin´tica K6 del sistema de part´iculas es igual a cero entonces se obtiene: [ K2 = – K4 = U4 = ( 2 ) U2 = ( 2+k ) E2 ] Si la energ´ia potencial U1 de un sistema de part´iculas es una funci´n homog´nea de grado k y si el promedio de la energ´ia cin´tica K5 del sistema de part´iculas es igual a cero entonces se obtiene: [ K1 = – K3 = U3 = ( 2 ) U1 = ( 2+k ) E1 ] Si la energ´ia potencial U2 de un sistema de part´iculas es una funci´n homog´nea de grado k y si el promedio de la energ´ia cin´tica K6 del sistema de part´iculas es igual a cero entonces se obtiene: [ K2 = – K4 = U4 = ( 2 ) U2 = ( 2+k ) E2 ] 5
? ? ¨ e ¨ . ¨ e e ia e e e ? ? r ia e e e ´ ia e ia ia e ia ia e ia ia e o a o ia a a a a El promedio de la energ´ia cin´tica K5 y el promedio de la energ´ia cin´tica K6 de un sistema de part´iculas con desplazamiento acotado son siempre iguales a cero. La energ´ cin´tica K5 y la energ´ia cin´tica K6 de un sistema de N part´iculas pueden ser N . tambi´n expresadas como sigue: [ K5 = i 1/2 mi ( ri ri + ¨i ri ) ] donde ri = | ri – R | N . y [ K6 = j >i 1/2 mi mj M-1 ( rij rij + rij rij ) ] donde rij = | ri – rj | La energ´ cin´tica K5 y la energ´ia cin´tica K6 de un sistema de N part´iculas pueden ser N . tambi´n expresadas como sigue: [ K5 = i 1/2 mi ( ti ) ] donde ti = 1/2 (ri – R) · (ri – R) N y [ K6 = j >i 1/2 mi mj M-1 ( tij ) ] donde tij = 1/2 (ri – rj ) · (ri – rj ) La energ´ia cin´tica K6 es la unica energ´ cin´tica que puede ser expresada sin necesidad de introducir magnitud alguna relacionada con el free-system [ tales como: r, v, a, ?, R, etc. ] En un sistema aislado de part´iculas la energ´ potencial U2 es igual a la energ´ potencial U1 si las fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma d´bil [ U2 = U1 ] En un sistema aislado de part´iculas la energ´ potencial U4 es igual a la energ´ potencial U3 si las fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma d´bil [ U4 = U3 ] En un sistema aislado de part´iculas la energ´ potencial U6 es igual a la energ´ potencial U5 si las fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma d´bil [ U6 = U5 ] Un sistema de referencia S es no rotante si la velocidad angular ? del free-system respecto a S es igual a cero y S es adem´s inercial si la aceleraci´n A del centro de masa del free-system respecto a S es igual a cero. Si el origen de un sistema de referencia no rotante [ ? = 0 ] coincide siempre con el centro de masa del free-system [ R = V = A = 0 ] entonces se logra: [ ri = ri , vi = vi y ai = ai ] Por lo tanto, es posible a?rmar que siempre: [ vi = d(ri )/dt y ai = d2 (ri )/dt2 ] Este trabajo no contradice la primera y segunda ley de Newton puesto que estas dos leyes siguen siendo v´lidas en cualquier sistema de referencia inercial. La ecuaci´n [ Fi = mi ai ] es una simple reformulaci´n de la segunda ley de Newton. Bibliograf´ A. Einstein, Sobre la Teor´ia de la Relatividad Especial y General. E. Mach, La Ciencia de la Mec´nica. R. Resnick y D. Halliday, F´isica. J. Kane y M. Sternheim, F´isica. H. Goldstein, Mec´nica Cl´sica. L. Landau y E. Lifshitz, Mec´nica. 6
a o o a N i N i N i . N i N i Anexo I
Free-System
El free-system es un sistema de N part´iculas que est´ siempre libre de fuerzas externas e internas, que es tridimensional y que las distancias relativas entre las N part´iculas permanecen siempre constantes.
La posici´n R, la velocidad V y la aceleraci´n A del centro de masa del free-system respecto a un sistema de referencia S, la velocidad angular ? y la aceleraci´n angular a del free-system respecto al sistema de referencia S, est´n dadas por: . M = N i mi . R = M-1
. V = M-1
. A = M-1
. ? ? = I -1 · L . a = d(?)/dt mi ri
mi vi
mi ai ? I =
. L = ? mi [ |ri – R |2 1 – (ri – R) ? (ri – R) ]
mi (ri – R) × (vi – V ) ? donde M es la masa del free-system, I es el tensor de inercia del free-system (respecto a R) y L es el momento angular del free-system respecto al sistema de referencia S.
Transformaciones
. (ri – R) = ri = ri . (ri – R ) = ri = ri . (vi – V ) – ? × (ri – R) = vi = vi . (vi – V ) – ? × (ri – R ) = vi = vi . (ai – A) – 2 ? × (vi – V ) + ? × [ ? × (ri – R) ] – a × (ri – R) = ai = ai . (ai – A ) – 2 ? × (vi – V ) + ? × [ ? × (ri – R ) ] – a × (ri – R ) = ai = ai
7
-? = = = = 2 2 -? Anexo II
Relaciones
En un sistema de part´iculas se dan siempre estas relaciones ( Las magnitudes Rcm , Vcm , Acm , Rcm , Vcm y Acm pueden ser reemplazadas por las magnitudes R, V, A, R, V y A o por las magnitudes rj , vj , aj , rj , vj y aj , respectivamente. Por otro lado, siempre R = V = A = 0 )
. ri = (ri – R)
. Rcm = (Rcm – R) -? (ri – Rcm ) = (ri – Rcm ) . vi = (vi – V ) – ? × (ri – R)
. Vcm = (Vcm – V ) – ? × (Rcm – R)
(vi – Vcm ) = (vi – Vcm ) – ? × (ri – Rcm ) (vi – Vcm ) · (vi – Vcm ) = (vi – Vcm ) – ? × (ri – Rcm ) · (vi – Vcm ) – ? × (ri – Rcm ) (vi -Vcm ) · (vi -Vcm ) – 2 (vi -Vcm ) · ? × (ri – Rcm ) + ? × (ri – Rcm ) · ? × (ri – Rcm )
(vi -Vcm ) · (vi -Vcm ) + 2 (ri – Rcm ) · ? × (vi -Vcm ) + ? × (ri – Rcm ) · ? × (ri – Rcm )
(vi -Vcm ) · (vi -Vcm ) + 2 ? × (vi -Vcm ) · (ri – Rcm ) + ? × (ri – Rcm ) · ? × (ri – Rcm )
(vi – Vcm )2 + 2 ? × (vi – Vcm ) · (ri – Rcm ) + ? × (ri – Rcm ) (ai – Acm ) · (ri – Rcm ) = (ai – Acm ) – 2 ? × (vi – Vcm ) + ? × [ ? × (ri – Rcm ) ] – a × (ri – Rcm ) · (ri – Rcm ) = (ai – Acm ) · (ri – Rcm ) – 2 ? × (vi – Vcm ) · (ri – Rcm ) +
? × [ ? × (ri – Rcm ) ] · (ri – Rcm ) – a × (ri – Rcm ) · (ri – Rcm ) = (ai – Acm ) · (ri – Rcm ) – 2 ? × (vi – Vcm ) · (ri – Rcm ) + ? · (ri – Rcm ) ? – ( ? · ? ) (ri – Rcm ) · (ri – Rcm ) = (ai – Acm ) · (ri – Rcm ) – 2 ? × (vi -Vcm ) · (ri – Rcm ) + ? · (ri – Rcm ) – ( ? )2 (ri – Rcm )2 (vi – Vcm )2 + (ai – Acm ) · (ri – Rcm ) = (vi – Vcm )2 + (ai – Acm ) · (ri – Rcm )
8
e 1 2 1 2 N j >i 1 2 1 2 e N i N i N i 1 2 N i 1 2 Anexo III
Magnitudes
Las magnitudes L2 , W2 , K2 , U2 , W4 , K4 , U4 , W6 , K6 y U6 de un sistema de N part´iculas pueden ser tambi´n expresadas como sigue: L2 = N j >i mi mj M-1 (ri – rj ) × (vi – vj ) W2 = N j >i mi mj M-1 (Fi /mi – Fj /mj ) · d(ri – rj ) ? K2 = N j >i ? 1/2 mi mj M-1 (vi – vj )2 = W2 ? U2 = – N j >i mi mj M-1 (Fi /mi – Fj /mj ) · d(ri – rj ) W4 = N j >i ? 1/2 mi mj M-1 (Fi /mi – Fj /mj ) · (ri – rj ) ? K4 = N j >i ? 1/2 mi mj M-1 (ai – aj ) · (ri – rj ) = W4 ? U4 = – ? 1/2 mi mj M-1 (Fi /mi – Fj /mj ) · (ri – rj ) W6 = N j >i mi mj M-1 (Fi /mi – Fj /mj ) · d(ri – rj ) + ? 1/2 (Fi /mi – Fj /mj ) · (ri – rj ) ? K6 = N j >i ? 1/2 mi mj M-1 (vi – vj )2 + (ai – aj ) · (ri – rj ) = W6 ? U6 = – N j >i mi mj M-1 (Fi /mi -Fj /mj )·d(ri -rj )+? 1/2 (Fi /mi -Fj /mj )·(ri -rj ) Las magnitudes W(1 al 6) y U(1 al 6) de un sistema aislado de N part´iculas cuyas fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma d´bil se reducen a: W1 = W2 = N i 2 1 Fi · dri ? U1 = ? U2 = – N i 2 1 Fi · dri W3 = W4 = ? 1/2 Fi · ri ? U3 = ? U4 = –
W5 = W6 =
? U5 = ? U6 = – ? 1/2 Fi · ri
Fi · dri + ? 1/2 Fi · ri
Fi · dri + ? 1/2 Fi · ri
9