Son series o sucesiones de elementos que tienen un patrón de formación o regla de formación que permite definir o determinar cada elemento de la sucesión. En los ejercicios se debe, mediante un análisis de los elementos, encontrar el patrón o regla de formación de la sucesión.
Una regularidad numérica sería, por ejemplo, la secuencia de los números naturales,: 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
Veamos otros ejemplos de secuencias numéricas:
• Secuencia de números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …
• Secuencia de números impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …
• Secuencia de múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 26, …
• Secuencia de cuadrados de los números naturales: 1, 4, 9, 16, 25, 36, …
• Secuencia de cubos de los números naturales: 1, 8, 27, 64, 125, …
• Secuencia de potencias de 2: 2, 4, 8, 16, 32, …
Ejercicios:
Hallar el término a) 5º de la secuencia 7, 10, 13, . .
b) 8º de la secuencia 5, 10, 15, . . .
c) 7º de la secuencia 9, 12, 15, . . .
d) 9º de la secuencia 3, 10, 17…
Una vez que ya encontramos la regularidad o patrón, podemos desarrollar nuestra secuencia numérica, pero ¿qué hacer cuando nos pregunten por el término ubicado en la posición 12350 de una sucesión numérica?
Para poder lograr encontrar dicho término debemos encontrar una fórmula que define la serie de números y que permite determinar qué valor ocupa una determinada posición de la secuencia. Así por ejemplo la secuencia: 1, 3, 5, 7, . . . son los números definidos por la fórmula 2n – 1, donde n será la posición que ocupe cada término de la secuencia.
Si se desea saber el número de la secuencia que ocupa la décima posición se reemplaza n = 10 en la fórmula 2n – 1. (.
Ejercicios:
Determina la fórmula que genera las siguientes series numéricas a) 8, 10, 12. . . b)-1, 2, 5. . . . c)3, 5, 9, 17, . . . .
Las regularidades no solo se pueden presentar de forma numérica.
También se pueden encontrar regularidades que son presentadas de forma geométrica Ejemplo:
Determina la fórmula que genera la serie numérica de la cantidad de fósforos utilizados para construir la figura formada por un número de triángulos dados.
N° de triángulos | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | . . . | n | |||
N° de fósforos | 3 | 5 | 7 | |||||||||
Observa en que en esta secuencia la diferencia entre un término y el siguiente es 2, entonces en la fórmula se tendrá el término 2n, donde el factor 2 de n corresponde a la diferencia entre un término y el siguiente. Por otro lado, el valor que se le debe sumar al término 2n, es tal que sumado con la diferencia resulta el primer valor de la serie (en este caso 3). Entonces la fórmula que genera la secuencia3, 5, 7, … es 2n + 1.
Ejercicios:
Encuentra la fórmula general en las siguientes secuencias a)
b) Nota No siempre podremos llegar a encontrar una fórmula, existen regularidades las cuales, si cumplen con un patrón, pero este se repite cada ciertos términos. Como por ejemplo la secuencia 1, 3, 6, 8, 11… La regularidad de la secuencia anterior es que se va sumando de forma alternada 2 y 3, por lo tanto no podemos hacer una formula general, ya que el patrón no es constante.
Ejercicios:
Encuentra los siguientes cuatro términos de la secuencia a) 1, 2, 4, 7, 11, 16,… b) 1, 4, 9, 61, 52, 63,… c) 1, 2, 6, 24, 120,…
Valorización de expresiones algebraicas
Valorizar una expresión algebraica es reemplazar cada variable por un valor numérico que le corresponde , para luego resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final.
Ejemplo:
Tenemos las expresión
y consideremos que
Primero calcularemos la expresión con 
resultando
Una vez reemplazado el valor numérico, se desarrollan las operaciones correspondientes y se calcula el valor final de la expresión.
Ahora calcularemos el valor de la expresión con 
Nota: siempre que reemplaces números negativos hazlo entre paréntesis Veamos otro ejemplo:
Sea 
Reemplazando tenemos:
Recuerda:
En la potencia de un número negativo, solo tomaremos signo y número cuando el número esté entre paréntesis, de lo contrario solo elevaremos el número.
Por ejemplo
lo que es distinto de
Ejercicios:
Expresión | Reemplazar | Resultado | |||
| |||||
| |||||
| |||||
| |||||
| |||||
| |||||
Dentro de la valorización de expresiones algebraicas debemos hacernos la siguiente interrogante
¿Podemos reemplazar cualquier valor en cualquier expresión algebraica?. Veamos el siguiente ejercicio.
Consideremos
reemplazando
calculando
finalmente tenemos
Recordemos que la división por cero no está definida, por lo tanto no podemos calcular la expresión antes vista.
Luego podemos decir que esta expresión está definida para cualquier valor menos para
¿Cómo saber para qué números no está defina la expresión?
Como ya sabemos en las fracciones tendremos problemas cuando el denominador sea igual a cero, por lo tanto primero debemos saber cuando el denominador es igual a cero.
Observando el ejemplo anterior tendríamos que
Con esto sabremos con que valor de el denominador seria igual a cero.
El siguiente paso sería resolver la ecuación que tenemos arriba.
Luego de despejar y resolver la ecuación llegamos que 
Veamos otro ejemplo
Ver para que valor la siguiente expresión no está definida.
Ahora debemos analizar en qué momento el denominador es igual a cero
Luego debemos resolver la ecuación de primer grado despejando la variable.
Luego
lo que quiere decir que la expresion esta definida para cualquier valor menos para 
Recuerda que solo tendremos problemas cuando el denominador es igual a cero.
Si el numerador resulta cero toda la fracción es igual a cero.
Ejemplo
Ejercicios:
Ver para que valor(es) las siguientes expresiones no están definidas
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Ejercicio nº 1.- ¿Cuáles de estos números son múltiplos de tres?
Explica por qué: 15 20 19 33 49 12
Solución: ? Son múltiplos de tres los números 12, 15 y 33, porque el cociente es exacto: 12 : 3 = 4 15 : 3 = 5 33 : 3 = 11
Ejercicio nº 2.- Calcula todos los divisores de los siguientes números:
a) Divisores de 30 = b) Divisores de 15 = Solución: a) Divisores de 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 b) Divisores de 15 = 1, 3, 5, 15
Ejercicio nº 3.- ¿Cuáles de los siguientes números son primos? ¿Por qué? 5 12 13 15 19 47
Solución: 5, 13, 19 y 47, porque solo son divisibles por sí mismos y por la unidad.
Ejercicio nº 4.- Descompón en factores primos: a) 24 b) 16 c) 248
Solución:
Ejercicio nº 5.- Calcula: a) m.c.m. (20, 24, 36) b) M.C.D. (48, 72, 84)
Solución: a) 20 = 22 ? 5 24 = 23 ? 3 m.c.m. (20, 24, 36) = 23 ? 32 ? 5 = 360 36 = 22 ? 32 b) 48 = 24 ? 3 72 = 23 ? 32 M.C.D. (48, 72, 84) = 22 ? 3 = 12 84 = 22 ? 3 ? 7
Ejercicio nº 6.- ¿De cuantas formas diferentes se puede construir un rectángulo con 36 cuadrados iguales?
Solución:
Ejercicio nº 7.- En un albergue coinciden tres grupos de excursionistas de 40, 56 y 72 personas cada grupo.
El camarero quiere organizar el comedor de forma que en cada mesa haya igual número de comensales y se reúna el mayor número de personas posible sin mezclar los grupos.
¿Cuántos comensales sentará en cada mesa?
Solución:
M.C.D. (40, 56, 72) = 23 = 8 comensales en cada mesa.
Ejercicio nº 8.- Una rana corre dando saltos de 60 cm perseguida por un gato que da saltos de 90 cm. ¿Cada qué distancia coinciden las huellas del gato y las de la rana?
Solución:
m.c.m. (60, 90) = 22 ? 32 ? 5 = 4 ? 9 ? 5 = 180 cm. Coinciden cada 180 cm.
Ejercicio nº 1.- ¿Cuál o cuáles de estos números son múltiplos de 12?
Explica por qué: a) 96 b) 58 c) 84 Solución:
a) 96 ? Sí, porque el cociente es exacto: 96 : 12 = 8.
b) 58 ? No, porque el cociente no es exacto: 58 : 12 = 4,8.
c) 84 ? Sí, porque el cociente es exacto: 84 : 12 = 7.
Ejercicio nº 2.- Calcula todos los divisores de los siguientes números:
a) Divisores de 24 =
b) Divisores de 36 =
Solución:
a) Divisores de 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 b)
Divisores de 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Ejercicio nº 3.- ¿Cuáles de los siguientes números son primos? ¿Por qué? 4 9 13 29 32 41
Solución: 13, 29 y 41, porque solo son divisibles por sí mismos y por la unidad.
Ejercicio nº 4.- Descompón en factores primos: a) 12 b) 36 c) 450
Solución:
Ejercicio nº 5.- Calcula: a) m.c.m. (30, 60, 90) b) M.C.D. (8, 16, 24)
Solución: a) 30 = 2 ? 3 ? 5 60 = 22 ? 3 ? 5 m.c.m. (30, 60, 90) = 22 ? 32 ? 5 = 180 90 = 2 ? 32 ? 5 b) 8 = 23 16 = 24 M.C.D. (8, 16, 24) = 23 = 8 24 = 23 ? 3
Ejercicio nº 6.- ¿Se puede llenar un número exacto de garrafas de 15 litros con un bidón que contiene 170 litros?
¿Y con un bidón de 180 litros? Solución: 170 : 15 = 11,3 No se puede porque el cociente no es exacto.
180 : 15 = 12 Con 180 litros se llenan, exactamente, 12 bidones de 15 litros.
Ejercicio nº 7.- Un electricista tiene tres rollos de cable de 96, 120 y 144 metros de longitud.
Desea cortarlos en trozos iguales de la mayor longitud posible, sin que quede ningún trozo sobrante.
¿Qué longitud tendrá cada trozo? Solución:
M.C.D. (96, 120, 144) = 23 ? 3 = 24 cm debe medir cada trozo.
Ejercicio nº 8.- ¿Cuál es la capacidad del menor depósito posible que puede llenarse con un número exacto de bidones de 12, 16 y 18 litros, respectivamente?
Solución:
m.c.m. (12, 16, 18) = 24 ? 32 = 16 ? 9 = 144 litros es la capacidad del depósito.
REGULARIDADES NUMÉRICAS
"NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION"®
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Correo: [email protected]
Santiago de los Caballeros, República Dominicana, 2015.
"DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE"®
Autor:
Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.