Parte A
Dominio del tiempo
A.1 – Potencia.
En un dipolo a través del cual hay una caída de potencial v(t) en el sentido de la corriente i(t), conforme a la convención definida para la ley de Ohm, la potencia instantánea recibida es:
p(t) = v(t)·i(t)
Si la tensión y la corriente se expresan respectivamente en voltios y amperios, la potencia viene dada en vatios (watts).
El trabajo realizado en un cierto intervalo será:
La potencia media en ese intervalo será en consecuencia:
Puede evaluarse esta potencia si son conocidas las funciones v(t) e i(t), ya sea analítica o gráficamente.
Si nos referimos al caso particular de tensiones y corrientes armónicas en el tiempo, o senoidales, tendremos en general que:
La potencia instantánea está compuesta por una variación senoidal en el tiempo de una frecuencia doble a la de la tensión y corriente, y otro término que depende de los valores máximos de la tensión y de la corriente y del ángulo de fase relativo entre ellos, ángulo de fase de la impedancia del circuito ?Z.
Los intervalos en los cuales la potencia es negativa corresponden a los instantes en que la tensión y la corriente tienen signos opuestos. En esos instantes el circuito devuelve energía a la fuente, energía que fue almacenada en los elementos pasivos en forma de campos eléctricos en los capacitores, y magnéticos en los inductores.
Esto ocurre siempre que haya entre la tensión y la corriente un desfasaje, es decir si ?Z ( 0.
A partir de la expresión anterior podemos encontrar la potencia media a lo largo de un número entero de ciclos. En general esto variaría con el número de ciclos pero, si consideramos que estamos en régimen permanente, podemos hacer el cálculo a lo largo de un ciclo de la potencia (medio ciclo de la tensión):
A.2 – Potencia en los elementos.
En una resistencia la tensión está en fase con la corriente, el ángulo de fase entre ellos es nulo y su coseno es igual a uno. La potencia resulta entonces:
Lo mismo ocurre en el capacitor.
Sin embargo el hecho que la potencia instantánea no sea cero nos indica que hay energía en el circuito. Esta energía que la fuente carga, en el capacitor en forma de campo eléctrico, y/o en la bobina en forma de campo magnético, durante medio ciclo de la potencia y que luego estos devuelven en el medio ciclo siguiente, se denomina potencia entretenida en el circuito.
Podemos evaluar la potencia entretenida integrando la potencia instantánea en un medio ciclo (cuarto de ciclo de la tensión):
A.3 – Potencias activa, reactiva y aparente. Factor de potencia.
se puede descomponer en la componente en fase y la componente en cuadratura o reactiva:
Se la denomina aparente porque resulta de multiplicar directamente la tensión por la corriente sin tener en cuenta el factor de potencia. Es lo que podemos obtener si el circuito tiene un voltímetro y un amperímetro, con los cuales no podríamos calcular la potencia activa.
Para poder indicar de cual de las tres potencias estamos hablando se ha definido una unidad especial para cada una. Estas unidades tienen la misma dimensión porque no hay diferencia entre las magnitudes que las componen salvo el seno o el coseno que son adimensionales.
La potencia activa o media, P, está expresada en vatios [W], la potencia reactiva, Q, en voltamperios reactivos [VAr], y la potencia aparente, S, en voltamperios [VA].
A.4 – Ejemplo de cálculo.
Problema: En un circuito se ha determinado que la tensión de entrada está dada por v(t)=15·cos(50t+15º) y la corriente que circula es i(t)=10·sen(50t+60º). Determinar la tres potencias desarrolladas.
Solución: Primero debemos expresar la tensión y la corriente usando la misma función, ya sea seno o coseno, para establecer claramente el ángulo de fase entre ellas. Por ejemplo:
i(t)=10·sen(50t+60º) = 10·cos(50t+60º-90º)= 10·cos(50t-30º)
Ahora determinamos que la diferencia de fase es de ?Y = -45º, la corriente atrasa respecto a la tensión, es decir circuito inductivo.
Las potencias serán, entonces:
Potencia aparente = V·I = (15·10)/2 = 75 voltamperios
hemos tenido en cuenta que la expresión temporal está dada por los valores máximos y la potencia se define por los valores eficaces, de allí la división por dos.
Aquí se asumió como ángulo de fase el ángulo de fase de la admitancia y consecuentemente la potencia reactiva resultó con signo negativo. Si se hubiera considerado el ángulo de fase de la impedancia este valor sería positivo. En la práctica puede tomarse cualquiera de los dos; el signo de la potencia activa será siempre positivo, pero el de la potencia reactiva no define al circuito como inductivo o capacitivo: es necesario indicar cuál es el ángulo considerado, de la impedancia o de la admitancia.
Parte B
Dominio de la frecuencia
B.1 – Potencia vectorial.
El cálculo simbólico había sido introducido haciendo ciertas consideraciones y verificando con el concepto de linealidad. Se aclaró que no es lo mismo la forma temporal que la fasorial pero que se podía utilizar ventajosamente obteniendo los mismos resultados.
La potencia implica una función cuadrática y si queremos aplicar el cálculo simbólico no podemos extender simplemente el concepto, debemos demostrarlo y verificarlo.
Partiremos de las expresiones iniciales:
Los términos dentro del paréntesis son conjugados entre sí por lo que podemos poner que:
Los tres triángulos son semejantes, la diferencia está en que las impedancias (y las admitancias) no giran, son vectores; las tensiones y corrientes giran con velocidad angular ?, son fasores; y las potencias no son estrictamente fasores, su frecuencia es el doble que la de las tensiones y corrientes, y su interpretación gráfica no es la misma. Por consecuencia no es correcto dibujarlas en un mismo gráfico.
Conforme a lo visto podemos establecer que el ángulo de fase de la impedancia, o de la admitancia, establece el desfasaje entre la tensión y la corriente y también el ángulo de fase de la potencia. La diferencia está en que el ángulo de fase de la impedancia o entre tensión y corriente nos indica si el circuito tiene parte reactiva inductiva o capacitiva, mientras que en la potencia, por ser cuadrática aparece el coseno que es una función par, el signo del ángulo no tiene significancia.
No se ha establecido un criterio o convención en este aspecto lo que hace que para algunos quede definido por el ángulo de la admitancia y que para otros por el ángulo de la impedancia. El tipo de circuito sólo puede ser establecido si conocemos el desfasaje entre la tensión y la corriente, no del factor de potencia.
Hay otra diferencia muy importante en lo que se refiere al diagrama fasorial de la potencia respecto al de las tensiones y corrientes.
La primer componente podríamos representarla como un fasor que estaría girando con origen, y centro de rotación, en el valor del eje real que nos indica el segundo componente.
De tal forma el gráfico nos quedaría así:
B.2 – Expresiones de la potencia.
B.3 – Corrección del factor de potencia.
Hemos indicado que el factor de potencia marca el aprovechamiento del producto de la tensión por la corriente para obtener potencia sobre el circuito.
En la distribución de energía eléctrica las pérdidas en los conductores se debe al paso de la corriente por ellos, Pp = I2R. Ello implica que, aún cuando la potencia activa utilizada por el consumidor sea baja, las pérdidas pueden ser elevadas si el factor de potencia es bajo. Para una misma tensión y potencia activa la corriente es mayor a medida que el factor de potencia baja.
El factor de potencia bajo es debido a las componentes reactivas de las cargas que, lamentablemente, son en su inmensa mayoría inductivas y no se compensan.
Los generadores, por su parte, están de hecho limitados por la energía que son capaces de suministrar las máquinas que los impulsan, sean eléctricas o no. Pero, fundamentalmente, están diseñados para una corriente (y también una tensión) máxima independiente del ángulo de fase, es decir que están limitados en su potencia aparente y no por la potencia activa que suministran, que puede ser mucho menor.
El máximo aprovechamiento del generador y su sistema de distribución se logrará con un factor de potencia elevado, idealmente igual a uno.
Normalmente el consumidor paga por la potencia activa, pero el costo de instalación y mantenimiento está definido por la potencia aparente, por ello es de interés que ambas se aproximen todo lo posible. De hecho las empresas generadoras incentivan esta condición estableciendo multas por factores de potencia inferiores a cierto valor, y/o cobrando también la potencia reactiva si esta excede los límites fijados.
Para corregir un factor de potencia bajo es necesario compensar la componente reactiva, es decir colocar capacitores, en el caso normal, en paralelo con las cargas inductivas. La conexión en paralelo se hace a los efectos de no alterar las exigencias de alimentación fijadas en la tensión de suministro. Podría corregirse el factor de potencia colocando los elementos en serie pero ello alteraría todas las condiciones de funcionamiento que podrían implicar el daño al dispositivo.
B.4 – Ejemplo de cálculo.
A partir de este punto tenemos dos opciones: a) colocar un capacitor por el cual circule una corriente igual y de signo contrario a la componente reactiva que obtuvimos con el fin de compensarla; o b) calcular la potencia desarrollada y luego corregir el término de potencia reactiva.
En este ejemplo hemos llevado el circuito a un factor de potencia unitario ideal. En los caso prácticos se establece un factor de, por ejemplo, 0.8 y se corrige para llevarlo por lo menos a ese valor con los valores comerciales de los capacitores.
En un caso como este se determina cual es la potencia reactiva máxima que debo tener y la potencia de corrección será la necesaria para compensar el excedente que tengo.
Volvamos al ejemplo, teníamos que:
Realmente tenemos dos posibles soluciones para obtener el factor de potencia deseado ya que si sobrecompensamos el circuito podemos obtener una respuesta capacitiva con el mismo factor de potencia, esto quiere decir que, si la carga es originalmente inductiva, podemos compensar toda la potencia reactiva inductiva y, además, agregar potencia reactiva capacitiva hasta obtener el factor de potencia deseado. En ese caso la potencia reactiva de corrección será igual a la actual (si es inductiva) más la total permitida o deseada. De hecho esta es una solución más cara y no se utiliza.
En el caso hipotético que se deseara desmejorar, es decir reducir el coseno ?, tendríamos también dos posibles soluciones: una agregar inductancia en paralelo y la otra agregar capacidad.
En todos los caos la solución técnica más aceptable la determina el análisis económico del caso y sus posibles soluciones.
B.5 – Teorema de la máxima transferencia de energía.
Este teorema plantea las condiciones para que dados un generador de energía con su impedancia interna se determine cuál es la impedancia de carga que permitirá extraer el máximo de energía a ese generador.
Para cumplir con lo deseado debemos maximizar esta expresión.
El primer análisis lo podemos hacer sobre la parte reactiva que, pudiendo ser variable, nos señala que se puede cancelar ese término si la reactancia de la carga es de igual valor y signo contrario a la reactancia interna. En otras palabras que X1 = – X2.
Dado este supuesto nos queda que:
Que resolviendo resulta en R1 = R2.
El resumen es que, si podemos variar tanto la reactancia como la resistencia de la carga, la condición de máxima transferencia de energía se da cuando la impedancia de carga es la conjugada de la impedancia interna Z2 = Z1*.
Siendo las partes resistivas iguales resulta que en el generador se disipa la misma potencia que en la carga y por ello el rendimiento es:
El rendimiento obtenido en este caso es aceptable sólo cuando los niveles de energía son bajos, cuando extraer menos energía lleva a la necesidad de agregar nuevas etapas, como ocurre en los circuitos electrónicos.
Para la distribución de energía se requiere de máximo rendimiento lo que implica que la resistencia interna debe ser mínima frente a la resistencia de carga. Esto además reduce la cantidad de calor que debe ser disipada en el generador.
Autor:
Pablo Turmero