Estabilización de valores iniciales de un circuito rc con PID

Introducción
Diseño esquemático
Función de transferencia de la planta
Conclusión
Bibliografía
Anexos

Introducción

En la ingeniería moderna se utiliza el control de sistemas automáticos para regular y controlar los procesos de un sistema.

En este proyecto tenemos una planta o proceso el cual tiene un tiempo de respuesta el cual queremos acortar.

Para esto utilizaremos un control PID (controlador proporcional integral derivativo) hecho con opam (amplificador operacional) el cual va estar retro alimentado con una ganancia unitaria para mantener el control de la planta.

Manteniendo el mismo voltaje aplicado escalón reduciremos el tiempo en que la planta alcanza su voltaje máximo

Aplicando los diferentes programas de simulación podemos ver la onda de salida que nos dará la función de transferencia a la cual le aplicaremos una entrada escalón unitario.

Los programas de simulación a usar son Matlab, Simulink y Proteus en los cuales se presentan las graficas de la planta y el PID.

Objetivos:

*Obtener el modelado de la planta y del PID

*Obtener la función de transferencia de la planta y el PID

*Aplicar el criterio de routh para determinar los valores para los cuales el circuito se hace estable

*Utilizar los programas de simulación Matlab, Simulink y Proteus para hacer el análisis grafico de la respuesta en el sistema.

*Aplicar un controlador PID para aumentar la velocidad de respuesta de la planta y obtener un sobrepaso máximo menor a un 20%.

*Sintonizar el sistema y hacer que este responda en un tiempo menor que 1 segundo.

Diseño esquemático

planta:

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Los valores de las resistencias de la planta son: R1=100 *103? ; R2=100 *103? C1=10*10-6F ; C2=10*10-6F

PID:

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Un PID (Proporcional Integral Derivativo) es un mecanismo de control por realimentación que calcula la desviación o error entre un valor medido y el valor que se quiere obtener, para aplicar una acción correctora que ajuste el proceso. El algoritmo de cálculo del control PID se da en tres parámetros distintos: el proporcional, el integral, y el derivativo. El valor Proporcional determina la reacción del error actual. El Integral genera una corrección proporcional a la integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El Derivativo determina la reacción del tiempo en el que el error se produce. La suma de estas tres acciones es usada para ajustar al proceso vía un elemento de control como la posición de una válvula de control o la energía suministrada a un calentador, por ejemplo. Ajustando estas tres variables en el algoritmo de control del PID, el controlador puede proveer un control diseñado para lo que requiera el proceso a realizar.

En la planta observamos que nos dará una ecuación de segundo orden debido a sus componentes los cuales almacenan energía.

También tenemos el PID control proporcional integral derivativo el cual nos va a proporcionar las condiciones adecuadas para hacer que el circuito responda de la forma en que queremos. este va a agregar ceros o polos a la función de transferencia.

Esta grafica nos muestra la respuesta al escalón que aplicaríamos en términos reales. pero en este trabajo vamos a hacer que el circuito responda más rápido a la entrada escalón unitario mediante el PID con un sobrepaso máximo menor de un 20%.

Obtenemos el modelado de la planta:

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1) edu.red

2) edu.red

3) edu.red

Aplicamos transformada de la place a cada una de las ecuaciones.

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Ecuación 2:

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Función de transferencia de la planta

Al tener la función de transferencia mas los valores de los componentes de la planta entonces podemos determinar el valor de los polos y ceros si es que los tiene para poder utilizar Matlab y ver la grafica de respuesta de la planta.

los valores utilizados fueron:

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Ahora aplicamos Matlab con los datos obtenidos en la función de transferencia para ver la grafica de respuesta ante una entrada escalon unitario.

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Esto nos mostrara la grafica anterior

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como se puede observar el (ts) o tiempo de estabilización es de 13.8 segundos.

también podemos utilizar Simulink para graficar

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También utilizamos Proteus para simular el comportamiento de los componentes reales utilizados como son los opam resistencias y capacitores y también para medir las variables a controlar como son el tiempo y el voltaje.

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este nos devuelve la siguiente grafica.

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La grafica correspondiente es la primera como se puede observar la cual es la entrada A en el osciloscopio del Proteus.

función de transferencia del PID mas la planta:

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Aquí colocamos el PID para agregar los tiempos integral y derivativos de este al sistema y así poder controlar el sobrepaso máximo y el tiempo de estabilización del sistema y buscamos la función de transferencia

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Multiplicamos la función de transferencia por el PID con reducción de bloques

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Buscamos la función de transferencia

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Función de transferencia del sistema con el PID mas la planta

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Ahora fijamos los valores de las resistencias y capacitores del PID para buscar ki, kb y kp en función de R2 para luego sustituirlas en la función de transferencia y utilizar el criterio de routh.

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Sustituimos valores exceptuando R2

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Luego sustituimos en la función de transferencia

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Aplicación del criterio de Routh:

Aplicamos el criterio de Routh tomamos el denominador

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Despejamos R2 para saber los valores en que el sistema va a ser estable. creamos inecuaciones en las ecuaciones que están en el lado derecho de la matriz.

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Como no hay resistencias negativas R2 puede tener cualquier valor mayor a 0.Tdespues de varios intentos con prueba y error pudimos encontrar un valor para R2 conveniente tomamos 300k? y buscamos los valores de ki, kd y kp

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luego sustituimos en la función de transferencia y obtenemos el siguiente resultado.

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Simulación del sistema en Proteus:

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Aplicamos Matlab nuevamente para ver la grafica

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Características de la respuesta transitoria:

Simulación utilizando Simulink

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Niveles de Sintonización:

Determinamos la función de transferencia del sistema a la cual le aplicamos el criterio de Routh, determinamos que el sistema se hacía estable para cualquier valor de R2 que sea mayor que 0 con los valores sobrantes fijos de resistencias y capacitores.

Elegimos el valor de R2 con el método de prueba y error y lo ajustamos a Con este valor el sistema se hace muy rápido y lo pudimos reducir el tiempo de respuesta del sistema con un sobrepaso menor del 20% como era lo deseado. Como este era el objetivo de la utilización del PID dejamos este valor como valor fijo.

Conclusión

Al concluir este proyecto hemos logrado los objetivos del trabajo. Cumpliendo así el objetivo principal que era acelerar la respuesta de la planta o proceso mediante la utilización de un PID con un sobrepaso máximo menor de 20% .

los pasos dados fueron los siguientes:

1)Hicimos el planteamiento del problema el cual es que la planta responde en un tiempo muy elevado considerando que se trata de un sistema eléctrico, el sistema responde en un tiempo de 13.8 segundos , deseamos que la planta responda en un tiempo menor.

2)Obtenemos la función de transferencia de esta y probamos su respuesta en Matlab esta nos da una grafica de respuesta que parece de primer orden.

3)Agregamos el PID con sus constantes de tiempo derivativo proporcional e integral y luego reducimos el diagrama de bloque del sistema con retroalimentación unitaria para encontrar la función de transferencia del sistema con el PID mas la planta.

4)Buscamos las variables kp, ki y kd en función de R2 que se repite en las tres ecuaciones y la sustituimos en la función de transferencia.

5)Tomamos el denominador de esta para utilizar el criterio de Routh y así encontrar para cuales valores de R2 el sistema se hace estable.

6)buscamos las variables ki ,kp y kd y las sustituimos en la función de transferencia del sistema para luego lograr que el sistema responda más rápido pero con un sobrepaso menor de un 20%.