P ;Donde: n1+ P Método 2: (usando la fórmula de permutación lineal) • Se busca las diferentes ternas (k = 3) que se pueden formar con los 10 atletas (n = 10) 10! 7! 10 3 = 720 = = 7!x8x9x10 7! Ejemplo : ¿De cuántas maneras distintas se podrán ordenar las siguientes figuras?
Solución: • Como entran todos los elementos del conjunto y estos se repiten, se trata de una permutación con repetición, donde n1 = 3 (tres círculos), n2 = 2 (dos cuadrados) , n3 = 1 (un triángulo), n4 = 1( un rombo), luego: , 7 3,2,11= = 420 = = 4x5x6x7 2 3!x4x5x6x7 3!x2x1x1 7! 3!x2!x1!x1! PERMUTACIÓN CIRCULAR Son agrupaciones donde no hay primero ni último elemento, por hallarse todos en una línea cerrada. Para hallar el número de permutaciones circulares que se pueden formar con “n” objetos distintos de un conjunto, hay que considerar fija la posición de un elemento, los n – 1 restantes podrán cambiar de lugar de (n – 1)! Formas diferentes tomando todas las posiciones sobre la circunferencia relativa al primer punto. El número de permutaciones circulares será: = (n -1)! P n c Ejemplo1 : ¿De cuántas formas diferentes puede sentarse al rededor de una mesa circular un padre y sus 5 hijos? Solución : • Se trata de una permutación circular : = (6-1)!= 5!= 5x4x3x2x1=120 P 6 c Ejemplo 2: ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar las cifras del 1 al 7 en la siguiente figura? Solución : RECORDAR 1) n! = 1 x 2 x 3 x ……………. x n 2) 0! = 1 3) 1! = 1 4) n! = (n – 1)! x n
Teorema 2: (Permutación lineal con elementos repetidos) El número de permutaciones (P) distintas de “n” elementos tomados de “n” en “n” en donde hay un primer grupo de n1 objetos iguales entre si; n2 objetos iguales entre si de un segundo tipo y así sucesivamente hasta nk objetos iguales entre si de un último tipo, entonces: n2+ n3……+ nk = n
C +C +C • 8 C 1 Seleccionamos 4 físicos entre 8 en formas = = 70 C4 • 6 C 2 Seleccionamos 3 matemáticos entre 6 en c C = n , C =1 , C 1) 2) C =C 3) C +C =C 4) C = • Este problema se puede resolver como la conjunción de dos eventos: primero ubico una cifra en el centro (7 posibilidades) y segundo las otras 6 cifras, las cuales por ordenarse en una circunferencia se podrán permutar de (6 –1 )! Formas , por lo tanto: # de maneras = 7 x 5! = 7 x 120 = 840
Combinación Es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o todos los elementos de un conjunto dado sin considerar el orden en su ubicación El número de combinaciones de “n” elementos diferentes tomados de “k” en “k” , con k= n ,está dada por: n! n(n-1)(n-2)(n-3)……… ……(n-k+1) (n-k)!k! k(k-1)(k-2)……… .(1) Ejemplo 1: Si disponemos de 5 puntos no colineales ,¿cuál es el máximo número de triángulos que se podrán formar? Solución : • Para dibujar un triángulo solo es necesario 3 puntos en el plano, luego se escogerán 3 puntos (k = 3) de un total de 8 puntos (n = 5). Además no importa el orden, ya que el triangulo ABC es igual al CBA; por lo tanto se trata de una combinación. 5! 2!3! 5 3 =10 = = 5x4x3 3x2x1 C Ejemplo 2: con Una señora tiene 3 frutas : manzana, fresa y piña. ¿Cuántos sabores diferentes de jugo podrá preparar estas frutas ? Piña (P) , Manzana (M) Fresa (F) , Solución: Método 1 : (en forma gráfica) • • • Cuando se escoge una fruta de las tres, los sabores son 3: F, P ,M Cuando se escoge 2 de las tres frutas, los sabores son 3: FP, FM, PM Cuando se escoge las 3 frutas los sabores son 1: FPM • Total de sabores diferentes : 3 + 3 + 1 = 7 Método 2 : (Empleando combinaciones) Se puede escoger una fruta de las tres ó 2 frutas de las tres ó las tres frutas de las tres, además en este caso no importa el orden; por lo tanto usamos el principio de adición aplicado a la combinación: # maneras diferentes = 3 3 3 3 1 2 # maneras diferentes = 3 1 = 3+3+1= 7 + + 3x2x1 3x2x1 3×2 2×1 Total de sabores diferentes : 3 + 3 + 1 = 7 Ejemplo 3: Se desea formar un comité de 7 seleccionando 4 físicos y 3 matemáticos de un grupo de 8 físicos y 6 matemáticos.¿De cuantas maneras podrá seleccionarse? 4 8 8x7x6x5 4x3x2x1 Solución: o
o 3 n k =1 n 0 PROPIEDADES DE n n 1 n n n k n-k n n n+1 k k+1 k+1 n n-1 n kC k-1 k 5) C C n k n n-1 k = OBSERVACIÓN 1) En las permutaciones interesa el orden, se buscan ordenaciones 2) En las combinaciones no interesa el orden, se busca agrupaciones
= = 20 C3 C xC CRk =Ck • 6 6x5x4 3x2x1 Aplico el principio de multiplicación 8 4 6 3 = 70 x 20 = 1400 Problemas resueltos 1. ¿Cuántos numerales de 2 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 3 , 5 y 7? A) 16 B) 12 C) 10 D) 14 e)8 • Solución : MÉTODO 1 : ( mediante arreglo numérico) Con los dígitos dados, formamos los siguientes números: 11 13 15 17 31 33 35 37 51 53 55 57 71 73 75 77 Respuesta : se pueden formar 16 numerales MÉTODO 2 : ( mediante la aplicación de los principios de análisis combinatorio) • La forma general del numeral pedido es : ab • Los valores que pueden tomar los dígitos a y b en el numeral ab son: ab
1 1 3 3 5 5 7 7 cantidad de números = 4 x 4 = 16
2. Determinar cuántos numerales de 3 cifras existen en el sistema de base seis. A) 160 B) 12 0 C) 100 D) 140 e) 180 • Solución : La forma general del numeral es abc, hallaremos las posibilidades que pueden tomar a, b y c en base seis y luego multiplicamos el número de las posibilidades a b c OBSERVACIÓN 1) a toma 4 valores 2) b toma 4 valores 3) Para formar el numeral ab primero escribo las cifras de las decenas(4 posibilidades) y luego la cifra de las unidades ( 4 posibilidades), luego por el principio de multiplicación, la cantidad de numerales será : 4 x 4 = 16 OBSERVACIÓN En estos casos el orden es importante, además los elementos del conjunto pueden repetirse, como por ejemplo : 11 , 33, 55, 77 OBSERVACIÓN: 1) En base seis solo se dispone de los dígitos : 0,1,2,3,4 y 5 2) La primera cifra a no puede ser cero, solo puede tomar las cifras : 1,2,3,4 y 5; es decir 5 posibilidades OBSERVACIÓN: En la práctica se presentan diferentes combinaciones que no resultan sencillas, estas son las combinaciones con repetición. Para obtener las diferentes combinaciones con repetición de “n” elementos en el cual hay repetición de los elementos (CR) agrupados de k en k, se utiliza la siguiente fórmula: n(n +1)(n + 2 )………..(n + k -1) k! = n n+k-1
. . . 1 0 0 2 1 1 5 5 5
5 x 6 x 6 = 180 numerales Respuesta : se pueden formar 180 numerales 3. ¿Cuántos numerales de la forma: a(a + 2)b(b -3)c8 existen? A) 260 B) 2 00 C) 300 D) 240 e) 180 Solución: •
• En estos tipos de problemas hay que tener en cuenta que cuando una variable representa una cifra, y ésta se repite en el numeral, entonces a dicha variable se le considera una sola vez al calcular la cantidad de numerales. En nuestro problema, con la indicación anterior, tendremos: a(a + 2)b(b -3)c8 ? 0 1 . 7 ? 3 4 . 7 ? 1 2 . 5 cantidad de numerales = 5 x 5 x 8 = 200 Respuesta : se pueden formar 200 numerales 4. ¿Cuántos numerales de tres cifras diferentes existen en el sistema de base decimal? A) 900 B) 780 C) 800 D) 648 e) 724 Solución: • La forma general del numeral es abc, hallaremos las posibilidades que pueden tomar a, b y c en base diez y luego multiplicamos el número de las posibilidades, teniendo en cuenta que las tres cifras deben ser diferentes a b c ? 0 1 . . ? 0 1 . . ? 1 2 . . 9 (10-1) (10- 2) # numerales = 9 x 9 x 8 = 648 Respuesta : se pueden formar 648 numerales 5. ¿Cuántos numerales de la forma: 14 a( a b )b( )9 existen? 3 •
• A) 9 B) 18 C) 26 D) 48 e) 24 Solución: Los valores de “a” deben se factores de 14 y además menores que 9; luego los valores posibles de “a” solo pueden ser : 1,2,7 ; es decir hay 3 posibilidades. Los valores de “b” son múltiplos de 3, menores que 9; luego los valores de “b” solo pueden ser: 0,3 y 6; es decir hay 3 posibilidades b )b( )9 3 14 a( a OBSERVACIÓN 1) "a" por ser primera cifra no puede ser cero 2) A las posibilidades de "a"y "b" se les aplica el principio de multiplicación
1 2 7 0 3 6 ………… (1) . . . 9 10 10 c ? 0 1 . b ? 0 1 . a ? 1 2 . cantidad de #s = 9 x 10 x 10 = 900 d) Cálculo del número de 3 cifras que no usan cifra “6” a b c 9 10 10 0 1 . . 0 1 . . 1 2 . . ? ? ? • cantidad de #s = 8 x 9 x 9 = 648 e) Remplazando los valores obtenidos en los pasos “c” y “d” en la ecuación (1) de l paso (b), se tiene: X = 900 – 648 = 252 Respuesta : se pueden formar 252 números 7) De un grupo de 5 estudiantes, cuantos grupos diferentes de tres alumnos podrían formarse.
A) 16 B) 10 C) 12 D) 15 e) 18 Solución : METODO 1: Por conteo directo Sean A, B, C, D y E los alumnos, los diferentes grupos de 3 serían : ABC, ABD, ABE, ACD, ACE , ADE, BCD, BCE, BDE, CDE Respuesta : se pueden formar 10 grupos diferentes x = abc – y c) Calculamos el número de tres cifras que existen: cantidad de # = 3 x 3 = 9 números Respuesta : se pueden formar 9 números
6. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen por lo menos un 6 en su escritura?
A) 196 B) 188 C) 252 D) 480 e) 248 Solución: a) Podemos representar el procedimiento de solución mediante un diagrama de Venn: OBSERVACIÓN: Para hallar los números que tiene por lo menos un 6 en su escritura, se consideran: 1) Los que tienen un solo 6 2) Los que tienen dos 6 3) Los que tienen tres 6
b) Del gráfico anterior , se deduce que: # de cifras con por lo menos un 6 = # de tres cifras – # de tres cifras que no usan el 6 EXPLICACIÓN: 1) “a” puede tomar los valores del “1” al 9, es decir hay 9 posibilidades para las centenas 2) para “b” y “c” hay 10 posibilidades, ya que b y c pueden tomar los valores del “0” al 9 3) Para hallar la cantidad de números de 3 cifras aplicamos el principio de multiplicación EXPLICACIÓN: 1) “a” puede tomar los valores del “1” al “9”; sin considerar el “7” es decir hay posibilidades para las centenas 2) para “b” y “c” hay 9 posibilidades, ya que b y c pueden tomar los valores del “0” al “9”, exceptuando a “7” 3) Para hallar la cantidad de números de 3 cifras aplicamos el principio de multiplicación
• METODO 2: Por fórmula Como el grupo de alumnos ABC, CBA y BAC son el mismo grupo de alumnos, entonces no interesa el orden de los elementos y se trata de una combinación: 5 3 =10 = 5x4x3 3x2x1 C • Respuesta : se pueden formar 10 grupos diferentes
8) Con 7 sumandos diferentes ¿Cuántas sumas distintas de 4 sumandos se podrán efectuar?
A) 56 B) 35 C) 42 D) 64 e) 70 Solución : En la suma no importa el orden que se dispongan los sumandos , por lo tanto se trata de una combinación; además para cada suma se escogen grupos de 4 sumandos de los siete de que se disponen. 7 4 = 35 = 7x6x5x4 4x3x2x1 C • Respuesta : se pueden formar 35 sumas diferentes
9) ¿De cuántas formas se pueden ubicar en una fila de 7 asientos 3 hombres y 4 mujeres, si estas deben ocupar los lugares impares?
A) 160 B) 135 C) 144 D) 14 e) 170 Solución : Representemos gráficamente el problema, y luego emplearemos el principio de multiplicación
Posibilidades 4 3 3 2 2 1 1 # de formas = 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x1 =144 Respuesta : se pueden ubicar de144 formar diferentes 10) ¿Cuántos números de 4 cifras diferentes y mayores que 5 000 , se pueden formar con los siguientes dígitos : 1 , 3, 4 , 6 , 9? A) 52 B) 48 C) 27 D) 96 e) 49 • Solución : Sea : abcd el número, entonces se tiene: a b c d ? ? ? ? 2 4 3 2 # de números = 2 x 4 x 3 x 2 = 48 • Respuesta : se pueden formar 48 números de cuatro cifras diferentes
11) Un grupo de 16 personas desean escoger entre sus miembros un comité de 3 personas que los represente. ¿De cuantas formas distintas se puede seleccionar dicho comité?
A) 1120 B) 48 C) 300 D) 560 e) 440 Solución : Para formar un comité , no interesa el orden en que se dispongan las tres personas por lo que los posibles comités serán combinaciones de 16 personas tomadas en grupos de 3, así 16 3 = 560 = 16x15x14 3x2x1 C Respuesta : se puede seleccionar el comité de 560 formas diferentes
12) A la final de un torneo de ajedrez se clasifican 10 jugadores,¿cuántas partidas se jugará si se juega todos contra todos? A) 1120 B) 48 C) 300 D) 560 e) 440 EXPLICACIÓN: 1) “a” puede ser “6” o “9”, es decir tiene 2 posibilidades ; “b”, tiene (5 – 1) posibilidades; “c” tiene (5 – 2) posibilidades y “d” tiene (5 – 3) posibilidades ya que las cifras deben
• Solución : Si “A” juega con “B” es lo mismo decir que “B” juega con “A”, la partida es la misma, no interesa el orden de sus elementos, pero es una agrupación de 2 en 2, de un total de 10 elementos. Por lo tanto se trata de una combinación 10 2 = 45 = = 10×9 2×1 10! 2!x8! C Respuesta : se jugarán 45 partidas
13) ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar una persona de A a D sin retroceder? D) 18 e) 30 A) 24 B) 48 C) 36 Solución : • Identificamos con un nombre a cada camino diferente: • Analizamos por tramos: I)
II) ABD : para llegar a B, se puede utilizar cualquiera de los 3 caminos(1, 2, 3) señalados. De B a D se puede ir por el camino z, luego habría 3 formas diferentes de llegar: 1z,2z,3z; por lo tanto en el tramo ABD hay 3 formas ACD: para llegar a C se puede utilizar un camino para llegar a B (1,2,3) y luego otro camino para llegar a C(4,5,6). Que aplicando el principio de multiplicación se tendría: A
# maneras de llegar de A a C = 3 B
x 3 C
=9 pasando por B
Pero también hay dos caminos directos para llegar a C (x,y); por lo tanto el número total de caminos para llegar de A a C es : 9 + 2 = 11 formas; y de C a D hay 3 formas (7,8,9) Finalmente se tiene: De A a C y de C a D ? De A a D 11formas 3formas 11 x 3 formas • # total de formas diferentes = 33 formas En conclusión los caminos de (I) y (II) , pueden ser ABD ó ACD = 3 + 33 = 36 formas Respuesta : 36 maneras diferentes
14) En un examen de matemáticas, un estudiante debe responder siete preguntas de las diez dadas.¿De cuántas formas diferentes debe seleccionar, si el debe responder por lo menos, tres de las cinco primeras preguntas? A) 64 B) 55 C) 50 D) 110 e) 120
C xC +C xC +C xC C6 C5 C5 C5 C4 =C6 = C5 = 6C5 Ck = Ck-1 C xC = 2C5 C5 • Solución : El estudiante puede responder tres de las cinco primeras preguntas y 4 de las últimas 5 preguntas; ó cuatro de las primeras cinco preguntas y 3 de las últimas ; ó cinco de las primeras cinco y dos de las últimas. Como no interesa el orden se trata de una combinación, por lo tanto tenemos: 5 2 5 5 5 5 5 3 4 4 3 5 = 50+50+10 =110 = 5×4 2×1 +1x 5x4x3 3x2x1 x5+5x 5x4x3 3x2x1 Respuesta : 110 maneras diferentes
15) El servicio de inteligencia de cierto país, desea enviar mensajes a sus agentes secretos. Solo quiere utilizar las siguientes letras: V, A, M , P ,I, R, O.¿Cuántas palabras claves de cinco letras pueden formarse, si ninguna letra puede repetirse? A) 2520 B) 1550 C) 1850 D) 1100 e) 1200 Solución : Método 1:(usando el principio de multiplicación) = 2 520 #maneras = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 Método 2:(usando permutación) 7! 2! 7 5 = 2520 = = 7! (7 -5)! = 2!x3x4x5x6x7 2! P • 16) Un hombre tiene 9 bonos financieros de 9 compañías distintas, y piensa regalarlos a sus 3 hijos de la siguiente manera: a su hijo mayor, 4 ; a su segundo hijo, 3 ; y al menor 2. ¿De cuantas formas puede repartir los bonos? A) 1640 B) 1360 C) 680 D) 1100 e) 1120 Solución : Se trata de una permutación con repetición donde intervienen todos los elementos. Hay 4! Maneras de arreglar los bonos para su hijo mayor; 3! Formas para arreglar los bonos para el segundo hijo y 2! Formas para el hijo menor. Luego se tiene: 9 4,3,2 =1360 = = 4!x5x6x7x8x9 4!x3x2x1x2x1 9! 4!x3!x2! P Respuesta : Los bonos se pueden repartir de 1360 formas
17) La selección peruana de voleibol está conformado por 12 chicas. ¿De cuántas formas se puede conformar un equipo de 6 si se sabe que 2 chicas se niegan a jugar en el mismo equipo? A) 12 2 3 B) 11 5 3 C) 10 17 6 D) 10 11 3 e) 10 4 9 • # de equipos = C 10 10 5 10 10-6+1 6 12-2 6 2do caso : Si figura una de las dos chicas que se niegan a jugar juntas, las otras cinco chicas deben escogerse de entre las10 restantes # de equipos = 10 10 5 2 1 ? # total de equipos = 10 5 10 5 17 10 6 C5 5 6C = + 2C Respuesta : El número total de equipos que se pueden formar es 10 17 6 Solución : La delegación de 6 chicas se puede presentar en los siguientes casos: 1er caso : Si no figura ninguna de las dos chicas que se niegan a jugar juntas, las seis chicas deben escogerse de entre10 OBSERVACIÓN: Hemos aplicado la propiedad: n n -k +1 n k
= = 56 C5 P .2.1 maneras diferentes. P .2.1 = 1!.6.2! = (5!) .3 •
• 18) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 8 personas en una mesa redonda de 5 asientos, si 3 están en espera? A) 1640 B) 1344 C) 680 D) 1124 e) 1120 Solución : El número de grupos de 5 personas que se ubican en la mesa circular es: 8 8x7x6x5x4 5x4x3x2x1 El número de formas en que cada grupo de 5 personas se pueden sentar en la mesa es: (5 – 1)! =4! = 24 # total de formas = 56 x 24 = 1344 Respuesta : 1344 maneras diferentes
19) La tripulación de un bote es de 10 hombres, cuatro solamente pueden remar a babor y tres a estribor. ¿De cuántas formas se pueden distribuirse para remar?, sabiendo que cinco hombres deben ubicarse a cada lado para mantener el equilibrio del bote? PROA Babor Estribor A) 3x (5!)2 B) 6x (4!)2 POPA C) 3! x (5!)2 D) 12 x (3!)2 e) 6x (5!) x (4!) • Solución : Sean {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j }los tripulantes del bote de los cuales: a, b, c y d pueden remar sólo a babor y h, i, y j pueden remar sólo a estribor. Además cinco hombres están ubicados a cada lado del bote. • a, b, c y d pueden ubicarse a babor de P 5 4 formas distintas ocupando 4 lugares (observar que en este problema el orden es importante). Los lugares que sobran a babor pueden ser ocupados por d, e ó f, es decir 3 formas distintas. Luego los cinco lugares a babor pueden ser ocupados de: • 5 P . 3 formas o maneras distintas. 4 A estribor h, i, y j pueden acomodarse de P 5 3 formas diferentes ocupando 3 lugares; y sobrando 2 lugares. • Uno de los lugares que sobra puede ser ocupado de 2 formas diferentes, pues uno de los tripulantes e, f ó g ya está ubicado a babor, quedando (3 – 1) de ellos para ocupar aquel cuarto lugar. El quinto lugar a estribor puede ser ocupado de (3 – 2 ) sola forma, por el que queda de los dos anteriores. Por tanto los 5 cinco lugares a estribor pueden ser ocupados de : 3 Como se trata de un suceso simultaneo , aplicamos el principio de multiplicación para los dos resultados anteriores: # de formas diferentes = P 5 4 .3x 3 5 5! 5! 2 2
20) Señale cuántos productos diferentes, cada uno de tres factores primos, podrá obtenerse con los cinco factores primos : a, b, c, d, e ( a < b < c < d
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