3X2 + 2X – 8 X+2 Ejercicios : 3X Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y al producto se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante y se efectúa la operación : 3X2 + 2X – 8 – 3X2 – 6X X+2 3X – 4X – 8 Se divide el primer término del resto (– 4X) entre el primer término del divisor (X) y tendremos el segundo término del cociente. 3X2 + 2X – 8 – 3X2 – 6X X+2 3X – 4 – 4X – 8 Este segundo término del cociente (– 4) se multiplica por todo el divisor y al producto se le cambian los signos y se efectúa la operación : 3X2 + 2X – 8 – 3X2 – 6X X+2 3X – 4 – 4X – 8 4X + 8 0 Como el residuo es igual a cero, la división es exacta y el resultado es: 3X2 + 2X – 8 entre X + 2 = 3X – 4 APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar – 29 –
Mas Ejercicios : NOTA IMPORTANTE: En la división de polinomios, el exponente del término de mayor grado del cociente es igual a la diferencia del exponente del término de mayor grado del dividendo menos el exponente del término de mayor grado del divisor. APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar – 30 –
COCIENTE MIXTO En los casos de división estudiados anteriormente el dividendo era divisible exactamente por el divisor (el residuo final era igual a cero). Cuando el dividendo no es divisible exactamente por el divisor, la división no es exacta, nos da un residuo y esto origina los cocientes mixtos, así llamados porque constan de entero y quebrado. En las divisiones donde el residuo es distinto de cero: EJEMPLO: Dividir X2 – X – 6 entre X + 3 APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar – 31 –
1 1 ?DIVISIÓN DE POLINOMIOS UTILIZANDO Se copia el primer coeficiente del dividendo debajo de él mismo : LA REGLA DE RUFFINI : Esta regla solo puede ser utilizada cuando el divisor es un binomio del tipo (X + a) o del tipo (X – a). X4 1 – 4X3 – 4 – X2 – 1 + 16X 16 – 12 – 12 Ejemplo 1 : Dividir X4 – 4X3 – X2 + 16X – 12 entre X – 1 Para aplicar la REGLA DE RUFFINI en la división de dos polinomios se deben seguir los siguientes pasos : Primero los polinomios deben estar ordenados en forma descendente (decreciente). Cuando sea necesario se debe completar el dividendo. Se multiplica la raíz con el primer coeficiente que se bajó y el producto se copia debajo del segundo coeficiente : Luego se copian los coeficientes del polinomio “dividendo” en una tabla similar a la siguiente: X4 1 – 4X3 – 4 – X2 – 1 + 16X 16 – 12 – 12 X4 – 4X3 – X2 + 16X – 12 1 1 1 1 – 4 – 1 16 – 12 Luego se efectúa la suma algebraica de las dos cantidades ubicadas en la columna donde se colocó el producto: Se coloca el segundo término del divisor en la parte izquierda pero con el signo cambiado (X – 1 ). Este valor recibe el nombre de raíz del polinomio : X4 – 4X3 – X2 + 16X – 12 X4 – 4X3 – X2 + 16X – 12 1 – 4 – 1 16 – 12 1 – 4 – 1 16 – 12 1 1 1 1 – 3 Se multiplica la raíz por el resultado de la suma algebraica realizada y este producto se copia debajo del tercer coeficiente : APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar – 32 –
X4 1 – 4X3 – 4 – X2 – 1 + 16X 16 – 12 – 12 X4 1 – 4X3 – 4 – X2 – 1 + 16X 16 – 12 – 12 1 1 1 – 3 – 3 1 1 1 – 3 – 3 – 4 – 4 12 Se multiplica la raíz por el resultado de la suma algebraica realizada y Luego se efectúa la suma algebraica de las dos cantidades ubicadas en la columna donde se colocó el producto: este producto se copia debajo del quinto coeficiente : X4 – 4X3 – X2 + 16X – 12 X4 1 – 4X3 – 4 – X2 – 1 + 16X 16 – 12 – 12 1 1 – 4 1 – 1 – 3 16 – 4 – 12 12 1 1 – 3 1 – 3 – 4 12 1 – 3 – 4 Luego se efectúa la suma algebraica de las dos cantidades ubicadas en la columna donde se colocó el producto: Se multiplica la raíz por el resultado de la suma algebraica realizada y este producto se copia debajo del cuarto coeficiente : X4 1 – 4X3 – 4 – X2 – 1 + 16X 16 – 12 – 12 X4 – 4X3 – X2 + 16X – 12 1 1 1 – 3 – 3 – 4 – 4 12 12 0 1 1 1 – 4 1 – 3 – 1 – 3 – 4 16 – 4 – 12 Como el resultado final es cero ( 0 ), esto nos indica que la división es exacta (no hay resto), La información que queda en la última fila representa el polinomio “cociente” (el resultado de dividir X4 – 4X3 – X2 + 16X – 12 entre X – 1) Luego se efectúa la suma algebraica de las dos cantidades ubicadas en la columna donde se colocó el producto: APUNTES DE ÁLGEBRA Para llegar a esa deducción debo tener presente que en la división de polinomios, el exponente del término de mayor grado del cociente es igual Ing. José Luis Albornoz Salazar – 33 –
X2 a la diferencia del exponente del término de mayor grado del dividendo (X4) menos el exponente del término de mayor grado del divisor (X). Ejemplo 3 : Dividir X3 – 3X2 – 4X + 12 entre X – 1 X4 – 4X3 – X2 + 16X – 12 Recuerde que hay que cambiarle el signo a 1 – 4 – 1 16 – 12 X 3 – 3X2 – 4X + 12 1 1 1 – 3 – 3 – 4 – 4 12 12 0 1 1 – 3 1 – 4 – 2 12 – 6 1 – 2 – 6 6 Con esta información se deduce que : (X4 – 4X3 – X2 + 16X – 12) ÷ ( X – 1) = X3 – 3X2 – 4X + 12 Ejemplo 2 : Dividir X4 – 11X2 – 18X – 8 entre X + 1 Para aplicar la REGLA DE RUFFINI en aquellos polinomios donde falta un término debemos colocar el mismo acompañado del coeficiente cero (Completar el dividendo). Como el resultado final es distinto de cero (6 en este caso), significa que la división no es exacta. Este 6 representa el residuo de la división. Con esta información se deduce que el cociente de dicha división es – 2X – 6 y el resto o residuo es 6. Ejemplo 4 : Dividir X3 – 3X2 – 4X + 12 entre X + 1 Recuerde que hay que cambiarle el signo a En este caso en particular notamos que el dividendo no tiene el termino de grado tres, se conformará de la siguiente manera : X4 + 0X3 – 11X2 – 18X – 8 – 1 X 3 1 1 – 3X2 – 3 – 1 – 4 – 4X – 4 4 0 + 12 12 0 12 Como el resultado final es distinto de cero (12 en este caso), significa que la división no es exacta. Este 12 representa el residuo de la división. Con esta información se deduce que el cociente de dicha división es (X4 – 11X2 – 18X – 8) ÷ ( X + 1) = X3 – X2 – 10X – 8 X2 – 4X y el resto o residuo es 12. APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar – 34 –
?PRODUCTOS NOTABLES : Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin realizar la multiplicación. CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES : El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble producto de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Para comprobar el enunciado anterior resolveremos este ejercicio “paso a paso” : (a + b)2 = elevar al cuadrado (a + b) equivale a multiplicar este binomio por si mismo = (a + b). (a + b) Efectuando la multiplicación (recordando lo indicado en Multiplicación de Polinomios pág. 14) tendremos : Ejemplos : a +b a +b a2 +ab +ab a2 + 2ab +b2 +b2 CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES : El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Para comprobar el enunciado anterior resolveremos este ejercicio “paso a paso” : (a – b)2 = elevar al cuadrado (a – b) equivale a multiplicar este binomio por si mismo = (a – b). (a – b) Efectuando la multiplicación (recordando lo indicado en Multiplicación de Polinomios pág. 14) tendremos : APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar – 35 –
Ejemplos : a a a2 a2 – b – b –ab –ab – 2ab +b2 +b2 PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES : La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo. Generalmente acostumbramos a definirlo como : El cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. (a + b).(a – b) = a2 – b2 Para comprobar el enunciado anterior efectuaremos la multiplicación (recordando lo indicado en Multiplicación de Polinomios pág. 14) : a +b a – b a2 +ab –ab –b2 APUNTES DE ÁLGEBRA Ejemplos : a2 0 –b2 Ing. José Luis Albornoz Salazar – 36 –
CUBO DE UN BINOMIO (CUANDO EL BINOMIO ES LA SUMA DE DOS CANTIDADES) : El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triple producto del cuadrado de la primera cantidad por la segunda sin exponente, más el triple producto del cuadrado de la segunda cantidad por la primera sin exponente, más el cubo de la segunda cantidad. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)3 = elevar al cubo (a + b) equivale a multiplicar este binomio por si mismo dos veces = (a + b) . (a + b) . (a + b) Efectúe la multiplicación recordando lo indicado en Producto Continuado de Polinomios pág. 19 y notará que el resultado será = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 CUBO DE UN BINOMIO (CUANDO EL BINOMIO ES LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES) : El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triple producto del cuadrado de la primera cantidad por la segunda sin exponente, más el triple producto del cuadrado de la segunda cantidad por la primera sin exponente, menos el cubo de la segunda cantidad. (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 (a – b)3 = elevar al cubo (a – b) equivale a multiplicar este binomio por si mismo dos veces = (a – b) . (a – b) . (a – b) Efectúe la multiplicación recordando lo indicado en Producto Continuado de Polinomios pág. 19 y notará que el resultado será = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Ejemplos : APUNTES DE ÁLGEBRA PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (X + a).(X + b) : Estos productos cumplen las siguientes reglas: 1) El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios (primer término elevado al cuadrado). 2) El coeficiente del segundo término del producto es la suma algébrica de los segundos términos de los binomios y se acompañará del primer termino de los dos binomios (X). 3) El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios (multiplicar los segundos términos de los dos binomios). El signo lo da la Ley de los signos : Ejemplo: (X + 3).(X + 2) = X2 + 5X + 6 A continuación realizaremos la multiplicación de estos dos binomios para verificar lo anterior. Ing. José Luis Albornoz Salazar – 37 –
X2 ; ; Ejemplos : X X X2 +3 +2 +3X +2X +6 +5 X +6 ?ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA : IGUALDAD es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor. Ejemplos : 4 + 5 = 9 ; a = b +c 3X2 = 4X + 15 ECUACIÓN es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas. Así, 5X + 2 = 17 es una ecuación, porque es una igualdad en la que hay una incógnita, la “X”, y esta igualdad sólo se verifica, o sea que solo es verdadera, para el valor “X = 3”. En efecto, si sustituimos la “X” por “3”, tenemos : 5(3) + 2 = 17 15 + 2 = 17, o sea : 17 = 17 Si le damos a “X” un valor distinto de “3”, la igualdad no se verifica o no es verdadera. MIEMBROS de una ecuación son las expresiones que están a ambos lados de la igualdad. APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar – 38 –
+ Se llama primer miembro a la expresión que está a la izquierda del signo de igualdad, y segundo miembro, a la expresión que está a la derecha. Así, en la ecuación 3X – 5 = 2X – 3 , el primer miembro es 3X – 5 y el segundo miembro 2X – 3. CLASES DE ECUACIONES Una ecuación numérica es una ecuación que no tiene más letras que las incógnitas, Ejemplo : 3X – 5 = 2X – 3 donde la única letra es la incógnita “X”. Una ecuación literal es una ecuación que además de las incógnitas tiene otras letras, que representan cantidades conocidas. Ejemplo : 3X – 5a = 2b – 3bX Una ecuación es entera cuando ninguno de sus términos tiene denominador como en los dos ejemplos anteriores, y es fraccionada cuando algunos o todos sus términos tienen denominador. RAICES O SOLUCIONES de una ecuación son los valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación, es decir, que sustituidos en lugar de las incógnitas, convierten la ecuación en identidad. Ejemplo : En la ecuación 5X – 6 = 3X + 8 , la raíz es “7” porque haciendo X=7 se tiene 5(7) – 6 = 3(7) + 8 ; 35 – 6 = 21 + 8 ; 29 = 29 Donde se puede observar que “7” satisface la ecuación. Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen una sola raíz. RESOLVER UNA ECUACIÓN es hallar sus raíces, o sea el valor o los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación. AXIOMA FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES : Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales (en ambos miembros de la ecuación), los resultados serán iguales. REGLAS QUE SE DERIVAN DE ESTE AXIOMA: Ejemplo : = 5 + 1) Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. GRADO de una ecuación con una sola incógnita es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación. Ejemplo : 4X – 6 = 3X – 1 y aX + b = b2X + c son ecuaciones de primer grado porque el mayor exponente de “X” es “1”. Ejemplo : 4X2 – 6X + 5 = 0 es una ecuación de segundo grado porque el mayor exponente de “X” es “2”. Las ecuaciones de primer grado se llaman ecuaciones simples o ecuaciones lineales. APUNTES DE ÁLGEBRA 2) Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. 3) Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. 4) Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. 5) Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se extrae la misma raíz, la igualdad subsiste Ing. José Luis Albornoz Salazar – 39 –
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