Definición: Para una variable aleatoria discreta con valores posibles y sus posibilidades representadas por la función de masa p (xi) la esperanza se calcula con una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad , o La esperanza también se suele simbolizar con Las esperanzas para se llaman momentos de orden . Más importantes son los momentos centrados.
Propiedades La esperanza es un operador lineal, ya que: Combinando estas propiedades, podemos ver que donde e son variables aleatorias y dos constantes cualesquiera.
Varianza y desviación estándar
VARIANZA
Esta medida nos permite identificar la diferencia promedio que hay entre cada uno de los valores respecto a su punto central (Media Este promedio es calculado, elevando cada una de las diferencias al cuadrado (Con el fin de eliminar los signos negativos), y calculando su promedio o media; es decir, sumado todos los cuadrados de las diferencias de cada valor respecto a la media y dividiendo este resultado por el número de observaciones que se tengan. Si la varianza es calculada a una población (Total de componentes de un conjunto), la ecuación sería:
Ecuación 5-6
Donde () representa la varianza, (Xi) representa cada uno de los valores, (
) representa la media poblacional y (N) es el número de observaciones ó tamaño de la población. En el caso que estemos trabajando con una muestra la ecuación que se debe emplear es:
Ecuación 5-7
Donde (S2) representa la varianza, (Xi) representa cada uno de los valores, () representa la media de la muestra y (n) es el número de observaciones ó tamaño de la muestra. Si nos fijamos en la ecuación, notaremos que se le resta uno al tamaño de la muestra; esto se hace con el objetivo de aplicar una pequeña medida de corrección a la varianza, intentando hacerla más representativa para la población. Es necesario resaltar que la varianza nos da como resultado el promedio de la desviación, pero este valor se encuentra elevado al cuadrado.
Desviación estándar o Típica
Esta medida nos permite determinar el promedio aritmético de fluctuación de los datos respecto a su punto central o media. La desviación estándar nos da como resultado un valor numérico que representa el promedio de diferencia que hay entre los datos y la media. Para calcular la desviación estándar basta con hallar la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto su ecuación sería:
Ecuación 5-8
Para comprender el concepto de las medidas de distribución vamos a suponer que el gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los pesos de los empaques (en gramos), de uno de sus productos; por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos. Los productos tienen los siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y 520) gramos respectivamente.
Por lo que su media es:
La varianza sería:
Por lo tanto la desviación estándar sería:
Con lo que concluiríamos que el peso promedio de los empaques es de 507 gramos, con una tendencia a variar por debajo o por encima de dicho peso en 12 gramos. Esta información le permite al gerente determinar cuánto es el promedio de perdidas causado por el exceso de peso en los empaques y le da las bases para tomar los correctivos necesarios en el proceso de empacado.
Función de probabilidad discreta
Denotaremos como 
a la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor 
Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 
a la aplicación que a cada valor de de la variable le hace corresponder la probabilidad de que la variable tome dicho valor:
Por definición, deducimos que si 
son los valores que puede tomar la variable entonces:
Ya que esta suma es, en realidad, la probabilidad del suceso seguro.
Ejemplo:
En el experimento de lanzar tres monedas al aire, la aplicación que asigna a cada resultado el numero de cruces obtenidas es una variable aleatoria. En este caso:
Observa que 
Función de distribución acumulativa
La gráfica de la función distribución acumulada de una variable discreta es siempre una gráfica escalonada.
Función distribución para la variable aleatoria del ejemplo
Distribución de probabilidad binomial
Esta distribución se basa en el proceso de Bernoulli. Se denominan procesos de tipo Bernoulli, a todo experimento consistente en una serie de pruebas repetidas, caracterizadas por tener resultados que se pueden clasificar en si verifican o no cierta propiedad o atributo, siendo aleatorios e independientes.
Para identificar un proceso Bernoulli en una serie de pruebas repetidas, se deben verificar tres condiciones:
Resultados dicotómicos: Los resultados de cada prueba se pueden clasificar en "éxito" si verifican cierta condición, o "fracaso" en el caso contrario.
Independencia de las pruebas: El resultado de una prueba cualquiera es independiente del resultado obtenido en la prueba anterior, y no incide en el resultado de la prueba siguiente.
Estabilidad de las pruebas: La probabilidad p de obtener un resultado considerado como un éxito se mantiene constante a lo largo de toda la serie de pruebas.
Cuando en un proceso del tipo Bernoulli se desea saber la probabilidad de obtener exactamente r éxitos, en una serie de n pruebas, con una probabilidad de éxito p, se puede aplicar la fórmula de la probabilidad binomial:
Veamos el siguiente ejemplo:
Sea el caso de una drogaX, con una dosis mortal de 1g/100 ml para cobayos experimentales, en el 25% de los casos. Aplicando esta dosis a cien cobayos se desea saber cuanto vale la probabilidad de que mueran veinte de ellos.
Primero analizaremos si este caso cumple los supuestos básicos de una distribución binomial:
Los cobayos mueren (éxito) o sobreviven (fracaso).
Que un cobayo muera con la dosis, no significa que lo hará el siguiente ( independencia) pues no se trata de una epidemia.
La probabilidad de que mueran se mantiene constante a lo largo de la serie de pruebas (p = 0,25).
Entonces, como si cumple los supuestos básicos, aplicamos la formula:
Distribución de probabilidad Poisson
Se denominan procesos de tipo Poisson, a todo experimento consistente en una serie de pruebas repetidas dentro de un continuo, caracterizadas por tener resultados que se pueden clasificar en si verifican o no, cierta propiedad o atributo, siendo aleatorios e independientes del lugar que ocurren dentro del continuo.
Para identificar un proceso Poisson en una serie de pruebas repetidas, se deben verificar tres condiciones:
Sucesos puntuales: Los sucesos ocurren dentro de un continuo (espacio o tiempo) y ocupan una parte infinitesimal del mismo. Es decir, en el espacio un suceso es puntual y en el tiempo es instantáneo. En términos prácticos, los sucesos no ocupan una parte apreciable del continuo.
Sucesos independientes: La ocurrencia de un suceso en un lugar del continuo no condiciona la ocurrencia del anterior (o del siguiente) en otra parte del mismo.
Probabilidad constante: La probabilidad de ocurrencia de un suceso en un lugar del continuo es la misma en todo punto del mismo.
Son ejemplos de este tipo de proceso:
la llegada de pacientes a una cola o línea de espera,
los accidentes en una ruta, etc.
Esta probabilidad se aproxima la binomial cuando la probabilidad de éxito es muy pequeña, por eso muchos la llaman: la "binomial de los sucesos raros".
Cuando en un proceso del tipo Bernoulli se desea saber la probabilidad de obtener exactamente x éxitos en un intervalo de tiempo, con un promedio de eventos esperados l , se puede aplicar la fórmula de la probabilidad de Poisson:
X = 0, 1, 2, …., n
e = 2.71828 (es una constante, la base de los logaritmos naturales)
Veamos el siguiente ejemplo:
Supongamos que estamos investigando la seguridad de una peligrosa intelección de calles, los registros policíacos indican una media de 5 accidentes mensuales en esta intersección.
El departamento de seguridad vial desea que calculemos la probabilidad de que en cualquier mes ocurran exactamente 3 accidentes.
Analizando el problema, este situación se ajusta a un proceso de Poisson, hay una secuencia de llegada (por mas que exista un choque múltiple, siempre hay uno que choca primero). Tenemos la siguiente información:
l = 5 accidentes por mes
x = 3 accidentes por mes
Aplicando la formula de la probabilidad de Poisson:
Autor:
Mayra Elizabeth Avila Beltran
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