Ejercicios resueltos 1. PAGO ÚNICO
Cuánto dinero tendrá el señor Rodríguez en su cuenta de ahorros en 12 años si deposita hoy $3.500 a una tasa de interés de 12% anual?.
Solución:
F = P ( F/P , i , n) F = 3.500 (F/P, 12% , 12) F = 3.500 (3,8960)
F = $13.636
¿Cuál es el valor presente neto de $500 dentro de siete años si la tasa de interés es 18% anual?
Solución: P = 500 ( P/F, 18% , 7 ) P = 500 [ 1/(1+ 0.18)7] P = 500 (0,3139)
P = $156,95
¿En cuanto tiempo se duplicaran $1.000 sí la tasa de interés es de 5% anual?
Solución: P = $1.000, F = $2.000 P = F ( P/F , i%, n ) 1.000 = 2.000 (P/F, 5%, n) (P/F, 5%, n) = 0,5 (P/F, 5%, n) = 1 / ( 1 + i )n 1 / ( 1 + 0,05 )n = 0,5 1 / 0,5 = (1.05 )n 2 = (1.05 )n log 2 = n log (1.05) n = log 2 / log 1.05 = 14.2 años
Si una persona puede hacer hoy una inversión comercial que requiere un gasto de $3.000 para recibir $5.000 dentro de cinco años, ¿Cuál sería la tasa de retorno sobre la inversión?
Solución:
La tasa de interés puede encontrarse estableciendo las ecuaciones de P/F o F/P y despejando directamente el valor de i del factor. Usaremos P/F:
P = F ( P/F, i% , n ) 3.000 = 5.000 (P/F, i%, 5) 0,6 = (P/F , i% , 5 ) 1 / (1 + i)n = 0,6 1 / (1 + i)5 = 0,6 1 / 0,6 = (1 + i ) 5 (1,66)1/5 = 1 + i (1,66) 1/5 – 1 = i i =10, 76%
En la compra de su casa usted se comprometió, mediante una letra, a pagar $400.000 dentro de 8 meses. Sí usted tiene la posibilidad de invertir en algunos papeles comerciales que rinden 2% mensual, ¿cuál será el valor tope que usted podría pagar por la letra hoy?
Solución:
F = $400.000, i = 2% mensual P = F (P/F, i , n) P = 400.000 (P/F, 2%, 8) P = 400.000 (0,85349)
P = $341. 396
2. SERIE UNIFORME
2.1. Me propongo comprar una propiedad que mi tío me ha ofrecido generosamente. El plan de pagos son cuotas de $700 dando la primera el segundo año y las dos restantes cada tres años. ¿Cuál es el valor presente de esta generosa oferta si la tasa de interés es del 17% anual?
Solución:
P = F ( P/F , i% , n ) P = 700 [(P/F, 17% ,2) + (P/F, 17% ,5) + (P/F ,17% ,8)] P = 700 [(0,7305) + (0,4561) + (0,2848)]
P = $1029,98
Sí el señor Mendoza solicitó un préstamo por $4.500 y prometió pagarlos en 10 cuotas anuales iguales, comenzando dentro de un año, ¿cuál será el monto de sus pagos si la tasa de interés es de 20% anual?
Solución:
A = P (A/P ,i% ,n) A = 4.500 (A/P, 20%, 10) A = 4.500 (0,23852)
A = $1073,34
Una industria recibe, de una organización de mantenimiento, la oferta de encargarse del mantenimiento de la máquina 14.31161200 durante los próximos 5 años, con un costo mensual uniforme de $50.000. Si la tasa de retorno mínima de la industria es de 2,5% mensual, ¿cuál seria hoy el costo presente equivalente de dicho Mantenimiento?
Solución:
P = A (P/A, i%, n) P = 50.000 (P/A, 2,5%, 60) P = 50.000 (30,9086)
P = $1´545.430 0 sea que hoy un pago de $1,545,430 es equivalente a 60 pagos de $50.000, realizados al final de cada uno de los 60 meses.
Ante la perspectiva del alto costo de la educación universitaria, un padre de familia resuelva establecer un fondo para cubrir esos costos. Al cabo de 18 años (supongamos que esta es la edad promedio de un primíparo) el fondo debe alcanzar un monde $15´000.000. Sí el deposito por ser a largo plazo paga 30% anual, ¿qué cuotas anuales uniformes debe depositar el padre de familia para garantizar la educación de su hijo a partir del fin de este año?
Solución:
Conocemos el valor futuro (F) y deseamos calcular los pagos anuales uniformes (A) A = F (A/F,i,n) A = 15´000.000 (A/F,30%,18) A = 15´000.000 (0,00269) A = $40.350
Suponga que a un empleado le prestan 10 millones de pesos para pagarlos en cuotas iguales de principio de mes, con un plazo de 5 años y una tasa de interés del 2% mensual. ¿Cuál es el valor de la cuota?
Solución:
Como conocemos la formula de A en serie uniforme de fin de periodo, es suficiente trasladar el préstamo un periodo antes de cero y así calculamos A.
P"0 = V.P. en 0" de 10"000.000 P"0 = 10"000.000 (1.02)-1 P"0 = 9"803.921,569 A = (9"803.921,569) * (A/P, 2%, 60) A = (9"803.921,569) * (0.028768) A = $282.039,2157 3.
SERIE CAPITALIZADORA
Un ingeniero ahorra $100.000 al final de cada mes por un periodo de un año y le reconocen el 1% mensual en entidad bancaria. ¿Cuál es el monto al final de cada mes?
F = $1´268.250,3
Resuelva el ejemplo anterior suponiendo que los ahorros se realizan al principio de mes.
Solución:
F´= 1´268.250,3 F = 1´268.250,3 (1 + 0.01)1
F = $1´280.932,803
AMORTIZACIÓN CONSTANTE
Se pide calcular los siguientes parámetros de un préstamo de $1.000,000 con una tasa del 2% efectivo mensual. Se pagara en 36 cuotas de fin de mes, bajo la modalidad de amortización constante.
Calcular:
El valor de la primera cuota.
La cuota 35.
El contenido de abono al capital en la cuota 35.
El contenido de intereses en la cuota 35.
Saldo o deuda después de pagar la cuota 35.
A1 = 0.02 ´ 1.000,000 + (1.000,000 /36)
A1 = 20.000 + 27.777,77 A1 = 47.777,77
A35= 28.888,888
a1 = a2 = a3 = a35 = a36 =1.000.000 /36
a35 = $27.777,77
I35 = 20.000 (?????????
I35 = $?????????
S35 =27.777,77 ?
Se solicita un préstamo para vivienda por 40 millones de pesos bajo el sistema UVR, la tasa de interés es del 1% efectivo mensual (en UVR), el préstamo se pagará en 10 años y los pagos se realizarán en cuotas de amortización constante (en UVR). Si en el momento del préstamo la UVR vale $120 ¿cuál es el valor de la primera y ultima cuota en UVR?. ¿Cuál es el saldo o deuda en UVR después de pagar la cuota 100?.
Lo primero que se debe hacer es conocer el valor del préstamo en UVR.
Valor del préstamo en UVR = valor del préstamo en pesos / valor UVR Valor del préstamo en UVR = 40´000.000 / 120 = 333.333,333
Tenemos entonces que P = 333.333,333; i = 1% mensual; n = 120 meses
Hallamos A1 y A120
A1 = i ( P + (P/n)
A1 = 0.01 ( 333.333,333 + (333.333,333 / 120)
A1 = $6.111,1
A120= $2.805,05
S100 = $55.555,5
5. SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMETICA)
Se hace un préstamo por el valor de mil pesos y se acuerda pagar cada fin de año, iniciando un año después de hacer el préstamo; de forma que cada pago diminuye $75 cada año, el segundo pago será menor que el primero por $75 y así sucesivamente. Si se desea liquidar totalmente el préstamo en 6 años, ¿cuál será el pago al final del año?
1000 = X(P/A, 5%, 6)-75(P/G, 5%,6)
1000 = X(5.076)-75(11.968) X = 373.5
Se presta un dinero para pagar la matricula en la universidad. Su tasa de interés semestral es del 15% sobre saldos semestrales. ¿Cuál es la deuda al terminar una carrera de 10 semestres, sabiendo que la primera fue de $400.000?
Encontraremos el valor presente de 9 matriculas (haciendo abstracción de la primera) en serie gradiente. A ese valor le sumamos la primera matricula. El resultado lo llevamos al semestre 10 y ese valor corresponde a la deuda en el momento de grado. g: 50.000; A2: 450.000; n: 9 P`= valor presente equivalente a las ultimas 9 matriculas. P = valor presente equivalente a todas las matriculas.
F = deuda al final del semestre 10, equivalente a todas las matriculas.
P` (A/P,15%,9) = 450.000+ 50.000 (A/g,15%,9) P` (0,20957) = 450.000 + 50.000 (3,09223)
P`=$2´885.009,782 P = P`+400.000=$2´885.009,782 +400.000
P = $3´285.009,782 F = P(1+i)n =$3´285.009,782*(1,15) 10
F = $13´289.696,74
Un joven del campo recientemente cumplió los 21 años y su futuro en el deporte es muy prometedor. Su contrato en el equipo "jamelcos" termino y el mismo ya le ofreció un nuevo contrato durante seis años por la suma de 1,6 Millones de dólares pagaderos al momento la firma. Por otro lado, el piensa que si eleva continuamente su nivel de juego, puede conseguir contratos anuales, el primero de los cuales seria por 250.000 dólares y, con cada contrato sucesivo, pedir una suma adicional de 50.000 dólares. Todos los contratos pagan lo convenido a principio de año. ¿Si la tasa de interés que se considera es del 15% anual, que deberá hacer el joven si quiere planear sus próximos seis años de carrera deportiva?
P = 250.000+ 300.000(P/A, 15%, 5) + 50.000(P/G,15%,5) P = 250.000+ 300.000(3,352) + 50.000(5.775)
P = $1´544.350
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
Un nuevo camión tiene un costo inicial de $8.000 y se espera que al final de 6 años tenga un valor de salvamento de $1.300. Se espera que el costo de operación del vehículo sea de $1.700 en el primer año y que se incremente en el 11% anual. Determine el costo presente equivalente del camión si la tasa de interés es del 8% anual.
Solución:
El costo presente (PT) es el valor presente de todo lo pagado por el costo de operación (PE) más el costo inicial menos el valor de salvamento.
PT = costo inicial + PE – valor de salvamento´
PE = 1700 {1-[(1+0,11)/((1+0,08)]6}/(0,11 – 0,08) = 1.700 (5,9559) = 10.125,03 Valor presente del valor de salvamento: 1.300 (P/F, 8%, 6) = 819,26 PT = 8.000 + 10.125,03 – 819,26
PT =$17.305,77
Ejercicios grupo 2:
1. Un préstamo de $1.000 con 5 años de plazo se pago en cuotas iguales. La tasa de interés es del 30% anual. ¿Cuál es la magnitud de la cuota?
2. Suponga que un préstamo de $1"000.000 se pago en una serie uniforme mensual. La tasa de interés es del 2% mensual sobre saldos. Pero además de la serie ordinaria hay compromiso de pagar un refuerzo adicional de $200.000 al final del plazo que es un año. ¿Cuál es el valor de cuota ordinaria mensual?
3. Si una persona ahorra $800 cada año en un banco que paga el 12% de interés capitalizado anualmente ¿cuánto tendrá ahorrado al finalizar el noveno año, luego de hacer nueve depósitos de fin de año?
4. Se tiene un préstamo de $1"000.000 al 3% mensual sobre saldos. Si se paga en 10 cuotas de amortización constante, ¿Cuál es el valor de la primera y tercera cuota?
5. En el ejercicio anterior ¿Cuál es el saldo una vez pagada la tercera cuota?
6. Se esta pagando un préstamo a 5 años en cuotas ordinarias mensuales de $300.000 pero adicionalmente se tienen refuerzos de $50.000 semestralmente. La tasa de interés es del 3% mensual. ¿ Cuál es la deuda después de pagar la cuota del mes 50?
7. Una persona compra un auto en $24.000 y acordó pagarlo en 36 mensualidades iguales, a una tasa de interés de 1% mensual. Un plan alternativo de pago consiste en dos anualidades de $4218,5 al final de primero y segundo años y ya no pagar las ultimas 12 mensualidades. Determine cuál es el mejor plan de pago: 36 mensualidades iguales o 24 mensualidades más dos anualidades de $4218,5 al final de los meses 12 y 24.
8. Un banco otorgó un préstamo por $11.000 a una tasa de interés anual del 8% y acordó que se le pagara en 10 cantidades iguales al final de cada año, dando inicio en el primero. Después de que se hubo pagado la quinta anualidad el banco ofrece, como alternativa, hacer un solo pago de $7.000 al finalizar el siguiente año, es decir ya no se harían los 5 pagos restantes sino una sola al final del sexto año. Determine que opción de pago le conviene aceptar al deudor para liquidar las ultimas cinco anualidades.
Ejercicios grupo 3
1. Se espera que una máquina incurra en costos de operación de $4.000, el primer año y que estos costos aumenten en $500 cada año posterior, durante los diez años de vida de la máquina. Si el dinero vale 15% para la empresa, ¿cuál es el valor equivalente anual de los costos de operación?
Rta/ $5691,59
2. Resuelva el problema anterior si la calendarización de los costos se invierte para que sea como el siguiente diagrama:
Rta/ $6808,402 3. En el problema anterior, suponga que el costo de operación del primer año es de $4.000 y que cada año posterior durante los 10 años de vida de la máquina los costos de operación aumentan en un 6%anual. Si el dinero vale 15% para la empresa, ¿cuál es el valor anual equivalente de los costos de operación? Rtal $4935,516 4. Suponga que usted ahorró durante 1999 $10.000 al final de cada mes, pero que este año esta ahorrando $20.000. ¿ Cuánto dinero acumulará el 31 de diciembre de 2000, sabiendo que el interés pagado es del 2% mensual sobre saldos? Rta/ $438.339,52
5. Se recibe prestado el dinero para pagar matrículas en la universidad. La tasa de interés semestral es del 15% sobre saldos semestrales. Las matrículas se incrementan $50.000 cada semestre.¿Cuál es la deuda al terminar una carrera de 10 semestres, sabiendo que la primera fue de $400.000?
Rta/ 13`289.696,74 6. Resuelva el ejercicio anterior si las cuotas se incrementan en un 10% cada semestre.
Rta/ $13`356.700,54 7. Una persona ahorra mensualmente una parte de su sueldo con el fin de obtener un fondo para casarse. Cree que las cuotas cada día deben ser más altas a medida que se acerca la boda. Hoy empezó ahorrando$2.000 y cada mes se incrementará la cuota en un 5%. Su matrimonio será dentro de cinco años. ¿ Cuál será el fondo acumulado, sabiendo que el interés mensual es del 3%? Rta/ $1.317.121,02 8. Resuelva el ejercicio anterior si las cuotas se incrementan $200 cada mes.
Rta/ $1.043.523,67 9. Se tiene un préstamo de $1000 a 5 años para pagarlo en 5 cuotas que se van incrementando el 20% anual. Si la tasa de interés anual es del 30%, ¿cuál es el valor de la primera y la última cuota? Rtal A1 = 303,19 A5 = 628,69
Ejercicios grupo 4
1. A usted le ofrecen un vehículo y lo puede pagar financiado o de contado.
En la financiación usted deposita el 30% del valor de contado como cuota inicial y el resto se paga en 30 cuotas de fin de mes correspondientes a una serie (aritmética) gradiente creciente; con un gradiente de $2.000 y un Interés del 2% efectivo mensual. Una vez pagada la cuota 15, usted decide pagar el saldo con el fin de quedar a paz y salvo. Este saldo encuentra que es de 1.455.334 ¿Cuáles el precio de contado del vehículo? R/ $3.073.124,30
2. Un banco presta dinero pagadero en 10 mensualidades Iguales al final de cada mes.
El cálculo de los pagos mensuales se hace de la siguiente forma: a la cantidad prestada (P) se le suma el 24% del préstamo y la cantidad resultante, dividida por 10, es el monto de cada cuota mensual.
¿Cuáles el interés efectivo mensual de este préstamo? ¿Cuál es el interés efectivo anual? R/ 62.2%
3. Un préstamo de $5.000.000 se va a pagar en 15 años a un Interés del 42.576% efectivo anual en las siguientes condiciones:
Una cuota uniforme al final de cada mes y además, con las primas semestrales, se conviene en hacer pagos de $100.000 al final de cada uno de los 30 semestres.
Halle la magnitud de la cuota de fin de mes.
R/ 135.277.35.
4. Si usted abre una cuenta de ahorros ahora depositando $200.000, qué tiempo le tomará agotar la cuenta si empieza a retirar dinero dentro de un año y medio, retirando $50.000 el primer mes, $45.000 el segundo mes, $40.000 el tercer mes, y así sucesivamente cantidades decrecientes en $5.000 por mes hasta que la cuenta se agote. Suponga que la cantidad depositada gana interés a una tasa nominal del 12% anual capitalizando mensualmente.
R/ 7
5. Un apartamento de $20.000.000 se lo ofrecen en las siguientes condiciones:
Plazo: 15años Cuota inicial: $8.000.000 y el resto se paga en las siguientes condiciones: 180 cuotas Iguales de fin de mes y además de las cuotas mensuales, se deben pagar cuotas semestrales en una serie gradiente porcentual decreciente. La primera de estas cuotas se causa siete semestres después del préstamo y es de una magnitud de $300.000. Las restantes disminuyen un 10% con respecto a la inmediatamente anterior.
Si la tasa de interés es del 42.576% efectivo anual, ¿Cuál es la magnitud de las cuotas mensuales? R/ $351.166.90
6. Un apartamento, que tiene un valor de $6.000.000 se puede adquirir financiado, en las siguientes condiciones:
Plazo: 15 años Tasa de Interés: 30% nominal anual con capitalización semestral Cuota inicial: $2.000.000 El saldo de $4'000.000 es pagaría de la siguiente forma: una serio de cuotas mensuales de fin de mes permaneciendo Iguales en un mismo año, pero aumentando de un año al siguiente en un 5%; además, cada fin de semestre se paga adicional a la cuota mensual una cuota extra de $150.000 Determine el esquema de pago.
R/ (Am)1 = 61.986.75 donde (Am)k = cuota mensual del año k Determinar el contenido de intereses y de amortización de la cuota del mes 135.
R/ i135 = 90.888.86; a135 = 15.129.52
7. Con los problemas de orden político que suscitan las alzas en los servicios públicos, el gobierno desea establecer las* tarifas por kWh para los próximos cuatro años. La política oficial es mantener Inmodificable el precio/kWh a los usuarios, una vez se eleve la tarifa, alza que va a ser a partir de hoy.
Actualmente la tarifa está en $36/kWh y para los años siguientes, el estudio da como resultado las siguientes tarifas ordinarias:
¿Cómo debe ser un Incrementado uniforme para esos cuatro años, si se utiliza una tasa de Interés del 15% efectivo anual? R/ incrementaría en $6.892
8. Simeón Torrente está presto a iniciar Ios estudios de una carrera de Ingeniería. El es pobre pero muy Inteligente y honrado. Dicho estudiante requiere financiar sus costos semestralmente de matrícula, los cuales para el primer semestre son de $10.000 y crecerán en una serie gradiente porcentual cada semestre con una tasa de crecimiento del 20%, y los costos mensuales de manutención que serán Iguales para todos los meses de un mismo año, pero disminuyendo de un año al siguiente en $500. El primer año los costos de manutención mensual serán de $8.000 (o sea que para el año 2 éstos serán de $7.500, año 3:$7.000, etc).Una Institución financiera le hará los préstamos haciendo los desembolsos para manutención al final de cada mes y para matricula al comienzo de cada semestre. El Interés que cobra dicha Institución es del 26.8418% efectivo anual durante el periodo de estudio y 4% efectivo mensual durante el período de pago de la deuda. Si el estudiante realiza la carrera en seis años y empieza a pagar la deuda en el primer mes de vida profesional, en una serie uniforme de fin de mes durante tres años. (Suponga que él termina la carrera en diciembre y empieza a pagar la deuda el 31 de enero).¿Cuál es la magnitud de los pagos a la Institución financiera? R/ 97.577.5 Suponga que cuando Simeón Torrente inició estudios, el ingeniero Armando Casas se estaba ganando $50.000 mensuales y este salario ha ido creciendo cada año en un 20%. Al doctor Simeón Torrente le ha ido muy bien en su profesión y está ganando lo mismo que Armando. ¿Qué porcentaje de su salario (tres años después de haberse graduado) estará dedicando el doctor Torrente al pago de la deuda? R/ 45.4%
9. $3'000.000, se prestan a una tasa del 6% efectiva semestral a un plazo de 15 años y con la condición de ser cubierto en cuotas mensuales iguales pero disminuyendo de un semestre al siguiente en la suma de $1.000 y, además en una serie uniforme de cuotas semestrales cuya magnitud constante es Igual a la cuota mensual uniforme correspondiente el primer semestre de pagos. Hallar el esquema de pagos.
R/ (Am)1 = 39.384,70 (Am)k = cuotas mensuales del semestre k k = 1,2. …. 30
10. Un préstamo se viene pagando en una serie gradiente creciente de fin de mes y, además una serie uniforme de fin de semestre. La primera cuota de la serie gradiente es de $15.000 y el gradiente es de $1.500. La serie uniforme semestral es de $30.000.
El préstamo es a un plazo de 180 meses y el interés es del 2.5% efectivo mensual.
Halle el monto del préstamo.
R/ 3.023.628,83 Calcule el contenido de amortización e intereses de la cuota del mes 164.
R/ i164 = 259.500 a164 = 0 Calcule el contenido de amortización e intereses de la cuota que se paga a finales del mes del 168.
R/ a168 = 156.524,46; i168 = 975,54
11. Un préstamo de $250.000 al 23.783% nominal anual capitalizado diariamente, es pagado en 15 cuotas mensuales Iguales al final de cada mes. Una vez pagada la décima cuota se recibe un segundo préstamo de $500.000 que se suma al saldo no pagado del primer préstamo. Entre el prestamista y el prestatario se acuerda Intereses del 26.2477% efectivo anual sobre el total de la deuda (saldo no pagado del primer préstamo más los $500.000 del segundo). Además se acuerda no hacer pago alguno durante ocho meses (o esa, período de gracia ocho meses para la nueva deuda) y entonces pagar en cinco cuotas trimestrales correspondientes a una serie gradiente porcentual, con tasa de crecimiento del 10%, ésta nueva deuda.
Se pregunta:
¿Cuál es la magnitud de cada una de las primeras 15 cuotas mensuales? R/ 19.417,60 ¿Cuál es la magnitud de cada una de las cinco cuotas trimestrales correspondientes a la serie gradiente? A1 = 128.193.50 ¿Cuál es el total de Intereses pagados en los dos préstamos? R/ 228.652,40
12. La empresa NFJ, acaba de jubilar a uno de sus antiguos funcionarios. Por concepto de pensión de jubilación debe pagarle $250.000 mensuales durante seis años (72 meses) ya que el final de tal período se espera que éste fallezca. El gerente financiero de la empresa en cuestión desea saber qué apropiación debe hacer ahora para cubrir estos pagos futuros, a una tasa de interés nominal del 24%, calculado mensualmente.
¿Qué cantidad debe depositar en el fondo Inicialmente? R/ 9.496.015,80 Un año más tarde, la tasa de interés es rebajada al 18%.
¿Cuánto se debe agregar al fondo para cumplir el cometido Inicial? R/ 1.154.845,55 Otro año después, la pensión es aumentada a $350.000. ¿Cuánto debe agregarse ahora al fondo? R/ 3.404.255,37 Finalmente, si tanto la rebaja en la tasa de interés, como el aumento en la pensión hubiesen sido conocidos en el aumento de la constitución del fondo, ¿cuál sería el monto de éste? R/ 12.651.660,82
13. Una empresa dispone de un fondo de préstamos para sus empleados. El reglamento de este fondo establece lo siguiente:
a. Los créditos serán a 12 meses con pagos uniformes el final de cada mes (cuando hay pago).
b. En los meses 3, 6, 9 y 12, no se hace pago.
c. Los costos financieros del préstamo son los que resulten de una corrección monetaria del 28% y una tasa de interés del 5% con capitalización continua.
Si a un empleado de la empresa le hacen un préstamo de $500.000:
¿Cuál será el esquema de pago? ¿Cuál será el contenido de intereses y amortización de la cuota que paga al final del mes ocho? 14. Se hace un préstamo de $1.000.000 para pagarlo en cinco cuotas mensuales de fin de mes y a un interés del 2.8% mensual. La forma de pago corresponde a una serie gradiente creciente en la cual cada cuota es igual a la anterior más un 15% de la primera cuota.
a. Determine el esquema de pago R/A1 = 168.077,83 b. Contenido de interés y amortización de la tercera cuota. R/ i3 = 19.339,89 a3 = 199.161,29 c. El total de intereses pagados R/ 92.505,88 d. Elabore el cuadro de amortización respectivo.
15. P0 pesos se pagan a una im = 3% en 180 cuotas mensuales gradientes porcentual crecientes. Se sabe que las primeras 18 cuotas podrían reemplazarse por 18 cuotas mensuales de $57.580,81 c/u.
De no pagarse las últimas 18 cuotas, tendría que pagarse, en el punto 180, un valor equivalente a ellas de $118.207.758,6.
Determine:
a. El esquema de pagos
b. Saldo máximo
c. Contenidos de amortización e intereses de la primera cuota que amortiza.
d. Total interés, desde cero hasta ene.
Respuestas:
a. ig = 2.8% A1 = 46.069,02 A180 = 6.459.166,24 P0 = 6'800.000 b. PM = P145 = 83'056.797,54 c. a179 = 528.964,82 i179 = 5.754.270,82 d. i = 228'698.352,63 16. P0 pesos se prestan a una im 2.93%, para ser pagados en 180 cuotas mensuales gradientes crecientes.
Se sabe que:
A1 = $14.000 i173 = $605.051,16 (contenido Intereses cuota 173) i173 = $244.950,94 (intereses generados fin mes 173) Sólo amortizan las últimas ocho cuotas.
Determine:
a. Esquema de pagos
b. Saldo máximo
c. Contenidos de amortización e intereses de la primera cuota que amortiza.
d. Total intereses, desde cero hasta n.
Respuestas:
P0 = $8.000.000 g = $6.692,02
b. PM = $26'988.778,38
c. a173 = $559.975,98 i175 = $605.051,16
d. $102'328.413,51 17. $3'000.000, a una im = 2%, se pagan así:
– Dentro de 20 meses se pagan 3/8 de intereses acumulados hasta 20.
– Dentro de 50 meses se amortizan 3/5 del capital. – En los meses 68, 71, 74 y 77 se pagan cuotas de magnitudes iguales.
Determine:
a. El esquema de pagos.
b. i0 n Respuestas:
a. A20 = 546.690,82
A50 = 5.884.509,34
AT = 467.377,31
b. i0 n = 5.300.709,41
18- P0 pesos, a una im = 2,5%, se pagan en 180 cuotas mensuales gradientes decrecientes. Se sabe que las cuotas A51, A52, A53,… A98 se pagan entre todas $4'685.961,51 Esas 48 cuotas podrían ser reemplazadas por cuatro cuotas anuales de $1.353.169,22 cada una.
Determine:
a. El esquema de pagos b. Ta 50 – 98 i50 98 c. a100 ; i100
d. i0 
180 Respuestas a. g = $100; A1 = $104.974,2; P0 = $4'000.000 b. Ta 5098 = $496.236,49 i50 98 = $4189.725,02 c. a100 = $15.228,2; i100 = $79.846
d.i0 
180 = $13.284.355,66
Ejercicios grupo 5
Ejercicios sencillos
23. Se colocan en depósito 1.000 pesos al 3% de interés mensual sobre saldos. ¿Qué cantidad está disponible al cabo de 52 meses? R/4650,88 pesos
24. Se hace un ahorro hoy para disponer de 500.000 pesos dentro de 10 años. La entidad reconoce un interés del 2.5% mensual (con capitalización mensual). ¿Cuál es la magnitud del ahorro hoy? R/25.828,91 pesos.
25. Se le prestan a un empleado 200.000 pesos para pagarlos en dos años, a una tasa de interés del 3% trimestral. El préstamo se pagará en cuotas iguales de fin de trimestre. ¿Cuál es la magnitud de la cuota trimestral? R/28.492 pesos.
26. Una persona que gana 100.000 pesos mensuales hoy, ahorra el 10% de su sueldo durante todo el año con el objetivo de hacer un viaje a Cartagena. La entidad financiera le reconoce un 3% de interés mensual sobre saldos. ¿Con cuánto dinero parte par la Heroica? R/141.920 pesos.
27. Una persona ahorra mensualmente una parte de su sueldo con el fin de obtener un fondo para casarse. Cree que las cuotas deben ser cada día más altas a medida que se acerca la boda. Hoy empezó ahorrando 2.000 pesos y cada mes incrementará la cuota en un 5%. Su matrimonio será dentro de 5 años. ¿Cuál será el fondo acumulado, sabiendo que el interés mensual es del 3%? R/1.317.121
Ejercicios sencillos
28. Desde el 1 de enero de 1990, usted se propone ahorrar 50.000 pesos durante los 12 meses del año. El interés recibido es del 3% mensual compuesto. ¿Cuál es el fondo acumulado a 31 de diciembre de 1990? R/730.888 pesos
29. Suponga que usted ahorra 10.000 pesos al final de cada mes del año 90, pero en el año 91 el ahorro mensual es del doble. ¿Cuánto dinero acumulará el 31 de diciembre de 1991, sabiendo que el interés pagado es del 2% mensual sobre saldos? R/438.339,85
30. Se está pagando un préstamo en 60 cuotas iguales de 20.000 pesos. El interés cobrado es del 3% mensual sobre saldos. El prestatario solicita el saldo o deuda una vez paga la cuota 38. ¿Cuál es el saldo? R/318.738 pesos.
31. Se hacen 50 depósitos iguales de 100.000 pesos al final del mes. Con ello se quiere hacer retiros en forma de progresión aritmética de forma que el primer retiro se haga al final del mes 51, aumentando en 30.000 pesos cada retiro, todo ésto durante 36 meses. ¿Cuál es el valor del retiro del 51, sabiendo que el interés es del 3% mensual sobre saldos y el saldo final es cero? R/85.546.40
Ejercicios con alta dificultad 34. Suponga que cierta entidad le presta a usted como estudiante en Caracas, al principio de cada semestre la matrícula que para el primer semestre es de 10.000 bolívares. La matrícula se incrementará 1.500 cada semestre. También le presta para sostenimiento al principio de cada semestre 30.000 bolívares. Si la tasa de interés es del 12% semestral y suponemos su carrera de 10 semestres, ¿cuál es la deuda en el momento del grado (final del décimo semestre)? R.891.787,21 bolívares.
35. Un préstamo se paga en 5 años, en cuotas mensuales de 8.000 pesos más cuotas adicionales anuales de 50.000 pesos (aprovechando la prima de navidad). La tasa de interés es del 3% mensual compuesto. ¿Cuál es la magnitud del préstamo? R/318.908,69 pesos.
36. Unos padres ahorran al final de cada año 500.000 pesos, para tener dentro de 15 años 60 millones, par la educación de su hijo. ¿Cuál es la tasa de interés que sale reconociendo la entidad donde ahorra? R/26.0647% anual.
37. Suponga que usted ganó una lotería el 1 de noviembre de 1988, por valor de 40 millones de pesos. Este dinero fue colocado en una corporación que le reconoce el 2.6% mensual sobre saldos. El 1 de julio de 1989 se empezará a hacer 22 retiros iguales mensuales consecutivos por valor de 500.000 cada uno. Un año después del último retiro, usted cancela la cuenta. ¿Cuánto le entrega la corporación en dicho momento? R/94.719.614,10 pesos.
38. Se ha entregado un préstamo por valor de 318.908 pesos para pagarlo en 60 cuotas mensuales iguales de fin de mes. Adicionalmente se pagarán cuotas al final de cada año por valor de 50.000 pesos. ¿Cuál es la magnitud de la cuota mensual si la tasa de interés es del 3.0%? R/8.000 pesos Ejercicios dificiles 39. Se hace un préstamo por valor de 1 millón de pesos, con plazo de 45 meses y al 2% de interés efectivo mensual.
El préstamo se pagará en cuotas mensuales que se van incrementando $1.500 mensuales, es decir, como una progresión aritmética. Sin embargo, en forma adicional, se pagarán cuotas semestrales de $10.000 a. ¿Cuál es la magnitud de la primera y última cuota? b. ¿Cuál es la deuda inmediata después de haber pagado la cuota del mes 31? 40. Suponga que usted recibe un préstamo de $1.000.000 al 2% efectivo mensual con capitalización mensual de intereses. El préstamo se pagará en un plazo de 5 años así: En los primeros 36 meses se pagarán cuotas iguales de fin de mes. Luego se pagarán 24 cuotas mensuales de 50.000 pesos.
a. Elabore el esquema gráfico de datos e incógnitas.
b. ¿Cuál es el valor de la primera cuota? c. ¿Cuál es la deuda luego de pagar la cuota del mes 30? 41. Un millón de pesos se prestan con un plazo de 10 años a una tasa de interés del 6% trimestral, pagaderos en cuotas de fin de trimestre de magnitud creciente según el gradiente aritmético, de tal forma que fijada la primera cuota, el valor de cada una de las restantes se hace igual a la anterior más $5.000 El prestatario luego de cobrar las cuotas correspondientes a la primera mitad de plazo, desesperado por la lentitud del pago, decidió reforzar las cuotas restantes con pagos uniformes de fin de trimestre, reduciendo de esta manera el tiempo de pago inicialmente estipulado en dos años.
Diseñe el esquema completo de pagos (magnitud de las cuotas).
42. Se hace un préstamo de $1.000.000 con un plazo de 15 años. La tasa de interés efectiva mensual es del 2.5%. El préstamo se pagará en una serie o progresión aritmética donde el gradiente (mensual) será $500.
a. ¿Cuál es el valor de la primera y última cuota? b. ¿Cuál es la amortización (del principal), contenida en la cuota 30? 43. Ante la jubilación de un trabajador, la empresa quiere hacer un fondo que depositará hoy en una entidad que le reconoce el 2.3% efectivo mensual.
El fondo estará en capacidad de cubrir exacta y totalmente 36 pensiones de $50.000 (fin de mes) y luego 72 pensiones de $70.000 (fin de mes), al final de estas pensiones el trabajador murió y el fondo quedó en cero.
¿Cuál es la magnitud del depósito hecho por la empresa hoy? 44. Supongamos que en 1988, desde enero, empezó a hacer depósitos mensuales (de fin de mes) en una corporación que le reconoce el 2.2% efectivo mensual. Usted hizo en enero un depósito de $1.000 y lo incrementará un 5% mensual (como una progresión geométrica).
Se requiere saber el fondo de capitalización que usted tendrá después de 60 meses.
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
"ANTONIO JOSÉ DE SUCRE"
VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL CÁTEDRA: INGENIERÍA ECONÓMICA
Profesor:
Ing. Andrés Eloy Blanco
Integrantes:
Briceño, Francisco Delgado, Erika López, Roberto
Puerto Ordaz, Julio de 2006
Autor:
Iván José Turmero Astros