Ecuación de Schrodinger

1. Reseña Histórica
2. Propiedades de la función de onda
3. Solución unidimensional para e uniforme y constante
4. El pozo infinito o caja de potencial
5. El átomo de hidrógeno
6. Modelo para semiconductores
7. Normalización de los vectores, versores
8. Cálculo del laplaciano de un escalar en cordenadas curvilineas
9. Coordenadas esféricas
10. Bibliografía

Introducción

Esta es una monografía que preparamos mientras asistíamos a un curso de Física III.

Como nos valió la aprobación del profesor y siendo además conscientes, del esfuerzo

que tuvimos que hacer para reunir el material, es que la ponemos a disposición de la

comunidad.

Reseña Histórica

La ecuación de Schrodinger no se descubrió súbitamente, la maduración de la mecánica cuántica, ocupo un periodo que se extendería desde 1900 con las hipótesis de Planck, hasta 1926 cuando se la postulo.

Ya Planck, al tratar de explicar la radiación del cuerpo negro, había propuesto como solución la hipótesis de la cuantificación de la energía electromagnética.

El efecto Compton y el efecto fotoeléctrico, sugerían además, un comportamiento corpuscular de las ondas electromagnéticas.

En 1923, De Broglie postulo que, así como las ondas electromagnéticas se manifiestan en ciertos experimentos como partículas, entonces por simetría, las partículas deberían en ciertas condiciones, presentar comportamiento ondulatorio.

Intuyendo algo, que después se llamo: dualidad onda-partícula.

Además, el modelo atómico de Bhor, sugería que el electrón tenia estados estacionarios en el átomo.

¿No serian estos estados estacionarios, en realidad, ondas estacionarias?

Debe quedar claro que, cuando De Broglie presento esta hipótesis, el fenómeno solo se había observado en fotones.

Sean:

C la velocidad de la luz.

f la frecuencia de la onda.

h la constante de Planck.

m la masa de la partícula.

p la cantidad de movimiento de la partícula.

Entonces, partiendo del fotón, tendríamos:

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Donde, si observamos que el denominador, es la cantidad de movimiento del fotón,

podemos generalizar a corpúsculos de cualquier velocidad:

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Este es el postulado de De Broglie.

¿Que significan las ondas de De Broglie?

La función de onda de una partícula, esta relacionada con la posibilidad de encontrarla en una determinada región del espacio.

Mas concretamente, la densidad de la probabilidad, de encontrar a la partícula en una región determinada, posee distribuciones típicas de procesos ondulatorios.

Al descubrirse el comportamiento ondulatorio de las partículas atómicas, también se descubrió que no les era aplicable el formalismo de la mecánica clásica.

En 1926, Erwin Schrodinger postulo una ecuación, que vinculaba la función de onda con las variables dinámicas de las partículas.

Así se fundo una nueva mecánica, la de las partículas atómicas, que se llamo mecánica cuántica.

El termino cuántico viene al caso, porque generalmente, la ecuación de Schrodinger solo tiene solución

para determinados niveles de energía. Es decir, la cuantificación de la energía, aparece como algo natural

en la mecánica cuántica.

PROPIEDADES DE LA FUNCION DE ONDA

1) Existe una relación simple, entre la función densidad de probabilidad y la función de onda:

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Una característica de  es, que en general, se trata de una función compleja.

Pero, como la densidad de probabilidad debe ser real, se toma como cuadrado de , el producto de la

misma por su conjugada:

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2) La función debe ser normalizada, es decir, la integral de la densidad de probabilidad extendida al todo el espacio debe valer 1.