PRÁCTICA 3: MODELADO DE SISTEMAS FÍSICOS.
Las dinámicas de muchos sistemas, sean mecánicos, eléctricos, térmicos, económicos, biológicos, etc., se pueden describir en términos de ecuaciones diferenciales que se obtienen utilizando las leyes físicas que rigen ese sistema en particular. La respuesta de un sistema dinámico a una entrada puede obtenerse si se resuelven las ecuaciones diferenciales que modelan dicho sistema, para ello, en la presente práctica se utiliza la herramienta Matemática Simbólica.
MATLAB permite trabajar en un modo llamado "Matemática Simbólica" en el cual las variables no contienen resultados numéricos sino simbólicos, es decir los resultados se presentan en forma de letras, las ecuaciones algebraicas se pueden resolver dejando variables indeterminadas.
Modelar matemáticamente y simular por medio del computador y de la herramienta Matemática Simbólica de MATLAB los diferentes sistemas físicos.
Al finalizar la práctica, el estudiante deberá estar en capacidad de:
- Obtener el modelo y la función de transferencia de diferentes sistema físicos: mecánicos, eléctricos, hidráulicos, etc.
- Notar que un modelo matemático no es único para un sistema dado y depende de perspectivas individuales.
- Hallar por medio de la simulación la respuesta en el tiempo de estos sistemas y así poder analizar su estabilidad.
- Simplificar y efectuar operaciones complejas utilizando como ayuda la herramienta Matemática Simbólica.
Utilizando matemática simbólica, realice la gráfica de la ecuación de y en función de t y compruebe si la ecuación es solución para dicha ecuación diferencial.
- A partir de la ecuación diferencial:
- Dada la ecuación diferencial:
Repita el punto anterior utilizando la ecuación:
3. Obtenga la función de transferencia de los sistemas que aparecen en las siguientes figuras. Demuestre que las funciones de transferencia de los dos sistemas tienen una forma idéntica y por lo tanto son sistemas análogos.
4. Halle la respuesta en el tiempo para una entrada escalón, exprese si el sistema es estable o inestable analizando la gráfica de salida.
Análisis de los sistemas propuestos por la práctica
Sistema Eléctrico.
Sistema mecánico.
Programa realizado para obtener los resultados:
%PRÁCTICA No. 3
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syms t y1 e a1 b y2 a2 s c1 c2 r1 r2 hes het hms hmt hen hmn
%EJERCICIO 4.1
y1=3*t-5*exp(-t)+16*exp(-t/2)-9;
a1=3*t-5*e^(-t)+16*e^(-t/2)-9;
pretty(a1)
figure
ezplot(y1,[-6,9]), grid, pause;
b1=simplify(2*diff(y1,2)+3*diff(y1)+y1);
pretty(b1)
disp('la ecuación si es solución para dicha ecuación diferencial'), pause;
%EJERCICIO 4.2
y2=6*exp((-5)*t)-30*t^2+6;
a2=6*e^((-5)*t)-30*t^2+6;
pretty(a2)
figure
ezplot(y2), grid, pause;
b2=simplify(diff(y2,3)+5*diff(y2,2)+10*y2);
pretty(b2)
disp('la ecuación no es solución para dicha ecuación diferencial'), pause;
%EJERCICIO 4.3
%sistema Eléctrico
hesn=simplify(s^2*(0.1034)+s*(0.69)+1);
hesd=simplify(s^2*(0.1034)+s*(0.79)+1);
hes=hesn/hesd;
pretty(hes)
disp('Función de transferencia del sistema eléctrico'), pause;
het=tf([0.1034 0.69 1],[0.1034 0.79 1]);
hen=step(het,[0:0.1:5]);
figure
plot([0:0.1:5],hen), grid
disp('El sistema es estable'), pause;
%sistema mecánico
hmsn=simplify(s^2*0.047+s*0.31385+0.455);
hmsd=simplify(s^2*0.037+s*0.31385+0.455);
hms=hmsn/hmsd;
pretty(hms)
disp('Función de transferencia del sistema mecánico'), pause;
hmt=tf([0.047 0.31385 0.455],[0.037 0.31385 0.455]);
hmn=step(hmt,[0:0.1:5]);
figure
plot([0:0.1:5],hmn), grid
disp('El sistema es estable')
Resultados obtenidos:
1.
2.
Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior
3.
4.
Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior
Respuesta al escalón del sistema eléctrico (Sistema estable).
Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior
Respuesta al escalón del sistema mecánico (Sistema estable).
Con el desarrollo de esta práctica se pudieron afianzar los conocimientos matemáticos útiles para el análisis y solución de sistemas físicos (mecánicos, eléctricos, hidráulicos, etc.) mediante modelamientos matemáticos.
Con ayuda de la herramienta Matlab Pudimos simular la respuesta en el tiempo de los sistemas físicos propuestos en la práctica y así entendimos con ayuda de esta simulación cuando un sistema es estable o inestable.
Al desarrollar esta práctica nos dimos cuenta de que un modelo matemático de un sistema físico puede cambiar dependiendo de la perspectiva de sus mismas variables.
Se pudo comprender en general que en Matlab con ayuda de la matemática simbólica se nos facilitan muchos cálculos matemáticos que cuando los realizamos sin una herramienta software de alta capacidad nos complican el desarrollo de los problemas, se nos hacen complejos por las cantidades de variables que se deben de tener en cuenta cuando realizamos el análisis respectivo de este problema. La matemática simbólica de Matlab es muy importante para el cálculo en general.
MAURO BAQUERO
RIGOBERTO HERNANDO OLARTE
ING Mecatronico. BUCARAMANGA – SANTANDER – COLOMBIA
2005