SubProcesos estocásticos 1
Proceso estocástico: definicion Un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias que toma valores indexados por un parámetro t. 2
Ejemplo de Proceso Aleatorio Sean A y ? variables aleatorias independientes Los resultados w pertenecen al espacio de muestreo; mientras que t es modelado como un número real, normalmente no negativo 3
Ejemplo de Proceso Aleatorio Una realización del proceso Un resultado 4
Ejemplo de Proceso Aleatorio Un Proceso Discreto: Muestreo con Reemplazo
Un jugador de cartas revuelve una baraja y luego escoge una carta al azar.
El jugador ingresa el valor de la carta (1 para un as y de 13 para un rey) en un vector columna. Luego reemplaza la carta y repite el proceso una y otra vez. Después de 10 experimentos como este, empieza uno nuevo con un nuevo vector columna.
Cada columna representa una nueva trayectoria muestra 5
Funciones de Distribución de un proceso estocastico Para conocer un proceso estocástico se necesitaría saber la función de distribución de probabilidades en todo instante condicionada a los tiempos anteriores y posteriores. Esto en la práctica es imposible de obtener 6
Función distribución de primer orden Definimos la función de distribución y de densidad de primer orden como: Corresponde a la distribución de la variable en un tiempo dado 7
Función distribución de segundo orden Definimos la función de distribución y de densidad de segundo orden como:
Relaciona la variable aleatoria en dos tiempos 8
Valor Esperado El valor esperado de la función x(t) depende del tiempo donde p(x,t) es la función de densidad de primer-orden 9
Estimacion del valor esperado El valor esperado puede ser obtenido del conjunto de muestras haciendo un corte a través del conjunto en un cierto momento 10
Varianza La varianza de la función x(t) se define como: 11
Estimacion de la varianza La varianza puede ser obtenida del conjunto de muestras haciendo un corte a través del conjunto en un cierto momento 12
Función de Autocorrelación La función de autocorrelación de la función x(t) se define como:
donde es la función de densidad de segundo-orden 13
Estimacion de la función de autocorrelación La función de autocorrelación puede ser obtenida del conjunto de muestras dónde t es una separacion en el tiempo 14
Función de autocorrelación: ejemplo Funciones de autocorrelación para realizaciones de dos procesos 15 Cuando la correlación no cambia notablemente, se dice que los procesos están altamente correlacionados.
Correlación cruzada La correlación cruzada de dos procesos x(t) y y(t) se define como:
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La matriz de correlación Las propiedades de correlación de los dos procesos x(t) y y(t) se pueden representar entonces en forma matricial, definiendo la matriz de correlación como:
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Ejemplo de aplicación de la correlacion cruzada 18
SubProcesos Estacionarios 19
Procesos Estacionarios La mayor parte de los fenómenos que dan lugar a procesos aleatorios mantienen sus propiedades estadísticas constantes con el tiempo,
Se dice entonces que son estacionarios. 20
Procesos Estacionarios Un proceso aleatorio x(t) se dice estrictamente estacionario
si la distribución conjunta de cualquier conjunto de variables aleatorias obtenidas observando el proceso aleatorio x(t)
es invariante con respecto a la ubicación del origen t = 0. 21
Procesos estrictamente estacionarios
La definición de estacionariedad Estricta implica que
todas las propiedades estadísticas son invariantes y,
están relacionadas con la invarianza en el tiempo de las funciones de densidad de Probabilidad.
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Orden del proceso estacionario Si
(no depende del tiempo) se dira que el proceso es estacionario de orden uno, y Si
se dira que es estacionario de orden dos,
…. y asi sucesivamente. 23
Proceso estacionario debil El proceso estacionario de orden dos es llamado estacionario debil o estacionario en sentido amplio.
Si el proceso es estacionario debil, se verifica entonces:
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proceso de ruido blanco Un proceso estocástico estacionario (debil) x es denominado un proceso de ruido blanco
x es una secuencia de variables aleatorias idénticamente distribuidas, independientes con media cero. 25 si media cero independientes
ruido blanco uniforme y gaussiano Si se impone la condición de que las variables del proceso tienen una distribución, entonces,
Si la distribución es uniforme, el proceso se denomina ruido blanco uniforme.
Si la distribución es normal, el proceso se denomina ruido blanco gaussiano.
rand randn 26
SubProcesos ergodicos 27
proceso estacionario ergódico Se dice que un proceso estacionario es ergódico cuando las funciones que entrañan valores esperados a lo largo de realizaciones pueden obtenerse también a partir de una sola realización.
En otras palabras, sea i la muestra i-esima, 28
proceso estacionario ergódico Si se dispone de una realización que dura 2NT seg., la ergodicidad del proceso conlleva que es posible considerar que se disponen de dos realizaciones de duración NT segundos, 29
SubFunción de densidad espectral de Potencia 30
Relación de Wiener-Khinchine Para un proceso estacionario, hay una relación temporal espectral conocida como la relación de Wiener-Khinchine La función es llamada densidad espectral de potencia 31 (Gp:) y son pares transformados de Fourier
Relación de Wiener-Khinchine Cuando la correlación no varía sensiblemente, indica que la señal en promedio en el dominio del tiempo no cambia mucho,
es decir, se tienen componentes de baja frecuencia.
Si la correlación cambia significativamente, esto indica que la señal en el tiempo, en promedio, cambia notablemente,
es decir, se tienen componentes de alta frecuencia. 32
Densidad espectral de potencia Consecuencia de la de?nicion 33 (Gp:) Transformada inversa de evaluada en cero
Función de densidad espectral cruzada La función de densidad espectral cruzada se define
Consecuencia de la de?nicion 34
SubProcesos estocásticos de tiempo discreto 35
Muestreo de procesos estocásticos Considere un proceso estocástico estacionario de tiempo continuo x(t), t ? R,
que va a ser muestreado con una frecuencia radial de muestreo . Como resultado, se obtiene x(kTs) k ?Z. ¿Qué se puede decir del proceso muestreado? 36
reconstrucción de procesos estocásticos Sea la densidad espectral de potencia de x(t) dada por Fx(?). Si
Fx(?) = 0 para |?| > ?s/2
Entonces el proceso reconstruido xr satisface:
E[x(t) – xr(t)]2 = 0. 37
Funcion de correlacion Bajo las condiciones de frecuencia del espectro acotada La función de correlación es simplemente una versión muestreada de la de tiempo continuo 38
Densidad espectral de potencia La densidad espectral de potencia de xd está definida por la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) 39
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