Modelo de demanda de dinero bajo el enfoque de inventarios de Baumol-Tobin

Este modelo fue desarrollado con los aportes de William J. Baumol1 (1952) y James Tobin2 (1956). En este modelo el dinero, que se mantiene para futuras transacciones, se considera como un inventario del cual el agente representativo dispone de manera gradual. Sin embargo, el dinero que no es usado genera costos, los que un agente racional debe reducir lo mas posible. De esta manera se considera al agente representativo como un agente racional que busca minimizar costos. Baumol y Tobin partieron de la hipotesis de que cada familia mantenia parte de su riqueza como existencias de dinero, mientras que la otra parte podrian tenerlos en activos financieros que rindan intereses, como por ejemplo, los bonos. Cada familia tiene parte de su riqueza en dinero disponible para realizar sus compras programadas o imprevistas. Si gran parte de su riqueza en dinero los tienen disponible a la mano podran realizar transacciones con mucha facilidad ya que el dinero goza de gran liquidez y, ademas, no tendran que perder tiempo visitando repetidas veces al banco a retirar dinero. Sin embargo, el dinero no genera intereses por lo que se estaria perdiendo rendimientos que si generan los bonos, acciones y ahorros en una entidad bancaria. Asi, cuanta mayor porcion de la riqueza de cada familia se encuentre, por ejemplo, en bonos, mayor sera los intereses ganados. Por lo tanto, cada familia entra en un trade-off ya que por un lado pierden intereses al tener una fraccion de sus riquezas en dinero y, por otro lado, las familias reducen sus costos de transaccion que provienen de tener que convertir sus bonos en dinero cada vez que quieran realizar compras de bienes o servicios3(Sachs y Larrain, 2002). 2. Los costos Para desarrollar el modelo se considera algunos supuestos. Una familia recibe ingresos mensuales nominales y constantes cada inicio de mes igual a q depositados en una cuenta de ahorros por el que recibe intereses4. Ademas, tambien se supone que la familia consume todo su ingreso hasta fin de mes, es decir, al inicio del mes recibe q y a fin del mes terminara de consumir el valor de q. Sin embargo, la familia, al recibir q,no retirara de golpe todo su dinero, sino, lo hara por partes iguales mientras que las otras partes ganan intereses. Por otro lado, si la proporcion del gasto en consumo se mantiene constante en el tiempo, siempre que retire parte de sus ahorros ostos seran constantes e igual a M . Asi, esta familia tendra que ir al banco de forma periodica a retirar parte de su ingreso del mes en un monto fijo y equivalente a M . Por lo tanto, el saldo 1 New York (1922). Es Profesor emerito de Princeton University y del C.V. Starr Center for Applied Economics de New York University. 2 Champaign (1919). Premio Nobel de Economia. Fue miembro del Consejo de Asesores Economicos de la Presidencia de los Estados Unidos y de la Junta de gobierno del Sistema de Reserva Federal. 3 Estos costos serian: gastos de movilizacion al banco, costo de oportunidad del tiempo entre otros. 4 Para efectos de facilitar el entendimiento del modelo se esta suponiendo que la familia tiene un flujo de ingresos mensuales, por ejemplo, el depositado por su empleador en una cuenta sueldo o de ahorro. La familia mantiene su dinero solo en efectivo o en una cuenta de ahorro.

promedio requerido durante el mes sera igual a M . En la figura 1.a, al inicio de cada mes, la familia recibe un ingreso nominal igual al q y en el transcurso del mes va retirando, de forma periodica, una parte de su ingreso igual a M de manera constante. Suponiendo que la familia retira tres veces y a fin del mes ya no le queda nada de lo que fue su ingreso q, entonces M + M + M = q. Sin embargo, por la parte de su ingreso que se mantiene en forma de ahorro en el banco, la familia recibe una tasa de interes constante i. Figura 1: Analisis del ingreso nominal En la figura 2.b, se observa que a inicio del mes, la familia retira la primera porcion M para que los gaste de manera gradual durante el primer tercio del mes. Una vez agotado, vuelve a ir al banco a retirar un tercio adicional. El ciclo continua hasta que al fin de mes ya no le queda nada de su ingreso. Ademas, dado que consume de manera gradual, el saldo promedio requerido durante el mes para sus gastos es de M . Esta cifra no varia, incluso cuando la familia desea retirar su dinero muchisimas veces en un monto constante, el saldo promedio requerido siempre sera M como se observa en la figura 2.b5. Ahora, se requiere determinar el valor de M tal que minimice los costos totales CT que es la suma de los costos de transacciones CT por tener que ir al banco y hacer efectivo el retiro de dinero y los costos de oportunidad Ci en el que incurre la familia por tener dinero en la mano y no en el banco ganando intereses. A continuacion se definen estos dos tipos de costos. 5 Suponiendo que la familia recibe S/. 30 y gasta S/. 1 por dia . A inicio del retiro (t) tendra S/. 30, en el siguiente dia (t+1) tendra S/. 29 ya que gasto S/. 1. De esta manera, casi al final del mes tendra S/. 1 y, finalmente, S/. 0. Ahora el promedio es (30+29+28+…+1+0)/31. Esto es igual a S/. 15 que es la mitad de S/. 30.

Si la familia siempre retira un monto de dinero M y tiene un ingreso total de q, el numero de visitas, logicamente, sera el cociente, es decir q . Ahora, considerando el supuesto adicional de la existencia de un costo fijo B en el que se incurre por cada unidad de transaccion, el costo total de retirar dinero o el costo de transacciones sera: CT = B q M (1) Note que B es un precio constante, es decir, se esta suponiendo que a la familia siempre le cuesta B u.m todo un proceso de ir y retirar dinero del banco. Esta ecuacion muestra una relacion negativa entre el taman~o del monto de dinero a retirar y el costo de transaccion. Es decir, a medida que se incrementa el monto de dinero que la familia debe sacar del banco en cada retiro se reducira el costo de transaccion. 2.2. Costos de oportunidad El otro costo en el que la familia debe incurrir son los costos de oportunidad del dinero mantenido en efectivo Ci . Este costo es recogido por los intereses que la familia deja de percibir por tener el dinero en sus manos y no en el banco. Asi la cantidad de dinero promedio mantenido por la familia durante el mes M debe multiplicarse por un precio que es la tasa de interes nominal. Ci = i M 2 (2) Esta ecuacion muestra una relacion positiva entre en taman~o del monto de dinero a retirar y el costo de oportunidad. Es decir, a medida que se incrementa el monto de dinero que la familia debe sacar del banco en cada retiro tambien se incrementara los costos de oportunidad. 2.3. Optimizacion de costos totales Finalmente, el costo nominal total de mantener dinero en efectivo es la suma de ambos costos: CT = CT + Ci (3) Reemplazando las ecuaciones 1 y 2 en 3: CT = B q M M + i 2 (4) La ecuacion nos indica que si la familia incrementa el retiro del monto de dinero M y, por lo tanto, realiza menos visitas al banco (pocas transacciones durante el mes), entonces sus costos de transaccion disminuiran CT , sin embargo, la misma ecuacion nos indica que sus costos de oportunidad se incrementaran. Entonces, ¿que debe hacer la familia? Normalmente, la familia optimizara sus costos, en este caso, buscara el monto adecuado que debe retirar tal que sus costos totales sean lo menos posible.

Estos costos se pueden representar en la figura 2. Figura 2: Monto de retiro optimo Costos nominales A CT * CT (B, q, i) = Ci + Ct Ci (i) i / 2 M * CT (B, q) M Monto de retiro En el eje de la ordenada se encuentran el costo total, el costo de transacciones y el costo de oportunidad del dinero. En el eje de la abscisa se encuentra la cantidad de dinero que la familia retira en cada visita al banco. Cuando los costos de transacciones son mayores a los costos de oportunidad del dinero, la curva de costos totales tiene una pendiente negativa por lo que, a medida que la familia incrementa la cantidad de dinero que retirara, los costos totales disminuyen. Sin embargo, en el punto A de la curva de los costos totales, se registra el costo minimo CT en el que la familia podria incurrir si es que eligiera retirar una cantidad de dinero M . Por otro lado, cuando los costos de oportunidad son mayores a los costos de transaccion, el costo total empieza a incrementarse por cada monto de dinero M mayor que el anterior. Aplicando derivadas parciales a la ecuacion 4 se obtendra el monto de dinero optimo que debe retirar la familia tal que sus costos sean lo menos posible6. aCT aM aCT aM q B M 2 = 0 = -B q M 2 i = 2 i + = 0 2 Finalmente se obtiene el monto de dinero optimo que debe retirar la familia 6 Este es posible debido a que la funcion de costo total tiene la forma de U y, por lo tanto, registra un solo punto minimo.

cada vez que vaya al banco: M = 2Bq i (5) Ademas, note que la cantidad optima de retiros durante el mes que la familia debe efectuar es igual a q . Matematicamente, a medida que M se incrementa de manera indefinida, las curvas de costos totales y costos de oportunidad tienden a converger: lim M q M CT = B + i M 2 M CT = i 2 , para M CT = Ci , para M ? 8 3. La demanda de dinero 3.1. Ecuacion de la demanda de dinero Para Sachs y Larrain (2002) "La demanda de dinero se define como la cantidad de dinero promedio que se mantiene durante el mes", es decir, la demanda de dinero nominal M d es igual a M . De esta manera, la demanda de dinero por parte de la familia optimizadora sera aquella cantidad de M que minimiza sus costos de tener dinero. Ahora, dado que la demanda de dinero M d es igual a ( M , entonces si se multiplica por 1 2 a ambos lados de la ecuacion 5 se obtendra la demanda de dinero optimo M d,. M 1 = 2 2 2Bq i 1/2 1/2 M d, = 1 2 2Bq i Para encontrar la demanda de dinero real optimo M d, se dividen a ambos lados de la ecuacion entre el nivel de precios P y, ademas, se multiplica y divide por P a las variables B y q: 1 2 P P M d, = 1 2P 2 ( B q . P 2P i En esta ecuacion, ( B es el costo real fijo por unidad de transaccion y se puede representar por b y q es el ingreso real de la familia al que se puede representar por q. Finalmente, se obtiene la demanda de dinero optimo en terminos reales:

Para confirmar que la demanda de dinero real optimo es producto de un proceso optimizador, exprese la ecuacion 4 de costo total nominal en terminos reales simplemente dividiendo entre el nivel de precios P : bq ct = 2md + imd (7) Donde ct es el costo total real y ct es el costo total real optimo. De la ecuacion 7 se puede afirmar que a la familia solo le interesa el poder adquisitivo del dinero y no el valor nominal. A esta caracteristica de la demanda de dinero se le conoce como la ausencia de ilusion monetaria (Sachs y Larrain, 2002). Asi, si el nivel de precios se duplica, mantenido constate el resto de variables, la demanda de dinero nominal tambien se duplicara para mantener la igualdad de dicha ecuacion. Minimizando los costos reales en la ecuacion 7 se Figura 3: Demanda de dinero optimo Costos reales

Esta ultima ecuacion es igual que la ecuacion 6 obtenida anteriormente. De esta manera se confirma que la demanda real de dinero optimo es producto de un proceso optimizador. La figura 3 muestra la demanda de dinero real optimo ubicado en el eje de la abscisa y los costos reales en el eje de la ordenada. A medida que el costo total de transaccion real sea mayor que el costo de oportunidad, la familia incrementara su demanda real de dinero. Finalmente, si el costo de oportunidad supera los costos totales de transaccion la familia reducira su demanda real de dinero. La demanda de dinero real optimo para la familia sera cuando ambos costos sean iguales. Finalmente, se puede concluir la siguiente funcion de la demanda de dinero: md, = M d, M d, = b , q , i P P + + – Donde la cantidad de demanda real de dinero por parte de la familia resulta de un proceso optimizador. Esta depende de manera positiva de las variaciones de costo real por unidad de transaccion y las variaciones del ingreso real y depende de manera negativa de las variaciones de la tasa de interes. Note que la demanda real de dinero depende de manera negativa de la tasa de interes nominal y no del real. 3.2. Elasticidad de la demanda de dinero Para evaluar el efecto cuantitativo que tienen las variables determinantes sobre la demanda real de dinero, la ecuacion 6 se puede expresar en terminos de logaritmos: ln (md, = 1 ln(b) + 1 ln(q) 1 ln(i) 1 ln 2. 2 2 2 2 De la ecuacion se puede inferir que la elasticidad ingreso real de la demanda de dinero es de 0, 5. Asi, un incremento del ingreso real provoca una disminucion de la razon dinero-ingreso y un incremento en la demanda real de dinero en 50 % del incremento del ingreso real. La elasticidad interes de la demanda de dinero es de -0,5. 3.3. Velocidad de circulacion del dinero La velocidad de circulacion del dinero v, entendido como el numero de veces que cambia de mano una unidad monetaria en un determinado periodo puede ser representada como el numero de veces que la familia acude a la entidad

bancaria a retirar dinero, es decir, q . Asi, el numero de veces que vaya al banco sera tambien el numero de veces que recibe dinero en el banco, es decir, el dinero llega a manos de la familia. Ahora q, que es el ingreso mensual de la familia, puede ser interpretado como el valor del nivel de produccion en terminos nominales que puede adquirir la familia. Ademas de ello, M es la cantidad de dinero que hay disponible para la familia toda vez que retira su ingreso en partes iguales a M . Entonces inicialmente se puede plantear la siguiente ecuacion: q v = = M q/P M/P (8) Remplazando la ecuacion 6 de demanda de dinero optimo en la ecuacion 8 se obtiene la velocidad de circulacion del dinero que es un optimo. v = q/P = 2q 2q ( 2bq 1/2 2( B q 1/2 = 2Bq 1/2 2 P 1/2 P )( P ) i 1/2 -1/2 i 1/2 1/2 v = 2q(i) 2q(i) (2q) (2q) (i) (2Bq)1/2 = 1/2 B1/2 = B1/2 v = 2qi B De esta manera la velocidad del dinero en el modelo de Boumol-Tobin se obtiene como parte del proceso optimizador de la familia. 4. Estatica comparativa 1.Evalua los efectos del incremento de la tasa de interes en la demanda real de dinero y los costos totales reales optimos: El incremento de la tasa de interes afecta, en primer lugar, al costo de oportunidad del dinero de manera positiva. Por lo tanto, la pendiente de la curva de Ci se vuelve mas positiva pasando de Ci (i1) a Ci (i2) como se aprecia en la siguiente figura. Luego, la curva de costos se traslada hacia arriba ubicando un nuevo punto minimo. Finalmente, la demanda de dinero optimo disminuye, mientras que el costo total real optimo se incrementa. Matematicamente se puede demostrar la evaluacion grafica. Aplicando diferenciales a la funcion de la demanda real de dinero se obtiene la siguiente ecuacion: md = md (b, q, i) dmd = md db + md dq + md di b q i Si b y q se mantienen constantes para evaluar el efecto de i, entonces db = 0 y dq = 0, por lo tanto dm = md < 0. Esto es posible ya que md, es el valor de di i equilibrio de ambos costos.

De manera mas particular podemos resolver partiendo de la ecuacion de demanda de dinero real: md, = bq 2i md, = bq 2i 1/2 Aplicando derivadas parciales se obtiene el resultado esperado: amd, ai = 1 2 bq 1/2 2 i1/2 < 0 Esta ultima ecuacion indica que el efecto es negativo, es decir, la demanda de dinero real disminuye conforme la tasa de inetes aumenta. Para observar los cambios en los costos reales se puede utilizar directamente la funcion de costo total real: Reemplazando ct = bq 2md + imd 1/2 md, = bq 2i en la ecuacion anterior y, luego, utilizando las derivadas parciales se obtiene el resultado esperado: act = ai bq 1/2 2 1 2i1/2 ib2q2 + 8 > 0. Esta ultima ecuacion indica que el impacto es positivo, es decir, los costos totales reales se incrementan conforme se eleva la tasa de interes nominal.

Bibliografia [1] Baumol, William J., The Transactions Demand for Cash: An Inventory Theoretic Approach.,The quarterly Journal of Economics,Vol. 66,No. 4, pp. 545-556, 1952. [2] Tobin, James, The isterest-Eslasticity of Transactions Demand for Cash., The Review of Economics and Statistics, 38(3), pp. 241-247, 1956. [3] Sachs, Jeffrey y,Larrain, Felipe, Macroeconomia en la Economia Global. 2da edit. Buenos Aires, Pearson Education, 2002.