Utilidades Trigonométricas – Peculiaridades de los Triángulos Isósceles

Las Magnitudes Trigonométricas, cuándo se estudian referidas a circunferencias de radio igual a la unidad, se aprende que están todas están relacionadas a Triángulos Rectángulos, cuyos lados son el Seno y el Coseno del Angulo, junto a un tercer lado que es la unidad:

En esta obra, entre otras cosas, se estudia la posición geométrica de los Senos y los Cosenos del ángulo mitad, que están posicionados en Circunferencias de Radio "R=1", además en este texto, se han generalizado los cálculos para Circunferencias de Radio "R".

También se ofrecen resultados para que, partiendo de las coordenadas de un ángulo dado, se deduzcan las coordenadas del ángulo obtenido de multiplicar el ángulo inicial, "n" veces, mediante un cálculo iterativo.

La teoría contenida en este texto, es adecuada para aprovechar la rapidez de cálculo de los ordenadores, ya que estos tienen la capacidad agilizar los cálculos que se exponen. De todas formas, también se proponen métodos para simplificar los cálculos, utilizando las propiedades de las simetrías que se dan en la circunferencia.

Utilizando estos conceptos, se plantea el cálculo de vértices de polígonos regulares.

Espero que este artículo les sea de utilidad

Daniel Revilla Sánchez

Cálculo del lado desigual

Comenzaremos calculando el lado desigual (distancia "ds"), que define la amplitud del triángulo isósceles (tumbado en esta figura):

Para lo cual realizamos la siguiente construcción:

Nota: Si hacemos R=1, entonces y=Sen () y x=Cos (), pero trabajaremos con el caso general, dónde los lados iguales del triángulo isósceles miden "R"

Tumbando el triángulo de la derecha, de la figura anterior tenemos:

Como el ángulo es igual en las dos figuras anteriores, por semejanza de triángulos, podemos establecer la siguiente regla de tres:

Con lo que obtenemos:

De esta forma hemos obtenido el lado "ds" desigual, en función de "R" y "x"

Ecuación Vectorial de la circunferencia

Si consideramos todos los triángulos Isósceles de radio "R = Constante" tumbados, con uno de los lados "R" en la horizontal, el vértice "P" que está fuera de la horizontal, describe una circunferencia de radio "R", y si "R" es variable, cada punto "P" de dicha circunferencia pertenecerá al plano Euclídeo

Partiendo de una de las expresiones anteriores, podemos obtener "x" en función de "R" y de "ds":

Si consideramos a "R" como constante, la distancia "ds", puede considerarse como un vector, que junto con el vector "R1 que pasa por en centro de la circunferencia, determinan cada punto "P" de la misma, (la suma de los vectores "R1" y "ds", dan como resultado el vector "R2")

La última ecuación, es la Ecuación Vectorial de la Circunferencia, dónde si se fija "R" a un valor constante, y se mantiene "ds" como variable obtendremos todas las coordenadas "x" de la circunferencia, siempre que "ds" sea: "ds = 2•R"

Además, en cualquier momento encontraremos la coordenada +/- "y", haciendo:

Coordenadas del ángulo doble y del ángulo mitad (Extensión del Teorema de Pitágoras)

Partimos de la siguiente situación:

Si nos fijamos en la zona delimitada por "O", y por los tres puntos "P", vemos que la proyección sobre la horizontal del punto "P3" junto con "O", delimitan la cota "x", y la distancia del punto "O", a "P1", delimita la cota "R". Si desplazamos paralelamente la recta "O – P1", por la recta "O – P3", obtenemos la distancia del punto "P3", al punto O", que mide "R"

Luego la distancia desde "O" al punto "T", mide "x+R" o "R+x".

Trazando perpendiculares desde el punto "P2" perteneciente a la circunferencia de la figura anterior, a las rectas "O – P1" y "O – P3", obtenemos la siguiente construcción:

Si extraemos el triángulo "O" "P2" "t", tenemos un triángulo de amplitud angular de "??":

Donde "x05" e "y05", son las coordenadas del punto "P2", que pertenecen al ángulo mitad. Si hacemos una simetría respecto a la mitad de "/2", tenemos:

Si hacemos ahora una simetría respecto a la recta "O – t":

Tenemos:

Haciendo una simetría respecto a la recta "P1 – P3":

Obtenemos la siguiente figura:

Vemos que obtenemos la misma figura de la que hemos partido, situando en este caso las coordenadas del ángulo medio "x05" e "y05":

Si tomamos la mitad de la figura, tendremos un triángulo limitado por la recta O – O" y si proyectamos el punto O" sobre la recta "O – P1", obtenemos el punto "n":

Aplicando el teorema de Pitágoras Tenemos:

Sustituyendo los valores de la ecuación anterior, tenemos el teorema de Pitágoras extendido:

Como:

Entonces:

Vemos que , entonces:

Luego:

Si hacemos "R=1", "x05" representará el Coseno del ángulo mitad, Siempre que "x", sea el Coseno del ángulo inicial

En la formula anterior, podemos obtener "x" en función de la Coordenada "x05":

Si hacemos "R=1", "x" representará el Coseno del ángulo, Siempre que "x05" represente al Coseno del ángulo mitad

Recordemos una figura anterior:

Tomando la mitad de la figura:

Sabiendo que la distáncia entre "s" y "P1" es "R-x", si aplicamos el teorema de Pitágoras, al triángulo "P1", "P3" y "s", podemos escribir:

Sustituyendo valores, tenemos:

Como , entonces:

Si hacemos "R=1", tendremos que "y05" es el seno del ángulo mitad, siempre que "x" sea el coseno del ángulo total

Tomando una de las fórmulas anteriores, podemos poner "x" en función de "y05":

Proceso de giro y vértices de polígonos

Este es un proceso iterativo para conseguir las coordenadas del ángulo doble, triple, etc.

Para el número de lados N = 0:

Con un lado, N = 1:

Con dos lados, N = 2:

Definimos como bisagra al punto "M1" que se utilizará para duplicar por simetría al punto "0", con lo que obtendremos el punto "2". El punto "M1" se ha obtenido como intersección de las rectas "O", "1" y su perpendicular "0","2"

Para Obtener las coordenadas del punto "M1", hacemos la siguiente semejanza de triángulos:

Como los dos ángulos son iguales, podemos establecer la siguiente regla de tres:

Triángulo Izquierdo Triángulo derecho

R =================> x1

x1 =================> xm1

Luego:

Es decir:

Para las Coordenadas en y:

Luego:

Encontramos el punto "2", haciendo simetría del punto"0", respecto a "M1":

En el eje x:

Sabiendo que

Entonces:

Anteriormente vimos que luego:

Y como sabemos que:

Tenemos que:

Con lo que hemos obtenido la coordenada en "x" del segundo vértice, respecto a la del primero

En el eje y:

También sabemos que:

y como

, luego

Y como hemos visto anteriormente, , entonces:

Con lo que hemos obtenido la coordenada en "y" del segundo vértice, respecto a la del primero

Con tres lados, N = 3

Definimos como bisagra al punto "M2" que se utilizará para duplicar por simetría al punto "1", con lo que obtendremos el punto "3". El punto "M2" se ha obtenido como intersección de las rectas "O – 2" y su perpendicular "1 – 3"

Para Obtener las coordenadas del punto "M2", hacemos la siguiente semejanza de triángulos:

Como los dos ángulos son iguales, podemos establecer la siguiente regla de tres:

Luego:

Hemos visto anteriormente que para "N=2":

Sustituyendo en "xm2":

Con lo que hemos obtenido el punto "bisagra", en "x"

Calculamos de igual forma el punto "bisagra" en "y", según la figura anterior:

Luego:

Hemos visto que para "N = 2":

Luego sustituyendo encontramos la Coordenada "y", del punto "bisagra" "M2":

Usando como bisagra el punto "M2" podemos encontrar las coordenadas del punto "3", como simétrico del punto "1":

En el eje "x":

Sabiendo que , Entonces:

, es decir,

Y como sabemos que:

Tenemos:

Operando queda:

En el eje "y":

Sabiendo que , entonces:

, es decir

Y como sabemos que:

Tenemos que:

Si recopilamos los resultados y las operaciones realizadas hasta el momento, tenemos:

Para :

; Punto Cero

Para

; ; Punto 1

Para :

Necesitamos una bisagra, que obtenemos haciendo:

El giro lo hacemos mediante:

Operando obtenemos el punto 2:

Para , la bisagra es:

Operando tenemos:

El giro lo hacemos mediante:

Operando tenemos:

Para N = 4 la bisagra es:

Operando tenemos:

El giro lo hacemos mediante:

Operando tenemos:

Llegados a este punto podemos generalizar el cálculo para cualquier ángulo de forma iterativa, con el fin de estandarizar la solución, para ello, de los cálculos que hemos realizado, deducimos las operaciones típicas del problema, que son las siguientes:

Bisagra:

Giro:

Nota: No es posible hallar el término "n" sin iteración, ya que tiene una estructura anidada, y el resultado de simplificar, es un polinomio que aumenta con el número "n" de vértices.

Si el número de lados del polígono (o de vértices) es par, y es divisible entre 2 (media circunferencia) ó 4 (90º) ó 8 (45º), sólo tendremos que hallar la mitad, la cuarta o la octava parte, con el método explicado y hallar el resto de coordenadas por simetría.

En el ejemplo de la figura anterior, se ha comenzado por x1=R·Cos (22.5), e y1=R·Sen (22.5), y sólo se han calculado dos lados

En el caso de que el número de lados del polígono, sea impar, haremos una simetría de media circunferencia con los resultados obtenidos:

En este ejemplo, se ha comenzado por x1=R·Cos (72) e y1=Sen (72), y solo se han calculado dos lados

Multiplicador y Divisor de Ángulos

Podemos utilizar los resultados del punto anterior para multiplicar ángulos:

Por ejemplo, conociendo "x1" e "y1", podemos calcular "x3" e "y3":

También podemos dividir ángulos, despejando de las expresiones anteriores, el ángulo correspondiente al punto 1. Como ejemplo, conociendo "x3" e "y3", podemos obtener "x1" e "y1". Operando en las expresiones anteriores:

De esta forma, podemos obtener la coordenada de "x1", resolviendo esta ecuación de tercer grado, de igual forma, para "y1", conocido "x1" e "y3:

De esta forma hemos obtenido las coordenadas de la tercera parte del ángulo inicial

Cálculo de la apotema (distancia "B")

La distancia "B" de un polígono regular coincide con su apotema, veamos cómo se calcula

Según la figura anterior, la apotema (distancia "B"), coincide con la coordenada "x05" del ángulo mitad, Luego:

Nota: El área del triángulo tumbado, puede calcularse de dos formas diferentes:

Simplificando, obtenemos:

O:

Relación entre la apotema "B", y la distancia "ds"

Partiendo de la definición de la distancia "ds", y despejando "x", tenemos:

Así, hemos obtenido x en función de "ds"

Despejando "x" en la fórmula de la apotema "B", tenemos:

Sustituyendo la "x" en función de "ds" en ésta última fórmula:

Con lo que hemos conseguido expresar la apotema "B", en función de "ds".

Despejando "ds" en la formula anterior:

De esta forma se ha obtenido "ds" en función de la apotema "B"

Autor:

Daniel Revilla Sánchez