f.e.m. autoinducida Cuando la intensidad de la corriente I cambia con el tiempo, se induce una f.e.m. en el propio circuito que se opone a los cambios de flujo, es decir de intensidad.
Derivando respecto al tiempo la expresión del flujo F (Ley de Faraday)
eL = – dF / dt = -L dI / dt
La fem autoinducida eL siempre actúa en el sentido que se opone a la variación de corriente.
Campos inducidos Diferencias entre el campo eléctrico electrostático y el campo eléctrico inducido:
• Los campos eléctricos E inducidos no están asociados a cargas, sino a variaciones temporales del flujo magnético.
• Las líneas del E inducido formas líneas cerradas,
• Mientras que las líneas de campo que representan al electrostático nacen en las cargas positivas y mueren en las negativas.
Circuito RL Ecuaciones de Kirchhoff siguen validos en procesos circuitos RL.
Caída de tensión en un circuito RL: • en la resistencia VR = R · I • en la bobina eL = – L dI / dt
2ª Ley de Kirchhoff e – L dI / dt= R · I
Ecuación diferencial del circuito dI / dt + (R /L) I = e / L (Gp:) I (Gp:) R (Gp:) e (Gp:) S
dq / dt + q / (R C) = e / R
Analogía entre RL y RC Comparando ecuaciones del circuito RL (con tL = L / R) : dI / dt + I / tL = e / L
y el del circuito RC ( con tC = R C) dq / dt + q / tC = e / R
podemos notar que están formalmente análogos con las soluciones genéricas • del circuito RC: q(t) = A · exp { – t / tC} + B
• del circuito RL: I(t) = A · exp { – t / tL } + B
Gráficos del procesos RL El proceso de establecimiento de la corriente: I(t) = V / R · [1 – exp { – t / tL}] El proceso de caída de la corriente en el circuito: I(t) = V / R · exp { – t / tL} (Gp:) I (Gp:) R (Gp:) e (Gp:) S
Números complejos. El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario
z = x + i y
• la unidad imaginaria se indica con la letra i o con la letra j para no confundirla con la intensidad de corriente I.
• la unidad imaginaria denota la raíz cuadrada de -1: i = (-1) 1/2. Su cuadrado da -1: i2 = -1.
• Conjugado z* de un número complejo z : z* = x – i y
Valor absoluto
Representación binómica Un número complejo se representa en forma binomial como:
z = x + i y
La parte real del número complejo y la parte imaginaria
x = Re z y = Im z
Representación polar En representación polar z = ? e i f
• ? es el módulo del número complejo
• f el ángulo (o argumento) del número complejo.
Desde el triangulo tg f = Im z / Re z
el argumento f = arctg [Im z / Re z]
Radián El radián es la unidad de ángulo plano.
• El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios; es decir, f = s /r, donde f es ángulo, s es la longitud del arco, r es el radio. • La longitud del arco s es el producto de f (en radianes) por el radio r. • La equivalencia entre grados y radianes es: p rad = 180°
Formula de Euler La parte real de una exponente imaginaria es el coseno La parte imaginaria es el seno • e i f = cos f + i sin f
Casos especiales: • f = 0 : e i 0 = 1 • f = 90° = p/2 : e i p/2 = i • f = 180° = p : e i p = -1 • f = 270° = 3/2 p: e i 3p/2 = -i
• Relación entre p, e, i, 1: e i p +1=0
Operaciones (forma cartesiana) Operaciones con dos números complejos z1 = x1 + i y1 z2 = x2 + i y2 • suma z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2) • resta z1 – z2 = (x1 – x2) + i (y1 – y2) • producto z1 · z2 = (x1 x2 – y1 y2) + i (x1 y2 + x2 y1)
• división z1 / z2 = (x1 x2 + y1 y2) / (x22 + y22) + i (x1 y2 – x2 y1 ) / (x22 + y22)
Operaciones en forma polar Operaciones con dos números complejos
z1 = ?1 e i f1
z2 = ?2 e i f2
• producto z1 · z2 = ?1 ?2 e i (f1 + f2)
• división z1 / z2 = ?1 / ?2 · e i (f1 – f2)
Fem alternas sinusoidales Fem alterna: V(t) = V0 cos (? t + f)
el periodo de la señal T = 2p / ? frecuencia f = 1/T fase f
corresponde a la parte real de una exponente compleja cos (? t) = Re[exp {i (? t + f)}]
Corriente alterna En una expresión del tipo z = r e i f podemos pensar en r como la amplitud y en f como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada.
• Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma f(t) = A exp (i ? t) donde ? representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas.
Producción de fem alternas Consideramos N espiras que giran con velocidad angular ? constante en un campo magnético uniforme B.
• flujo del campo magnético F = B · S · N · cos ? • como ? = ? · t + ?0, el flujo F = B·S·N· cos (? · t + ?0)
• Ley de Faraday: e = – dF / dt = BSN ? sin (?t + ?0) e(t) = V0 sin (?t + ?0)
• Símbolo electrónico:
Valores medios de corriente alterna
Valores eficaces de corriente alterna
Corriente alterna: circuito con resistencia • Corriente alterna en un circuito de una resistencia R
• V(t) = V0 cos (?t)
• Segunda ley de Kirchhoff da la intensidad I(t) = V(t) / R = V0 / R · cos (?t)
• La tensión aplicada y la corriente están en fase (Gp:) I (Gp:) R (Gp:) e
Corriente alterna:circuito con condensador • Corriente alterna en un circuito de un condensador C
• Voltaje en la entrada V(t) = V0 cos (?t)
• Carga en el condensador q(t) = V(t)C = V0 C cos (?t)
• Intensidad de la corriente I(t) = dq(t)/ dt = -V0 ? C · sin (?t) = -I0 sin (?t)
• Relación entre coseno y seno -sin (?t) = cos(?t + p/2) I(t) = I0 cos(?t + p/2) (Gp:) I (Gp:) e (Gp:) C
Corriente alterna:circuito con condensador • Voltaje en la entrada V(t) = V0 cos (?t)
• Intensidad de la corriente I(t) = I0 cos(?t + p/2)
• Hay un desfase de 90º en adelanto de la corriente que circula por el circuito respecto de la tensión en extremos del condensador (la corriente está adelantada p/2 respecto del voltaje)
Reactancia capacitiva o capacitancia En términos de una exponente compleja en la entrada V(t) = V0 ei?t la intensidad I(t) = C dV/dt = V0 i ? C ei?t
podemos reproducir la ley de Ohm V = I RC con una resistencia del condensador imaginaria RC = 1 / (i ?C).
Su modulo
se denomina reactancia capacitiva. Describe la oposición ofrecida al paso de la corriente alterna por condensadores y se mide en Ohmios.
La resistencia equivalente es RC = XC / i = – i XC XC = |RC| = 1 / (? C)
Corriente alterna: circuito con inducción • Corriente alterna en un circuito de una bobina con coeficiente de inducción L
• Voltaje en la entrada V(t) = V0 cos (?t)
• Autoinducción en la bobina e L = – L dI / dt
• Segunda ley de Kirchhoff V(t) + eL= 0
da una ecuación diferencial dI / dt = V0 / L · cos (?t) con la solución I(t) = V0 / (L ? ) · sin (?t)
• relación entre coseno y seno sin (?t) = cos(?t – p/2)
I(t) = I0 cos(?t – p/2) (Gp:) I (Gp:) e (Gp:) L
Corriente alterna: circuito con inducción • Voltaje en la entrada V(t) = V0 cos (?t)
• Intensidad de la corriente I(t) = I0 cos(?t – p/2)
• Por tanto, la bobina en corriente alterna atrasa la corriente 90º respecto a la tensión presente en sus extremos.
Reactancia inductiva o inductancia En términos de una exponente compleja en la entrada V(t) = V0 ei?t la ecuación diferencial es dI / dt = V0 / L · ei?t con la solución de I = V0 / (i?L) · ei?t
Podemos reproducir la ley de Ohm V = I·RL con una resistencia de inducción imaginaria RL = i ?L.
Su modulo
se denomina reactancia inductiva. Describe la oposición ofrecida al paso de la corriente alterna por bobinas y se mide en Ohmios.
La resistencia equivalente es RL = i XL XL = |RL| = ? L
Regla nemotécnica Si se representa por las letras • L a la inducción eléctrica, • U a la tensión eléctrica, • C a la capacidad eléctrica se puede utilizar la siguiente regla para recordar fácilmente cuando la corriente (I) atrasa o adelanta a la tensión (U) según el tipo de circuito eléctrico que se tenga, inductivo (L) o capacitivo (C).
LUIS, se observa que la corriente (I) atrasa a la tensión (U) en un circuito inductivo (L).
CIUDAD, se puede observar que la corriente (I) adelanta a la tensión (U) en un circuito capacitivo (C).
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