Factorial, permutaciones y combinaciones con Excel y GeoGebra

FACTORIAL, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES CON EXCEL Y GEOGEGRA A) FACTORIAL La factorial está relacionada con el cálculo del número de maneras en las que un conjunto de cosas puede arreglarse en orden. El número de maneras en el que las n cosas pueden arreglarse en orden es: ??! = ??(?? – ??)(?? – ??) … … . . ?? Donde n! se llama el factorial de n y 0! se define como 1 Ejemplos ilustrativos 1) Calcular 7! Solución: ??! = ??(?? – 1)(?? – 2) … … . .1 7! = 7(7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5)1 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 7! = 5040 En Excel se calcula de la siguiente manera: a) Insertar función. Seleccionar la categoría Matemáticas y trigonométricas. Seleccionar la función FACT

b) Clic en Aceptar. En el cuadro de diálogo de Argumentos de la función, en el recuadro correspondiente a Número seleccionar la celda correspondiente al factorial a calcular (A2). c) Clic en Aceptar 2) Calcular 3!4! Solución: 3! 4! = (3 · 2 · 1)(4 · 3 · 2 · 1) = 144 En Excel se calcula como indica la siguiente figura: 3) Si un conjunto de 6 libros se colocan en un estante. ¿De cuántas formas es posible ordenar estos libros? Solución: ??! = ??(?? – 1)(?? – 2) … … . .1 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 6! = 720

= ?? B) PERMUTACIONES

En muchos casos se necesita saber el número de formas en las que un subconjunto de un grupo completo de cosas puede arreglarse en orden. Cada posible arreglo es llamado permutación. Si un orden es suficiente para construir otro subconjunto, entonces se trata de permutaciones.

El número de maneras para arreglar r objetos seleccionados a la vez de n objetos en orden, es decir, el número de diferentes ordenamientos de n elementos tomados r a la vez es: ?????? = ??(?? – ??)(?? – ??) … (?? – ?? + ??) = ??! (?? – ??)! Notas:

Si ?? = ??, entonces la permutación se tranforma en factorial, es decir: ?????? = ??! ??! = = ??! (?? – ??)! 0! Cuando los elementos se ordenan alrededor de un objeto formando una cerrada, se llama permutación circular, y su ecuación es:

????(??) = (?? – ??)!

Si el número de maneras para arreglar r objetos seleccionados a la vez de n objetos en orden, de los cuales algunos r objetos se repiten, se llama permutación con elementos repetidos, y su ecuación es: ????????;… ???? ??! (???? )! (???? )! … (???? )! Ejemplos ilustrativos:

1) Calcular 7P3

Solución:

n = 7 y r = 3, entonces aplicando la fórmula se obtiene: ???? = ??! (?? – ??)! ? 7??3 = 7! 7! 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = = (7 – 3)! 4! 4·3·2·1 = 7 · 6 · 5 = 210 En Excel se calcula de la siguiente manera:

a) Insertar función. Seleccionar la categoría de Estadísticas. En función seleccionar la opción PERMUTACIONES.

?? b) Clic en Aceptar. En el cuadro de diálogo de Argumentos de la función, en el recuadro Número seleccionar la celda correspondiente a n (B1), en el recuadro de Tamaño seleccionar la celda correspondiente a r (B2).

c) Clic en Aceptar

Los cálculos en GeoGebra se muestran en la siguientes figuras: En programa GeoGebra, en Entrada: se escribe nPr y aparece nPr[ < Número>, < Número> ]. Se escribe los números 7 y 3, quedando nPr[ 7,3]. Enter

2) ¿De cuántas maneras distintas se pueden ubicar 7 personas alrededor de una mesa circular?

Solución: Se trata de una permutación circular

????(??) = (?? – 1)! = ????(7) = (7 – 1)! = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

3) ¿Cuántos arreglos literales pueden obtenerse con las letras de la palabra AEREOLINEA?

Solución: Como se pide calcular una permutación con elementos repetidos. Los elementos ordenados en orden alfabético son: A A E E E I L N O R, donde la A se repite dos veces y la E tres veces, entonces: ???? 1;… ???? = ??! (??1 )! (??2 )! … (???? )! ? 10??2;3 = 10! (2)! (3)! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 2·1·3·2·1 = 302400

?? C) COMBINACIONES

En muchos situaciones no interesa el orden de los resultados, sino sólo el número de maneras en las que r objetos pueden seleccionarse a partir de n cosas, sin consideración de orden. Si dos subconjntos se consideran iguales debido a que simplemente se han reordenado los mismos elementos, entonces se trata de combinaciones.

El número de maneras para arreglar r objetos seleccionados a la vez de n objetos, sin considerar el orden, es decir, el número de agrupamientos de n elementos tomados r a la vez es: ?????? ?? =( )= ??(?? – ??)(?? – ??) … (?? – ?? + ??) ??! = ??! ??! (?? – ??)! Ejemplos ilustrativos:

1) Calcular 7C3

Solución:

n = 7 y r = 3, entonces aplicando la fórmula se obtiene: ?????? = ??! ??! (?? – ??)! ? 7??3 = 7! 7! = 3! (7 – 3)! 3! 4! 7??3 = 7·6·5·4·3·2·1 (3 · 2 · 1)(4 · 3 · 2 · 1) = 7 · 5 = 35 En Excel se calcula de la siguiente manera:

a) Insertar función. Seleccionar la categoría de Matemáticas y trigonométricas. En función seleccionar la opción COMBINAT

?????? = ? 6??3 = = = b) Clic en Aceptar. En el cuadro de diálogo de Argumentos de la función, en el recuadro Número seleccionar la celda correspondiente a n (B1), en el recuadro de Tamaño seleccionar la celda correspondiente a r (B2).

c) Clic en Aceptar

2) Si se desean ordenar 6 libros en un estante, pero sólo hay espacio para 3 libros. Calcular el número de resultados posibles de acomodar dichos libros sin importar el orden.

Solución: Como se pide calcular 6C3 , entonces, ??! 6! 6! 6·5·4·3·2·1 ??! (?? – ??)! 3! (6 – 3)! 3! 3! (3 · 2 · 1)(3 · 2 · 1) = 5 · 4 = 20 Los cálculos en GeoGebra se muestran en la siguiente figura:

Se escribe en Entrada: Número y aparece NúmeroCombinatorio[ < Número n (o valor numérico)>, < Número r (o valor numérico)> ]. Digitar el 6 y el 3, y queda NúmeroCombinatorio[ 6,3]. Enter

5 5 6 5 5 TAREA DE INTERAPRENDIZAJE

1) Realice un organizador gráfico (mapa conceptual, organigrama, mentefacto, etc.) sobre el análisis combinatorio.

2) Resuelva de manera manual, empleando Excel y GeoGebra

2.1) 8! 40320 2.2) 10! 3628800 2.3) 8P3 336 2.4) 10P3 720 2.5) 8C3 56 2.6) ( 10 3 ) 120

3) En la fórmula de la permutación, ¿qué valor debe tener r para que la permutación sea igual a la factorial?. Ilustre su respuesta con un ejemplo n

4) Realice los cálculos de manera manual y empleando Excel para que compruebe las siguientes igualdades: 4.1) 5! = 5??5 4.2) ( ) = ( ) 4.3) ( ) – ( ) = ( ) 0 5 3 3 2 5) Don Albertito desea parquear 3 automóviles en su garaje. Calcular el número de resultados posibles de parquear dichos automóviles. Realice los cálculos de manera manual y empleando GeoGebra 6

6) Se desea ordenar 4 libros en un estante. Calcular el número de resultados posibles de ordenar los mencionados libros. Realice los cálculos de manera manual y empleando Excel 24

7) Se desea ordenar 4 libros en un estante, pero solo hay espacio para 2 libros. Calcular el número de resultados posibles de ordenar los mencionados libros. Realice los cálculos de manera manual y empleando GeoGebra 12

8) ¿De cuántas maneras posibles se puede formar con 8 personas una comisión de 3 miembros?. Realice los cálculos de manera manual y empleando Excel 56 Fuente: Suárez, Mario. (2014). Probabilidades y Estadística empleando las TIC, Ecuador: Imprenta GRAFICOLOR

Nota: Libros y artículos del Mgs. Mario Suárez sobre Aritmética, Álgebra, Geometría, Trigonometría, Lógica Matemática, Probabilidades, Estadística Descriptiva, Estadística Inferencial, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Los Poliprismas, y Planificaciones Didácticas se encuentran publicados en: http://repositorio.utn.edu.ec/handle/123456789/24 http://docentesinnovadores.net/Usuarios/Ver/29591 http://es.scribd.com/mariosuarezibujes http://www.monografias.com/usuario/perfiles/mario_suarez_7/monografias