1 Movimientos vibratorios Movimiento vibratorio Armónico Simple(MAS) Otros movimientos vibratorios Ecuaciones del MAS Oscilador armónico simple Dinámica del oscilador armónico simple Comparación del MAS y del MCU Péndulo simple Energía del oscilador armónico simple MOVIMIENTOS VIBRATORIOS Este enlace nos lleva a una página del proyecto Newton del CNICE (Ministerio de Educación) donde podemos ver esta unidad completa con “escenas interactivas” (applets o fislets) (animaciones)
2 1. Movimiento vibratorio armónico simple Movimiento periódico Una partícula describe un movimiento periódico cuando las variables posición, velocidad y aceleración de ese movimiento toman los mismos valores después de cada intervalo de tiempo constante llamado periódo. El movimiento circular y uniforme MCU es un ejemplo de movimiento periódico. En la figura la partícula se desplaza siguiendo una trayectoria circular con velocidad angular ? constante Cuando pasa por los puntos A, B, C , ….. la posición , la velocidad lineal y la aceleración tienen el mismo valor que en la vuelta anterior A B C El movimiento de la luna alrededor de la Tierra, el de la Tierra alrededor del Sol, el de las alas de un pájaro cuando está volando, el de las mareas, el de un péndulo, el de un objeto colgado de un muelle, etc son ejemplos de movimientos periódicos.
3 Movimiento Oscilatorio o Vibratorio Son aquellos movimientos periódicos en los que la partícula se desplaza sucesivamente a un lado y a otro de una posición de equilibrio. Cada vez que la partícula vuelve a la posición de partida moviéndose en el mismo sentido decimos que ha efectuado una oscilación y ha invertido un tiempo que se llama periodo Cuando las oscilaciones son muy rápidas se denominan vibraciones y al movimiento se le denomina vibratorio. Movimiento Vibratorio Armónico Simple (MAS) Un movimiento oscilatorio (o vibratorio) de una partícula sobre una trayectoria rectilínea es armónico simple cuando está sometido a la acción de una fuerza de atracción directamente proporcional al desplazamiento de la partícula de su posición de equilibrio y de signo contrario. Las partículas unidas a resortes (muelles) que cumplen la ley de Hooke tienen un movimiento vibratorio armónico simple. VER
4 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio armónico simple Como todo movimiento, para describir el MAS debemos obtener unas ecuaciones que nos permitan conocer la posición , la velocidad y la aceleración de una partícula en un instante determinado. Cuando estudiábamos el movimiento uniforme o el uniformemente acelerado o el circular uniforme, vimos que para la descripción de estos movimientos necesitábamos unas ecuaciones para conocer la posición, la velocidad y la aceleración de los cuerpo o partículas afectados por estos movimientos: M.U. M.U.A. M.C.U. Pero antes, debemos recordar o definir algunas magnitudes características de este movimiento. (Gp:) x (Gp:) t (Gp:) v (Gp:) t (Gp:) x (Gp:) t
5 1.1. Ecuaciones del MAS (Cont.) Oscilación o Vibración es el movimiento comprendido entre el paso consecutivo de la partícula por un mismo punto, con las mismas características cinemáticas (igual posición, igual velocidad e igual aceleración Centro de Oscilación es el punto medio de la distancia que separa las dos posiciones extremas alcanzadas por la partícula. Es la posición de equilibrio. Elongación es la posición que tiene la partícula en un instante cualquiera, respecto del centro de oscilación. En el S.I. se mide en m Amplitud A es la máxima elongación. Representa la máxima distancia que se aleja la partícula respecto del centro de oscilación. En el S.I. se mide en m Periodo T es el tiempo que tarda la partícula en efectuar una oscilación. En el S.I. se mide en s Frecuencia f es el número de oscilaciones que efectúa la partícula en la unidad de tiempo. En el S.I. se mide en Hertzios (Hz) o s –1. La representaremos por x o y según sea horizontal o vertical la trayectoria rectilínea que describe la partícula Es la inversa del periodo: -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
6 1.1. Ecuaciones del MAS (Cont.) Oscilación o Vibración Centro de Oscilación Elongación Amplitud A Periodo T Frecuencia f Pulsación ? es el número de periodos comprendidos en 2 p segundos. En el S.I. se mide en rad/s o s –1. Por definición: -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
7 Actividad El periodo de un movimiento vibratorio armónico simple (MAS) es 0,2 s. Por definición: Calcular su frecuencia y su pulsación. Datos: T = 0,2 s Actividad El punto rojo de la figura realiza un MAS de 0,4 Hz de frecuencia. Calcular: a) la pulsación , b) el periodo , c) la amplitud en el S.I. -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 cm Datos: f = 0,40 Hz a) Por definición: c) Leemos el valor en la figura: A = 5 cm = 0,05 m b) El periodo es el inverso de la frecuencia:
8 1.1. Ecuaciones del MAS (Cont.) . Ecuación de la elongación La ecuación fundamental del MAS nos describe cómo varía la elongación x a lo largo de la trayectoria en función del tiempo t. Elongación (m) Amplitud (m) Ángulo de fase o fase (rad) Fase inicial o constante de fase (rad) Ver RADIÁN Una partícula posee un MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE a lo largo de un eje X cuando su elongación o coordenada de posición x sobre este eje se expresa mediante una función senoidal o cosenoidal (seno o coseno) del tiempo dado. ( Eje Y ) ( Condiciones iniciales) -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 Otras formas de la misma ecuación:
9 1.1. Ecuaciones del MAS (Cont.). Ecuación de la elongación –1 0 = 0 0 0 +1 +A 0 0 0 0 –A T Vamos a representar la gráfica x-t de este movimiento: Elaboraremos una tabla de valores para obtener la gráfica. x (m) t (s) 0 T (Gp:) +A (Gp:) – A 0 La ecuación de la elongación también la podemos poner en función de la frecuencia: En función del periodo la ecuación es: 0
10 1.1. Ecuaciones del MAS (Cont.). Ecuación de la velocidad Para obtener la ecuación de la velocidad debemos derivar la ecuación de la elongación respecto del tiempo: La gráfica velocidad – tiempo v – t para el MAS la obtenemos como hemos hecho para la elongación, a partir de una tabla de valores, como la anterior: v (m/s) t (s) 0 T (Gp:) +A·? (Gp:) – A·? 0 T
11 1.1. Ecuaciones del MAS (Cont.). Ecuación de la aceleración Para obtener la ecuación de la aceleración debemos derivar la ecuación de la velocidad respecto del tiempo: La gráfica aceleración – tiempo a – t para el MAS la obtenemos como hemos hecho para la elongación y para la velocidad, a partir de una tabla de valores, que tiene los mismos valores para el sen ?t que la tabla de la elongación x: a (m/s2) t (s) 0 T (Gp:) +A·?2 (Gp:) – A·?2 0 T
12 1.2. Comparación del MAS y del MCU Para la mejor comprensión del MAS de una partícula es útil compararlo con el MCU de la misma partícula. APPLET Proyecto Newton Vemos pues que el MAS se puede considerar como una proyección de un MCU sobre un diámetro de la misma circunferencia. -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 • Cada revolución en el MCU se convierte en una oscilación en el MAS • El radio R • El periodo T del MAS • La velocidad angular ? • El ángulo inicial f0 del MCU • El periodo T • La pulsación ? • La fase inicial f0 son • La amplitud A • La proyección del vector velocidad del MCU sobre el diámetro da lugar al vector velocidad del MAS • La proyección del vector aceleración normal del MCU sobre el diámetro da lugar al vector aceleración del MAS
13 ?El Movimiento Armónico Simple es un movimiento periódico en el que la posición varía según una ecuación de tipo senoidal o cosenoidal. ?La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo máxima en el centro de la trayectoria y nula en los extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento. ?El M.A.S. es un movimiento acelerado no uniformemente. Su aceleración es proporcional al desplazamiento y de signo opuesto a este. Toma su valor máximo en los extremos de la trayectoria, mientras que es mínimo en el centro. ?Podemos imaginar un M.A.S. como una proyección de un Movimiento Circular Uniforme. El desfase nos indica la posición del cuerpo en el instante inicial. Resumiendo
14 Ejercicio 6 de la página 102 Datos: MAS con 15 vibraciones cada 40 s a) La frecuencia f es el número de vibraciones que da la partícula en la unidad de tiempo, 1s, luego: b) El período T , tiempo que tarda la partícula en dar una vibración, es la inversa de la frecuencia f : c) La pulsación ? la calculamos mediante la expresión: También hemos podido utilizar la expresión:
15 Actividad 1: Una partícula se mueve con un MAS cuya elongación es: a) Calcular su amplitud: Comparamos la ecuación que nos dan con la ecuación general de la elongación del MAS. Deducimos por tanto que la amplitud vale 0,8 m: b) Calcular su periodo: Podemos calcular el periodo T a partir de la pulsación ? , ya que : Comparamos de nuevo la ecuación que nos dan con la ecuación general de la elongación del MAS. Deducimos por tanto que la pulsación vale : ? = Calculamos el periodo T despejándolo de la expresión anterior: c) Calcular la fase inicial: Comparamos de nuevo la ecuación que nos dan con la ecuación general de la elongación del MAS. Deducimos por tanto que la fase inicial vale :
16 Actividad (Cont.) d) Calcular la elongación en los instantes t = 0 s , t = 0,5 s y t = 1,5 s Para calcular la elongación en esos instantes sustituiremos en la ecuación la variable t por los valores que nos dan: Para t = 0 s: Para t = 0,5 s: Para t = 1,5 s: e) Escribir la ecuación de la velocidad. La ecuación de la velocidad la obtenemos derivando respecto el tiempo la ecuación de la elongación: f) ¿Cuál es la velocidad máxima? El valor máximo de la velocidad lo tomará cuando el cos(p t + p/6) sea 1. Por tanto:
17 Actividad 2: Una partícula describe un MAS de ecuación ( en unidades SI): Calcular cuánto vale la velocidad de la partícula en los instantes que pasa por la posición x = 3 m Datos: MAS ; ; x = 3 m La velocidad de la partícula nos viene dada por la ecuación : Vemos que depende del tiempo. Luego para calcular la velocidad cuando la partícula pasa por la posición x = 3 m , bastaría con conocer el instante en el que la partícula pasa por esa posición. Esto lo podemos calcular a partir de la ecuación de la elongación: Despejamos el seno: Calculamos el ángulo y el tiempo: Finalmente, sustituimos este valor en la ecuación de la velocidad:
18 Ejercicio 7 de la página 102 Datos: MAS , fo = 0 ; f = 50 Hz ; A = 3 cm = 0,03 m a) El período T, tiempo que tarda la partícula en dar una vibración, es la inversa de la frecuencia f : b) La pulsación ? la calculamos mediante la expresión: c) La ecuación de la elongación x en el MAS es: x = A· sen (?·t + fo) y por tanto basta con conocer la amplitud A, la pulsación ? y la fase inicial f0 : A = 0,03 m ? = 100 p rad/s f0 = 0 rad x = 0,03· sen (100p·t + 0) x = 0,03· sen 100p·t en unidades del S.I. ( x = 0,03· sen 314,16·t en unidades del S.I. )
19 2.Oscilador armónico simple Hasta ahora hemos estudiado las características cinemáticas del MAS. A continuación vamos a estudiar la dinámica y la energía del MAS, aplicadas a un caso concreto de oscilador armónico (sistema animado de MAS debido a la acción de una fuerza recuperadora ) 2.1. Dinámica del Oscilador armónico simple Si una partícula de masa m está sometida a un MAS hemos visto que tiene una aceleración: Conocida la masa y la aceleración, podemos a partir de la 2ª ley de Newton determinar la fuerza resultante F sobre la partícula: Como la pulsación ? y la masa m son constantes, podemos concluir que: donde k es una constante, denominada constante elástica o recuperadora , que en el S.I. se mide en Vimos que en el MAS, la fuerza responsable es directamente proporcional a la elongación (al desplazamiento) de la partícula y opuesta a ella . y a una fuerza:
20 2.1. Dinámica del Oscilador armónico simple (Cont.) La fuerza que produce un MAS es una fuerza central, dirigida hacia el punto de equilibrio y directamente proporcional a la distancia a éste. Podemos calcular la pulsación ? del MAS a partir de la expresión de la constante: despejándo obtenemos que: Recordando que la pulsación ? la podemos poner en función del periodo T: podemos obtener el periodo T de oscilación de una partícula producido por una fuerza recuperadora: Se observa que el periodo y la frecuencia dependen exclusivamente de la constante elástica del movimiento k y de la masa m del cuerpo que lo describe.
21 2.2. Energía del Oscilador armónico simple Hemos visto que un oscilador armónico es un sistema material que se mueve con movimiento armónico simple MAS. La energía mecánica que posee es CINÉTICA, porque está en movimiento y POTENCIAL ELÁSTICA, ya que el movimiento armónico es consecuencia de la acción de una fuerza conservativa (la fuerza elástica recuperadora). Energía cinética La partícula de masa m que se mueve con una velocidad v tendrá una energía cinética: Recordando la ecuación de la velocidad y la expresión de la constante k:
22 2.2. Energía del Oscilador armónico simple (Cont.) Energía potencial elástica Para un oscilador cuya constante elástica es k, la energía potencial elástica en el instante que su elongación es x vale: Recordando la ecuación de la elongación : podemos expresar la energía potencial elástica del oscilador de esta manera: Energía mecánica Es la suma de las dos anteriores: La energía mecánica de un oscilador armónico es una constante característica de éste directamente proporcional al cuadrado de la amplitud.
23 Ejercicio 21 de la página 105 Datos: m = 2 kg; F = 8,0 N; x = 20 cm = 0,2 m; a) Hallamos la constante elástica k a partir de la fuerza necesaria para alargarlo 20 cm, a partir de la posición de equilibrio: F = k · x Despejando la constante k : b) El período del MAS en función de la masa y de la constante elástica vale:
24 Ejercicio 23 de la página 107 Datos: m = 2 kg; k = 65 N/m; A = 0,3 m; a) En el momento inicial toda la energía mecánica del cuerpo es energía potencial elástica , ya que x = A = 0,3 m. En esta posición su energía potencial es máxima. b) La velocidad máxima la alcanzará al pasar por la posición de equilibrio, donde su energía potencial elástica será nula y toda la energía mecánica será energía cinética. Podemos pues determinar la velocidad, despejando de la expresión de la energía cinética: (Gp:) l0 (Gp:) xmax = 0,3 m (Gp:) Posición de equilibrio
25 2.3. Péndulo simple Si suspendemos una pequeña partícula material de masa m de un hilo de longitud L, inextensible y de masa despreciable, y la separamos un pequeño ángulo a de su posición vertical de reposo, la partícula se comporta como un oscilador. Este sistema recibe el nombre de péndulo simple o matemático El movimiento del péndulo simple es un movimiento armónico simple siempre que se consideren desplazamientos (amplitudes) muy pequeños Con esa aproximación, a partir de la ecuación del periodo del MAS que vimos anteriormente podemos obtener una nueva ecuación para el periodo del péndulo: Se observa que el periodo del péndulo depende exclusivamente de la longitud del hilo L y del valor de la aceleración de la gravedad g del lugar donde éste oscila. Periodo del MAS Periodo del péndulo (Gp:) L (Gp:) m (Gp:) a
26 Ejercicio 27 de la página 109 Datos: L = 0,556 m si g = 9,75 m/s2 ; gLuna = 1,96 m/s2 ; a) Aplicando la ecuación del periodo del péndulo: b) Con los datos de la Tierra, calculamos la longitud L del péndulo: Y una vez conocida su longitud, ya podemos calcular su periodo en la Luna:
27 l0 l l l x x x x = l – l0 Ley de Hooke Los cuerpos elásticos se deforman al aplicarles una fuerza,pero ¿qué relación existe entre la intensidad de la fuerza recuperadora y la deformación producida ? El físico inglés R.Hooke determinó en el siglo XVII esta relación, lo que se conoce como ley de Hooke. La deformación x que sufre un cuerpo elástico es directamente proporcional a su fuerza recuperadora y de sentido contrario . Matematicamente: F = – k · x siendo k la constante de proporcionalidad, que recibe el nombre de CONSTANTE ELÁSTICA F F F
28 RADIÁN R El radián es el ángulo central de una circunferencia que abarca un arco igual al radio de la circunferencia: Como la longitud total de la circunferencia es: El ángulo completo de la circunferencia equivale a: La equivalencia entre grados sexagesimales y radián es: