Sistema de números reales Sub (?, +, ?) es un campo: 1) + es conmutativa ?a ?b, a + b = b + a 2) + es asociativa ?a ?b ?c, a + (b + c)= (a + b) + c 3) + tiene elemento neutro 0: ?a, a + 0 = a 4) + cada número tiene inverso aditivo: ?a ?a*, a + a* = 0
es un campo ordenado por ? ó por ?
? es un campo arquimediano: 1) ?a > 0 ?b ? n ? ?, n a > b 2) ?a > 0 ? n ? ?, 1/n < a 3) ?m ?n??, m > n
es un campo completo: toda sucesión de Cauchy tiene límite en ? (? no es completo) (esto se verá más adelante)
Sucesiones Una sucesión, s, en X: función s : ? ? X; s (k) se denota por sk Ejemplo: s (k) = 1/k es {(k, 1/k) : k ??} que se denota (1, ½, 1/3, …) ó por (1/k)
Una subsucesión de una sucesión, s, es cualquier composición de s con una función creciente ? : ???; esto es, ? ? s : ??X Ejemplo: con s como arriba y ? (k) := 3 k, sale la subsucesión (1/3, 1/6, …)
Una sucesión, s, converge a L si ?? >0 ? h ??, (k ? h ? ?L – s(k)? ? ?; en tal caso se dice que L es el límite de la sucesión s Si la sucesión no converge, se dice que es divergente Ejemplos: (1/k) converge a 0 pero (2k) diverge
Una sucesión, s, es de Cauchy si ? ?>0, ? n ? ?, h > n ? k > n ??sh – sk? < ? Ejemplo: (1/k) es de Cauchy pero hay sucesiones en ? que son de Cauchy y divergen
Propiedades del límite de una sucesión Si existe, entonces es único: ninguna sucesión puede tener más de un límite Si la sucesión tiene límite, entonces toda subsucesión converge al mismo número Toda sucesión convergente es acotada Toda sucesión monótona y acotada es convergente Teorema (de Bolzano-Weierstrass): Toda sucesión acotada de números reales posee alguna subsucesión convergente. El paso al límite preserva desigualdades: ( xk ? yk, ?k) ? (lim xk ? lim yk ) El paso al límite preserva operaciones aritméticas: – límite de una suma = suma de límites – límite de resta = resta de límites – límite de producto = producto de límites – límite de cociente = cociente de límites (si límite del denominador ? 0 )
Una sucesión tiende a ? si ? M > 0, ?k ??, tal que (h > k ? xh > M ) Una sucesión tiende a – ? si ? M > 0, ?k ??, tal que (h > k ? xh ? ? M )
Teorema: 1º Si lim (xk) = ? ? ? ? > 0, ? k, yk > ?, entonces lim (xk + yk) = ? 2º Si lim (xk) = ? ? ? ? > 0, ? k, yk > ?, entonces lim (xk yk) = ? 3º Si lim (xk) = ? ? ? ? > 0, ? k, ?yk? ? ?, entonces lim ( yk ? xk) = 0
Dada una sucesión, (xk) , su “serie” es la sucesión de sus sumas parciales: (x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3,… ). Cuando ésta converge, se dice que la “serie es convergente”; caso contrario, se dice que es una “serie divergente”. Se la representa por ? xk . Si el límite de la serie existe y es b, se escribe: b = ? xk .
Teorema: Si ?c > 0, ? n0 , ?k > n0 , xk ? c yk , siendo xk ? 0 ? yk ? 0 ; entonces la convergencia de la segunda serie implica la convergencia de la primera.
Teorema: Una serie es convergente sólo si su término general tiende a cero, es decir, que la convergencia de ? xk implica que 0 = lim xk.
Definición: Se dice que una serie, ? xk , es “absolutamente convergente” cuando es convergente la serie ? ?xk ?. Teorema: Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente.
Funciones Función: conjunto de pares ordenados, tal que no hay en él dos pares ordenados diferentes que posean el mismo primer elemento Dominio de una función: conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordenados pertenecientes a la función Codominio ó alcance de una función: conjunto de todos los segundos elementos de los pares ordenados pertenecientes a la función Se escribe f : A ? B si A es el dominio y B el codominio de la función f Imagen, mediante una función, de un subconjunto del dominio: Si f : A ? B y C ? A, entonces f (C) := {f (x): x ? C } es la imagen, mediante f, de C Dadas f : X ? ? y g : Y ? ?, tales que f (X) ? Y, entonces se llama composición de f con g (denotada por g ? f) a la función de dominio X que a cada elemento, x del dominio de f asigna g (f(x)). Esto es, g ? f : X ? ?, x ? g(f (x)). Dada una función f : X ? ?, la función inversa de f es una función g : cod (f) ? IR tal que g ? f = f ? g = idX , donde idX es la función identidad que a cada elemento x de X le asigna como imagen el mismo x, es decir, idX (x) = x, ?x de X. Es común denotar a la función inversa de f mediante f -1. No toda función posee función inversa; ejemplo: la f : X ? ?, x ? x2
Correspondencias y relaciones
F es una correspondencia de D en C si es una función de D en el conjunto potencia de C, es decir, F : D ? ?(C) . Para expresar esto mismo también se usará la notación F : D ? C. Una relación binaria en un conjunto dado es un subconjunto cualquiera del cuadrado cartesiano de dicho conjunto. Esto es, que R será una relación binaria en el conjunto C si R ? C ? C. Una relación ternaria en un conjunto dado es cualquier subconjunto del cubo cartesiano de dicho conjunto; y una relación cuaternaria, es un subconjunto de la cuarta potencia cartesiana del conjunto, etc.
Una relación binaria, ?, es reflexiva si ?x, x?x, esto es, (x, x) ??. Una relación binaria es simétrica si ?a ?b, a ? b ? b ? a. Una relación binaria, ?, es transitiva si ?a ?b ?c, a ? b ? b ? c ? a ? c. Una relación binaria es una equivalencia si ella es reflexiva, simétrica y transitiva.
Dado un conjunto, A, una partición de A es cualquier colección de subconjuntos no vacíos de A tal que la unión de todos ellos sea igual a A y que ellos sean mutuamente disjuntos.
Dada una relación de equivalencia en un conjunto, A, para cada elemento, x, la clase de equivalencia de x es conjunto de todos los elementos de A que son equivalentes a x.
Cada relación de equivalencia en un conjunto A determina una partición en dicho conjunto mediante sus clases de equivalencia. Se designa tal partición como A/ R, si R es la relación de equivalencia en A. A esta partición, A/ R, se la llama el conjunto cociente de la relación R.
Similarmente, dada una partición de un conjunto, se define una relación binaria en dicho conjunto, a saber, x R y ssi x y y pertenecen al mismo elemento de la partición. Es fácil verificar que es ésta una relación de equivalencia. A esta relación de equivalencia se la llama la relación de equivalencia inducida por la partición.
Nociones topológicas en ? z es un “punto interior” de X ? ?, si ?? > 0, tal que ] z-? , z+? [ ? X. El “interior de X”, int (X), es el {x ?X : x es pto. interior de X}. El intervalo ] z-? , z+? [ se llama la “?-vecindad” de z. Un subconjunto de ? es “abierto” si es igual a su interior. Teorema: La unión de cualquier colección de subconjuntos abiertos de ? es un subconjunto abierto de ?. Teorema: La intersección de cualquier colección finita de subconjuntos abiertos de ? es un subconjunto abierto de ?.
Un subconjunto de IR es “cerrado” si su complemento en IR es abierto. Teorema: La intersección de cualquier colección de subconjuntos cerrados es un subconjunto cerrado de ?. Teorema: La unión de cualquier colección finita de cerrados es un subconjunto cerrado de ?. x es “punto fronterizo” (o “punto de frontera”) de A si ? positivo ?, en la ? – vecindad de x hay al menos un punto de A y al menos un punto del complemento de A. La “frontera” de A, fr(A) ó ?A, es el {x ?A : x es pto. fronterizo de X}. La “clausura de A”, cl (A), es la unión de A con su frontera: cl (A) = A ? ?A.
Teorema: Un subconjunto A de ? es cerrado si, y sólo si, no hay ninguna sucesión convergente de puntos de A cuyo límite no pertenezca a A.
Teorema: 1º) La clausura de un subconjunto A de ? es el menor subconjunto cerrado de IR que contiene a A. 2º) El interior de un subconjunto A de ? es el mayor subconjunto abierto de ? que está contenido en A.
Un subconjunto de ? es “compacto” si es cerrado y acotado, esto es, si su complemento es abierto y hay algún positivo tal que ningún elemento de dicho subconjunto tiene valor absoluto mayor que ese positivo.
Teorema: Un subconjunto, X, de ? es compacto si, y sólo si, toda sucesión de puntos de X posee al menos una subsucesión convergente a un punto de X.
Teorema: Dado un “encaje” de compactos no vacíos (cada uno de ellos contiene a todos los siguientes), existe al menos un punto en la intersección de ellos; esto es, que dada (Ak) tal que (?k , Ak ? ? ? Ak compacto ? Ak ? Ak+1) ? ?{ Ak : k ? ?} ??.
Límites de funciones z es un “punto de acumulación de” A?? si ? positivo ?, la ?-vecindad de z posee algún punto de A distinto de z. El “conjunto derivado” de A, A?, es el {x ??: x es pto. de acum. de A}. Dados: una función f :A ? ?, con A ??; un punto de acumulación z de A y un número real, l, se dice que l es el “límite de f en z” si tan cerca como se quiera del número l están las imágenes mediante f de todos los puntos de A que estén bastante cerca de z pero sin ser el mismo z, esto es, que ?? > 0, ?? > 0 tal que ? x de A, (0 < ?x – z? < ? ? ?f(x) – l ? < ?). Esto se representa por: limz f = l; también se escribe a veces l = limx?z f(x).
Teorema: Si dos funciones, f y g, definidas en un mismo dominio X ? ? son tales que para cierto punto, z, de acumulación de A existen limz f y limz g, entonces, limz f < limz g ? ??,?x ? ] z-? , z+? [ ? X, f(x) < g(x).
Consecuencias: 1) Si limz f = F < M, entonces ??,?x ? ] z-? , z+? [ ? X, f(x) < M. 2) Si f : X ? ?, g: X ? ?, z es punto de acumulación de X y ?x de X?{z}, f(x) ? g(x); entonces limz f ? limz g.
Teorema (emparedado): Si tres funciones reales, f, g y h, definidas en un mismo X ? ?, son tales que para cierto punto, z, de acumulación de X, limz f = limz g, entonces, caso que ?x de X?{z}, f(x) ? h(x) ? g(x), ha de tenerse que limz h = limz f = limz g.
Teorema: Dada una función f : X ? ? ? ?, una condición necesaria y suficiente para que limz f = l es que para toda sucesión (xk) de puntos de X?{z} que tienda a z se tenga que l = lim (xk). Corolario 1 (unicidad del límite): Dada una función f : X ? ? ? ? y un punto de acumulación, z, del dominio X, o no existe el limz f ó sí existe y es único. Corolario 2 (límites y operaciones): Sean f y g funciones reales definidas en un mismo dominio, X ? IR, y sea z un punto de acumulación de X tal que existan los limz f y limz g. Entonces, (1º) existe limz (f + g) y es igual a limz f + limz g ; (2º) existe limz (f – g) y es igual a limz f – limz g ; (3º) existe limz (f g) y es igual a (limz f)(limz g); además, si la función g está acotada en alguna vecindad de z y 0 = limz f, entonces 0 = (limz f)(limz g); (4º) si limz g ? 0, entonces existe limz (f/g) y es igual a (limz f)/(limz g).
Dados una función f : A ? ?, un punto de acumulación, z, de A ? ]z, ?[ y un número real, l ; se dice que l es el “límite lateral diestro de f en z” si ?? > 0, ?? > 0 tal que ?x de X ? ]z, z+? [, se tenga que ?f(x) – l ? < ? .
Esto se representa por: limz+ f = l, que se lee: el límite lateral diestro en z de la función f es l. Dados: una función f : A ? ?, un punto de acumulación, z, de A ? ] -?, z [ y un número real, l; se dice que l es el “límite lateral siniestro de f en z” si ?? > 0, ?? > 0 tal que ?x de X ? ]z – ?, z[,se tenga que ? f(x) – l ? < ? . Esto se representa por: limz- f = l, que se lee: el límite lateral siniestro en z de la función f es l.
Dados un subconjunto de ? no acotado superiormente, X, una función f : X??, y un número real, l; se dice que “l es el límite de f en ?”, cosa que se escribe como l = lim? f, si ?? >0, ?M > 0, ?x de X, (x > M ? ? f(x) – l ? < ?. Para representarlo se escribe: l = lim? f ó, también, l = limx?? f(x). Dados un subconjunto de ? no acotado inferiormente, X, una función f :X??, y un número real, l ; se dice que “l es el límite de f en -?”, cosa que se escribe como l = lim-? f, si ?? >0, ?M < 0, ?x de X, (x < M ? ? f(x) – l ? < ?. Para representarlo se escribe: l = lim-? f ó, también, l = limx? -? f(x). Si a es un punto de acumulación del dominio de la función f : X ? ?, entonces se dice que “el límite de f en a es ?” si ?M > 0, ?? >0, ?x de X, ?x-a? < ? ? f(x) > M. Esto se expresa por: ? = lima f. En forma similar se define el que una función tenga a -? por límite en un punto de acumulación de su dominio. También es obvio el modo en que ha de definirse el que sea infinito el límite lateral (diestro o siniestro) de una función real en un punto de acumulación de su dominio.
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