Introducción Con el propósito de ahorrar trabajo, en lugar de utilizar la definición de la Transformada de Laplace en cierto tipo de funciones, conviene la utilización de algunas propiedades que simplifican el proceso. Estas propiedades se sintetizan enseguida.
Traslación en el eje sPRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN Si L {f(t)}=F(s) y a es cualquier número real, entonces: L {eatf(t)}=F(s-a)
Demostración: De acuerdo con la definición:
Problemas: Evalúe:
Función escalón unitario La función escalón unitario U (t-a) se define como:
Representación de funciones mediante la función escalón unitario Cuando una función f definida para toda t>0 se multiplica por U (t-a), la función escalón unitario “desactiva” una parte de la gráfica de dicha función. Por ejemplo, para “desactivar” de la función: f(t)=t-3 la porción de la gráfica de f en el intervalo 0< t< 2, simplemente se forma el producto: (t-3) U (t-2)
Representación de funciones mediante la función escalón unitario… La función escalón unitario también se puede usar para escribir funciones definidas por partes en forma compacta.Por ejemplo, si se consideran los intervalos 0< t< 2 y 2< t< 3 y los valores correspondientes de U (t-2) y U (t-3), la funciónsería: f(t) = 2 – 3 U (t-2) + U (t-3)
Representación de funciones mediante la función escalón unitario… También, la función definida por partesse puede expresar por: f(t) = g(t) – g(t) U (t-a) + h(t) U (t-a) De manera similar, una función del tipo:se escribe: f(t) = g(t)[ U (t-a) – U (t-b)].
Traslación en el eje tSEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN Si F(s)= L {f(t)} y a>0, entonces: L { f(t-a)U (t-a) } = e-asF(s).
Demostración:Mediante la propiedad del intervalo aditivo de integrales,
se puede escribir como la suma de dos integrales.
Traslación en el eje tSEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN…
Ahora bien, si v=t-a, dv=dt en esta última integral:
Problemas Obtenga la Transformada de Laplace para cada una de las funciones indicadas.
Derivadas de una transformada La Transformada de Laplace del producto de una función f(t) con t se puede encontrar mediante diferenciación de la Transformada de Laplace. Supongase que F(s)=L {f(t)} existe y que es posible intercambiar el orden de diferenciación e integración. Entonces:
Derivadas de una transformada… Se puede usar el último resultado para obtener la Transformada de Laplace de t2f(t);
Estos dos casos nos conducen a lo siguiente: Si F(s) = L {f(t)} y n=1, 2, 3, . . . , entonces
Problema Evalúe: L { t Cos(kt) }
Transformadas de integrales(Convolución) Si las funciones f y g son continuas por partes en [0,+Inf), entonces el producto especial, denotado por f*g, se define mediante la integral:
y se llama convolución de f y g. La convolución de f*g es una función de t
Teorema de convolución Si f(t) y g(t) son funciones continuas por partes en [0,+Inf) y de orden exponencial, entonces: L {f*g} = L {f(t)} L {g(t)} = F(s) G(s)
Forma inversa: L -1{F(s)G(s)} = f*g
Teorema de convolución… Demostración: Si se procede de manera formal, se tiene:
Teorema de convolución…
Manteniendo t fija, se permite que t=t+b, dt=db, de modo que:
Teorema de convolución…
Puesto que f y g son continuas y de orden exponencial, es posible intercambiar el orden de integración:
Problema Evalúe
Transformada de una integral Cuando g(t) = 1, L {g(t)}=G(s)=1/s; el teorema de convolución implica que la Transformada de Laplace de la integral de f es:
De manera inversa:
Problema Obtenga
Transformada de una función periódica Si una función periódica tiene un periódo T, T>0, entonces f(t+T)=f(t). Si f(t) es continua por partes en [0,+Inf), de orden exponencial y periódica en T, entonces:
Transformada de una función periódica… Primeramente escribiremos la Transformada como la suma de dos integrales:Cuando se hace t=u+T, la última integral se convierte en:De donde:
Problema Si:
y fuera del intervalo [0,2), f(t+2) = f(t) [Función de onda cuadrada]
Determine L {f(t)}.