Sistemas dinámicos y no dinámicos, el caos y el fractal

1. Resumen
2. Conceptos y métodos generales
3. Ciclos límites
4. Caos y complejidad
5. La teoría del caos mediante mapas iterativos
6. El caos y los fractales
8. Bibliografía

Resumen

Se presenta el tratamiento fisico-matemático de los sistemas dinámicos y no dinámicos haciendo hincapié en estos últimos lo cual permitirá acceder a la Teoría del Caos y del Fractal.

Conceptos y métodos generales

Se llama dinámicos a aquellos sistemas que experimentan variaciones de sus valores, cantidades o propiedades, con el tiempo. Dichos sistemas pueden ser físicos, químicos, biológicos, sociológicos, etc. Nos ocuparemos de los que su variación con el tiempo puede expresarse por sistemas de ecuaciones diferenciales del tipo:

dx/dt = f(x,y,z…)

dy/dt = g(x,y,z…)

aunque en este trabajo al principio sólo nos ocuparemos de sistemas de dos variables solamente en aras de simplificar la explicación.

La mayor parte de las veces. la resolución de las ecuaciones diferenciales correspondientes no será posible por los métodos matemáticos exactos, por lo que se procederá sólo a encontrar elementos que ayuden a bocetar las trayectorias fásicas mediante las cuales determinar puntos estacionarios. averiguar periodicidad de los procesos etc.

. Para ello necesitamos, no obstante recordar los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales por el momento lineales, aunque luego nos ocuparemos detenidamente de los no lineales que serán los que mas nos interesen.

Tomemos como ejemplo el sistema:

dx/dt = ax + by

dy/dt = cx + dy. que puede escribirse:

│ dx/dt │ │a b│ │x│

│dy/d t │ = │c d │ │y│

Como se conoce la solución tendrá la forma:

x = A exp λ1t+ B exp λ2t

y = C exp λ1t + D exp λ2 t ( t tiempo )

donde las λ se calculan por los valores propios mediante:

│a – λ b │ = 0

│ │

│ c d –λ │

que desarrollado da:

λ2 –( a + d ) λ + ( ad – bc ) = 0

haciendo la traza a + d = t y el determinante ad – bc = d, se tiene:

λ2 – tλ + d = 0 con sus soluciones:

λ1 = ( t + ( t2 – 4d )1/2 ) / 2

λ2 = ( t – ( t2 – 4d )1/2 ) / 2.

Los signos de λ sustituνdas éstas en las soluciones de x e y obtenidas anteriormente, determinarán si las curvas exponeciales correspondientes lo son de crecimiento ( signo mas) o decrecimiento ( signo menos) de los valores de x e y, Dichas ecuaciones de x e y con parámetro t, servirán para trazar las trayectorias fásicas en un sistema de coordenadas xy conformando el retrato fásico del sistema dinámico ( dx/dt, dy/dt ).

Dada la muy frecuente dificultad de resolver las ecuaciones diferenciales, se acude a métodos gráficos como el ir hallando los valores de la pendiente dy/dx en varios puntos del espacio fásico y en cada punto trazar una pequeña saeta en el sentido que indique el valor de la pendiente.y. de esa manera tener una idea del retrato fásico.El conjunto de saetas constituyen el campo vectorial del sistema. Se procede luego a situar los puntos estacionarios o sea de los puntos donde dx/dt = 0 y dy/dt = 0. Si las trayectorias fásicas tienden a converger en un punto estacionario, éste será un punto estable o sea un punto en el que pequeñas variaciones del estado del sistema no impedirán que este vuelva a su estado inicial. Los puntos estacionarios estables reciben también el nombre de atractores, el cual resulta muy utilizado en dinámica. Todo lo contrario ocurrirá cuando las trayectorias fásicas tiendan a alejarse de un punto estacionario, éste será inestable, pequeñas variaciones del estado del sistemas harán que éste no vuelva a su estado inicial. Los acercamientos y alejamientos de las trayectorias fásicas los determinarán los signos de las λ por razones similares a las antes explicadas para las soluciones de x e y. A su vez, como es obvio, esos signos vendrán determinados por los valores de la traza t y del determinante d.