Las funciones de autovarianza y autocorrelación
Se puede obtener los coeficientes de FAS a través regresiones.
Nota: Si la esperanza de no es cero, hay que añadir una constante en cada regresión.
Las funciones de autovarianza y autocorrelación Se puede demostrar que los coeficientes de FAS se pueden escribir como una función de coeficientes de FAP. Esta relación se llama el sistema de ecuaciones de Yule-Walker.
Estimación de los momentos muéstrales Para un proceso estocástico estacionario con ergodicidad, con una sola serie temporal, podemos estimar;
La función de autocovarianza La función de autocovarianza se puede estimar a través de la función de autocovarianza muestral:
Función de autocorrelacion simple Función de autocorrelacion simple muestral,
Función de autocorrelacion simple
función de autocorrelación parcial Para hacer la función de autocorrelación parcial muestral se puede aplicar MCO.
Procesos de ruido blanco Definición: es un proceso estocástico de ruido blanco si;
Es un proceso con media = 0, varianza constante, y sin autocorrelación. No se puede predecir a partir de su pasado.
Procesos de paseo aleatorio Definición (18) Un proceso estocástico sigue un paseo aleatorio si;
El valor en un momento es el valor del periodo anterior más un efecto aleatorio ruido blanco.
Procesos de paseo aleatorio
Procesos de paseo aleatorio Se puede generalizar el modelo e incorporar una deriva.
Procesos de paseo aleatorio Memoria permanente; todo los efectos aleatorios tienen un efecto permanente.
es una pendiente de una tendencia determinista. está formado por la suma de todo las perturbaciones pasadas.
Procesos de paseo aleatorio El primero momento;
Si el proceso no es estacionario en media.
Procesos de paseo aleatorio La varianza;
No es estacionario en varianza; tiene una tendencia (incrementa linealmente). Paseo aleatorio tiene una tendencia en varianza o tendencia estocástica.
Procesos de paseo aleatorio Otra manera de llegar al mismo resultado;
Procesos de paseo aleatorio Autocovarianza;
La autocovarianza tampoco es constante
Procesos de paseo aleatorio Conclusión: Paseo aleatorio no es estacionar. Esto complica la inferencia. De todos modos, hay un camino definida de variación a largo del tiempo.
Procesos de paseo aleatorio Si transformamos el proceso a través de una diferencia, la transformación sería estacionaria.
Procesos de paseo aleatorio Es importante detectar si un serie está generada por un pasea aleatorio.
1) La función de autocorrelación simple puede dar una indicación.
Una correlograma presentará los primeros coeficientes muy cerca de 1, y esta va decreciendo suavemente.
Procesos de paseo aleatorio
La FAP, resultaría en un primero coeficiente significativo y cerca de uno, mientras los siguientes coeficientes serán cero.
Procesos de paseo aleatorio Normalmente un FAS que está decreciendo muy lento con un primer FAP cerca uno y los restos cero, indica que podemos diferenciar para conseguir un serie temporal estacionario.
Procesos de paseo aleatorio Otra manera para saber si se debe diferenciar una serie temporal son los contrastes de raíces unitarias. Constaste de raíces unitarias. “unit roots”. Estima la ecuación;
Procesos lineales Definición: Un proceso estocástico es lineal cuando lo podemos escribir como una función de una combinación lineal (posiblemente infinita) de variables aleatorios de ruido blanco.
Procesos lineales Hay tres tipos de procesos estocásticos lineales;
Autoregresivas (AR) Media móvil (MA) ARMA (la combinación de AR y MA)
Procesos lineales Se puede introducir una constante para tener procesos con una media .
Se puede expresar los procesos con un polinomio de operadores de retardos. El operador de retardos L esta definido por;
Este operador retarda la serie tantas periodos como el exponente indica.
Procesos lineales Utilizando el operador de retardos y la generalización con el constante, , podemos escribir los procesos:
Se puede transformar procesos AR y ARMA en procesos MA.
Procesos lineales Teorema de Wold. Cualquier proceso estocástico estacionario se puede representar con una suma de dos procesos.
Donde es linealmente determinista y es un proceso :
Donde es ruido blanco.
Procesos lineales El proceso se puede aproximar a través modelos lineales, cuando el polinomio infinito se puede aproximar bien con un cociente de dos polinomios en
Transformaciones puede hacer series estacionarios y la teorema permite crear modelos relativamente sencillas a partir de modelos lineales.
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