Introducción
Las cónicas constituyen uno de los conjuntos de curvas más importantes de la Geometría y que más se utilizan en distintas ramas de la Ciencia y la Ingeniería.
Tradicionalmente, el estudio de las cónicas en el bachillerato es un estudio de tipo analítico, destinado a obtener sus ecuaciones en un determinado sistema de referencia, partiendo de unas definiciones que, en algunos casos, parecen sacadas de una chistera y deducir de ellas sus propiedades. Este enfoque práctico, no permite vislumbrar la belleza que esconden estas curvas al estudiar sus propiedades por métodos puramente geométricos; de hecho, ni siquiera sirve para justificar el nombre de cónicas ni permite saber de dónde han salido esas definiciones.
En este trabajo se hace una presentación de las cónicas desde un punto de vista totalmente geométrico. Se muestran cada una de estas curvas como intersección de un plano con un cono de revolución y, posteriormente, se demuestran sus propiedades utilizando las demostraciones basadas en las esferas de Dandelin.
Definición
Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.
Información de las cónicas, su construcción, historia, applets animados relizados con el programa regla y compas
La Parábola
La Hipérbola
La Elipse
Historia
La Parábola
Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.
La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p). Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz. Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje.
La ecuación para una parábola con eje focal paralelo al eje x, vértice en (h, k) y cuya distancia al foco es p es:
La ecuación para una parábola con eje focal paralelo al eje y, vértice en (h, k) y cuya distancia al foco es p es:
Construcción
Se debe tomar una hoja de acetato en ella se dibuja un punto. Para construir la parábola se dobla la hoja de tal manera que cualquier punto del borde inferior coincida con el punto dibujado y desdoblamos la hoja. Haciendo este procedimiento varias veces con un punto distinto del borde inferior cada vez, tendremos que las marcas de los dobleces han formado una parábola. El punto dibujado es el foco y el borde inferior de la hoja, la directriz.
Otra forma de encontrar una parábola es la siguiente. Se debe hacer un corte a un cono de unicel con un plano, la dirección del corte debe ser desde la base del cono a cualquier punto del cono. El perímetro de este corte será una parábola.
-Aplicaciones
Las aplicaciones de las parábolas son básicamente aquellos fenómenos en donde nos interesa hacer converger o divergir un haz de luz y sonido principalmente. Por ejemplo las antenas parabólicas, las lámparas sordas, los faros de los autos. Se pueden construir, por la misma propiedad de las parábolas, hornos solares. Los micrófonos de ambiente en algunos deportes también tienen forma paraboloidal.
Las parábolas tienen una propiedad Si se coloca una bombilla encendida en el foco de la parábola, algunos haces de luz serán reflejados por la parábola y todos estos rayos serán perpendiculares a la directriz. Esta propiedad es usada en las lámparas sordas o en los faros de los automóviles estos están formados por un paraboloide (parábola en 3 dimensiones) de espejos y una bombilla en el foco de este paraboloide. En algunas lámparas se puede mover la bombilla del foco y los haces de luz divergieran o convergerán. Este principio funciona también en las antenas parabólicas. Un satélite envía información a la Tierra, estos rayos serán perpendiculares a la directriz por la distancia a la que se encuentra el satélite. Al reflejarse en el plato de la antena (blanca, casi siempre) los rayos convergen en el foco en donde se encuentra un receptor que decodifica la información. También en los telescopios se usa esta propiedad.
La Hipérbola
Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (se representa por 2a).
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