Optimización de volúmenes de figuras geométricas

Introducción

El objeto de este artículo es determinar la forma concreta de algunas figuras geométricas (prismas, cilindros, pirámides y conos), especificada mediante algún tipo de relación entre parámetros dimensionales propios de las figuras consideradas, que maximizan el volumen para una superficie exterior dada o, de forma equivalente, minimizan la superficie exterior para un volumen dado. El interés práctico de este tipo de problemas es evidente puesto que en definitiva se determina el material mínimo de un recipiente o construcción que debe contener la máxima capacidad de volumen en su interior aunque no se consideren otros aspectos que, inevitablemente, también intervienen en el proceso de optimización del costo de estos elementos. Consideraremos, entre otros, los siguientes tipos de figuras geométricas:

• Prisma de base poligonal regular

• Cilindro

• Pirámide de base poligonal regular

• Cono

• Prisma de base rectangular

• Pirámide de base rectangular

Prisma de base poligonal regular abierto de n lados

Consideremos en un prisma con una base de polígono regular abierto por su parte superior los siguientes parámetros

n número de lados del polígono de la base

l Longitud del lado del polígono base

h altura de la figura

r distancia del centro a un vértice del polígono de la base

a apotema del polígono de la base

P perímetro del polígono de la base

Sb superficie del polígono de la base

Sl superficie de las caras laterales

St suma de Sb y Sl

V volumen del prisma

Algunos de estos parámetros se muestran a modo de ejemplo para el caso concreto de un prisma de base cuadrada en la figura 1, aunque el tratamiento matemático que desarrollaremos es válido para cualquier base de polígono regular de n lados

Figura 1.- Parámetros del prisma a considerar en el tratamiento

Las magnitudes r, a, l y n en un polígono regular cumplen las siguientes igualdades

Por otra parte la superficie lateral del prisma se podrá obtener de la siguiente forma, teniendo en cuenta la ecuación (3)

La superficie total de la figura vendrá dada por

St = Sb + Sl (7)

Si en la ecuación anterior tenemos en cuenta las ecuaciones (5) y (6) podemos poner

Para que St sea un valor extremo deberá anularse dSt/dh cumpliéndose la condición

ecuación que indica que la superficie mínima en un prisma de base poligonal regular de volumen dado cumple que el cociente de la altura dividido por el radio del polígono de la base es igual al coseno de un ángulo igual a 180º dividido por el número de lados de la base.

Otro parámetro indicativo de la optimización puede ser la relación entre la arista lateral h y el lado del polígono de la base l. Teniendo en cuenta las ecuaciones (2) y (15) obtendremos

Pirámide abierta de base poligonal regular de n lados

En este caso se trata de optimizar el volumen de una pirámide de pase poligonal regular con respecto a la superficie de sus caras laterales. La figura 2 muestra algunos parámetros considerados en el tratamiento.

Figura 2.- Parámetros de la pirámide a considerar en el tratamiento

En el polígono regular de la base se cumplirán las mismas ecuaciones (1-4) que se consideraron en la base del prisma.

La superficie de las caras laterales vendrá dada por la expresión

Si la ecuación (17) la elevamos al cuadrado miembro a miembro y en la expresión obtenida se sustituye r2 por la igualdad (20) después de simplificar obtenemos

Otro parámetro alternativo al proporcionado por la ecuación (24) para el proceso de optimización puede ser la relación entre la arista lateral de la pirámide (t) y el lado del polígono de la bse (l).

La arista lateral de la pirámide (t) cumplirá la relación

Las expresiones obtenidas para la optimización del prisma y la pirámide abiertos nos proporcionan de forma sencilla la optimización de figuras cerradas directamente relacionadas con ellas como son el prisma cerrado y la bipirámide cerrada por la base poligonal común.

Prisma cerrado de base poligonal regular de n lados

La unión de dos prismas abiertos optimizados en la forma que indica la figura 3 nos proporcionará la figura correspondiente a un prisma cerrado optimizado de base poligonal regular.

Figura 3. Unión de dos prismas abiertos para formar uno cerrado

Aplicando las propiedades de los prismas abiertos que componen la figura podemos poner

Bipirámide unida por la base poligonal regular de n lados

La unión de dos pirámides abiertas iguales unidas por su base da origen a una bipirámide cerrada tal como muestra la figura 4.Si las dos pirámides componentes están optimizadas en relación con el volumen que contienen también lo estará la bipirámide resultante. Si en la nueva figura llamamos h a la distancia entre los vértices de la bipirámide la ecuación 24 toma la forma

Dividiendo miembro a miembro la ecuación anterior por la ecuación (2) obtenemos

Figura 4.- Union de dos pirámides abiertas para formar una bipirámide cerrada

Figuras geométricas con base circular

Los cilindros y conos pueden considerarse como prismas y pirámides de base poligonal regular de infinito número de lados. De esta forma todas las expresiones obtenidas hasta ahora para la magnitud h/r para las diferentes figuras de base poligonal regular pueden aplicarse a las correspondientes figuras de base circular haciendo tender n a infinito. Se obtiene así las relaciones para valores h/r de figuras de base circular que se muestran en la tabla1

Tabla 1.- Relación h/r de figuras de base circular optimizadas

Cono cerrado

Supongamos un cono cerrado por la base con radio de la base r y altura del cono h tal como muestra la figura

Figura 5.- magnitudes a tratar en el cono de base cerrada

En este caso se cumplirán las siguientes expresiones

igualdad que muestra la relación h/r para un cono cerrado por la base de superficie mínima para un volumen dado

Prisma abierto de base rectangular

En este caso llamaremos h a la altura del prisma, L a la longitud del lado menor de la base y f al cociente entre la longitud del lado mayor de la base y el lado menor, tal como se muestra en la figura 6

Figura 6.- Magnitudes a tratar en el prisma abierto de base rectangular

Con los parámetros anteriormente de finidos se cumplirán las expresiones

Puesto que el proceso de optimización de la superficie supone un volumen constante la derivada de la expresión anterior con respecto a h deberá ser cero para un valor de St y de St/V mínimo, por lo que derivando la ecuación anterior e igualando a cero obtenemos

expresión que nos proporciona el valor del cociente de la altura del prisma y el lado menor de la base rectangular en función del factor de proporcionalidad f entre los dos lados de la base.

Tabla resumen

La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos sobre condiciones de optimización de volumen con respecto a la superficie de las figuras consideradas.

Tabla 2.-Condiciones de optimización del volumen con respecto a la superficie de distintas figuras geométricas

Autor:

Antonio Quirante Candel