Distribución de probabilidad uniforme
La distribución de probabilidad uniforme es un ejemplo de una distribución de probabilidad es continua. Una distribución de probabilidad es continua cuando los resultados posibles del experimento son obtenidos de variables aleatorias continuas, es decir, de variables cuantitativas que pueden tomar cualquier valor, y que resultan principalmente del proceso de medición.
Ejemplos de variables aleatorias continuas son:
La estatura de un grupo de personas
El tiempo dedicado a estudiar
La temperatura en una ciudad
Es una distribución en el intervalo [a,b] en la cual las probabilidades son las mismas para todos los posibles resultados, desde el mínimo de a hasta el máximo de b. El experimento de lanzar un dado es un ejemplo que cumple la distribución uniforme, ya que todos los 6 resultados posibles tienen 1/6 de probabilidad de ocurrencia.
La función de densidad de una distribución uniforme (altura de cada rectángulo en la gráfica anterior) es:
Donde:
a = mínimo valor de la distribución
b = máximo valor de la distribución
b – a = Rango de la distribución
La media, valor medio esperado o esperanza matemática de una distribución uniforme se calcula empleando la siguiente fórmula:
La varianza de una distribución uniforme se calcula empleando la siguiente fórmula:
La probabilidad de que una observación caiga entre dos valores se calcula de la siguiente manera:
Ejemplo ilustrativo
Sea X el momento elegido al azar en que un estudiante recibe clases en un determinado día entre las siguientes horas: 7:00 – 8:00 – 9:00 – 10:00 – 11:00 – 12:00 – 13:00
1) ¿Cuál es la función de densidad de la variable X?
2) Elaborar un gráfico de la distribución de probabilidades
3) Calcular el valor medio esperado
4) Calcular la desviación estándar
5) Calcular la probabilidad de que llegue en la primera media hora
6) Si recibe clases de Estadística Aplicada de 10:00 a 12:15, calcular la probabilidad de recibir esta asignatura.
Solución:
1) a = 7 y b = 13
Reemplazando valores en la ecuación de la función de densidad se obtiene:
2) Elaborando el gráfico de la distribución de probabilidad empleando Excel se obtiene:
Interpretación:
Cada rectángulo tiene 1 de base y 1/6 = 0,167 de altura.
El área de cada rectángulo es:
El área total (rectángulo de base el intervalo 7-13 y altura 1/6=0,167) representa a la suma de todas las probabilidades, y es igual a uno:
3) Reemplazando valores en la fórmula del valor esperado se obtiene:
4) Reemplazando valores en la fórmula de la varianza se obtiene:
5) Llegar en la primera media hora significa que llega a la 7:30. Por lo tanto se debe calcular la probabilidad entre las 7:00 y las 7:30.
Como 7:30 = 7horas + 30 minutos, y el porcentaje que representa 30 minutos de una hora es:
Por lo tanto se debe calcular la probabilidad entre 7 y 7,5
Aplicando la fórmula de la probabilidad entre dos valores se obtiene:
En el siguiente gráfico se muestra la probabilidad calculada:
6) Se debe calcular la probabilidad entre las 10:00 y las 12:15
Como 12:15 = 12horas + 15 minutos, y el porcentaje que representa 15 minutos de una hora es:
Por lo tanto de debe calcular la probabilidad entre 10 y 12,25
Aplicando la fórmula de la probabilidad entre dos valores se obtiene:
En el siguiente gráfico se muestra la probabilidad calculada:
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
TAREA
1) Realice un organizador gráfico de la distribución uniforme
2) Los tiempos de terminación de una obra varían entre 10 días y 18 días. ¿Cuál es la probabilidad de que se requiera entre 12 y 16 días para realizar la mencionada obra?. Realice un gráfico que ilustre la probabilidad calculada. Resuelva el ejercicio de manera manual y empleando Excel.
0,5
3) Ciertos recipientes contienen agua con un volumen uniformemente distribuido de media igual a 25 litros y un rango de 2 litros. Calcule la probabilidad de seleccionar un recipiente que contenga entre 24,5 y 26 litros. Realice un gráfico que ilustre la probabilidad calculada. Resuelva el ejercicio de manera manual y empleando Excel.
4) Sea X el momento elegido al azar en que un estudiante recibe clases en un determinado día entre las siguientes horas: 15:00 – 16:00 – 17:00 – 18:00 – 19:00 – 20:00 – 21:00. Resuelva el ejercicio de manera manual y empleando Excel.
4.1) ¿Cuál es la función de densidad de la variable X?
0,167
4.2) Elabore un gráfico de la distribución de probabilidades
4.3) Calcule el valor medio esperado
18
4.4) Calcule la desviación estándar
1,732
4.5) Calcule la probabilidad de que llegue en los primeros 15 minutos. Realice un gráfico que ilustre la probabilidad calculada.
0,042
4.6) Si recibe clases de Estadística Aplicada de 19:30 a 21:00, calcular la probabilidad de recibir esta asignatura. Realice un gráfico que ilustre la probabilidad calculada.
0,25
5) Sea X el contenido de envases de azúcar producidos por la empresa D & M elegido al azar. El contenido de los envases varía entre 999 y 1001 gramos. Resuelva el ejercicio de manera manual y empleando Excel.
5.1) ¿Cuál es la función de densidad de la variable X?.
0,25
5.2) Elaborar un gráfico de la distribución de probabilidades.
5.3) Calcular el valor medio esperado.
1000
5.4) Calcular la desviación estándar.
1,155
5.5) Calcular la probabilidad de que un envase pese entre la esperanza matemática y 1000,5 gramos. Realice un gráfico que ilustre la probabilidad calculada.
0,125
6) Cree y resuelva 2 ejercicios de aplicación sobre la distribución uniforme empleando datos reales sobre cualquier tema de su preferencia. Resuelva de manera manual y empleando Excel.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Interamericana Editores S.A. Bogotá, Colombia
Autor:
Mario Orlando Suárez Ibujes