Metodo del Punto Fijo en Visual Basic

Introducción

En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un problema ó al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere de algunos métodos para resolverlos en forma eficiente.

Los métodos numéricos que resuelven los sistemas se pueden clasificar en directos e indirectos. Los métodos directos son aquellos que determinan la solución en un número determinado de pasos; y los métodos indirectos o iterativos son aquellos que obtienen la solución aproximándose a ella en un número finito, pero no definido de pasos. [1]

Este trabajo muestra el uso de un programa para la resolución de las ecuaciones lineales a través del método indirecto de Aproximación de Punto Fijo. Como se dijo antes, los métodos de aproximaciones sucesivas son requeridos muy frecuentemente para la solución de problemas complejos en ingeniería, por lo que desarrollar un programa que agilice los cálculos, mediante el uso de un software ampliamente utilizado como lo es Visual Basic, facilita las labores de diseño considerablemente. Dicho programa permite la realización de los cálculos en forma rápida, exacta y sencilla. Así mismo, se presenta como una alternativa innovadora de solución que construye sobre lo ya conocido en cursos de computación y métodos numéricos y que puede ser utilizada en los diversos cursos de mecánica de fluidos, hidráulica, termodinámica, etc., que se imparten en las instituciones de educación superior.

Marco teórico

Este método del Punto fijo se aplica para resolver ecuaciones de la forma

Si la ecuación es  entonces puede despejarse  ó bien  sumar  en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada. 

Ejemplos:

De aquí tenemos que:

Ejemplo

Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos:

Con un error aproximado igual al 28.41%.

En este ejemplo, el  método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1%. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

De donde vemos que la aproximación buscada es:

Algoritmo

Pseudocódigo:

`Para hallar una raíz de la ecuación g(x) = x , se proporciona la función f(x)`

DATOS: Valor inicial X0, Criterio de convergencia e, Numero de iteraciones N, función f(x)

RESULTADO: la raíz aproximada X o un mensaje de falla

Dim Función as string; Dim x0, e as double; Dim N as integer

Inicio

i = 0

Hasta i = N o ? X – x0 ? < e hacer

X = g(x0)

If ? X – x0 ? < e then

Imprimir ("solución es" & X & "y el valor de comprobación" & f (X) &)

else

i= i +1

x0 = X

Fin si

Fin ciclo

If ? X – x0 ? > e then

Imprimir ( "El metodo no converge a una raiz")

Fin si

Fin

Diagrama de flujo

CODIFICACION DEL ALGORITMO