La matemática y las relaciones espaciales en consecuencia a la explicación del origen

Resumen

Sean M una superficie y H un subgrupo de _1M. En este artículo estudiamos los subgrupos conmensuradores C1M(H) de 1M, y extendemos un resultado obtenido por L. Paris y D. Rolfsen en [7], cuando H es un subgrupo geométrico de 1M. También se dará una aplicación de estos subgrupos conmensuradores a la teoría de representaciones de grupos. Finalmente, considerando ciertas curvas cerradas en la botella de Klein, se aplicará una clasificación de estas curvas a la Teoría de Nielsen de auto-intersección.

Palabras y frases clave. Comensurador, grupo fundamental, superficie.

Abstract.

Let M be a surface, and let H be a subgroup of 1M. In this paper we study the commensurator subgroup C1M (H) of 1M, and we extend a result of L. Paris and D. Rolfsen [7], when H is a geometric subgroup of 1M. We also give an application of commensurator subgroups to group representation theory. Finally, by considering certain closed curves on the Klein bottle, we apply a classification of these curves to self-intersection Nielsen theory.

Key words and phrases. Commensurator, Fundamental group, Surface.

2000 Mathematics Subject Classification. 20F65, 57M05.

Introducción

"¿Cómo se explica que las matemáticas siendo un producto de la mente humana, independiente de la existencia, estén tan admirablemente adaptadas a la realidad?", se preguntó en su magnífico ensayo Geometría y Experiencia, el gran físico teórico, creador de una de las más revolucionarias teorías acerca de las leyes que gobiernan nuestro universo y uno de los más grandes genios de la humanidad. Albert Einstein no fue el único hombre que tuvo esta duda, ni mucho menos el primero, ni tampoco alguien que diera una respuesta definitiva al respecto. Esto por que muchas veces resulta asombroso ver como partiendo de un conjunto de principios definidos bajos ciertas reglas se llegan a conclusiones que ni se pensaron cuando éstos se construyeron, o para lo que se construyeron; descubriendo nuevas propiedades y teoremas. O encontrar que en la naturaleza existen singulares fenómenos que al parecer siguen un orden estricto y en cualquier circunstancia, cual máquina programada para realizar un trabajo, estos fenómenos se repiten rígidamente como manejados por una mano invisible.

Uno de los tantos ejemplos que existen de lo anterior es sin duda el de la constante de Planck. Max Planck, alemán, premio nobel de física, después de veinte años de trabajo alcanzó su ansiada meta. Realizó el siguiente experimento: calentó hasta la incandescencia un cuerpo hueco, dejó salir un rayo de radiación a través de una pequeña abertura, rayo que analizó en un electroscopio. El experimento lo repitió múltiples veces y encontró que la energía radiante no es una corriente continua. Es emitida en cantidades integrales, o cuantos, que pueden ser expresados en números integrales. En otras palabras, la medida siempre proporciona múltiples integrales de h v, donde v es la frecuencia y h una cantidad universal, conocida como la constante de Planck. El descubrimiento tiene dos logros, uno, su habilidad técnica para medir el valor de esta constante y otro, el más importante a mi juicio, encontrar que ninguna radiación puede ser emitida a no ser que se trate de esa cantidad o de un múltiplo entero de ella. Es decir, una estufa no puede proporcionar calor hasta que haya acumulado al menos esa cantidad. La radiación de su calor aumentará hasta que acumule el doble de la cantidad inicial y así sucesivamente.

Se Pone este ejemplo, a pesar de ser poco conocido por el común de la gente, no solo por que me parezca asombroso que el valor de esta constante sea igual tanto en el laboratorio, en el mundo y en las estrellas, lo que por sí ya es sumamente inquietante, y sin duda que ejemplos como este hay en grandes cantidades. Sino que además a partir de este descubrimiento se pone en tela de juicio el principio de causalidad, tema al cual el propio Planck dedicó gran parte de su tiempo, y que refuta la antigua creencia de que todos los procesos siguen el orden causa efecto, produciéndose un gran quiebre entre como se pensaba que la naturaleza se regía y como realmente lo hacía, pensándose actualmente incluso que en algún futuro los efectos pueden preceder a las causas y el tiempo correr en sentido contrario.

En la actualidad y desde hace algún tiempo existe, entre el público, gran interés por la física, ello debido a que la física es la expresión más vital del pensamiento humano de nuestros días. Además, el contenido metafísico de las más altas especulaciones de la física teórica parece ser el sustento favorito para el hambre del alma que antes era apaciguada con los ideales del arte y de la religión.

Este hambre de saber, de querer desentrañar la trama oculta del universo, de conocer el orden de las cosas, si es que realmente existe, de tener algo concreto en las manos que nos indique que conocemos nuestro entorno, no es algo reciente, sin duda.