Pi: Límite de las constantes de semiproporcionalidad en los Polígonos Regulares

El número pi ha ocupado la atención de innumerables matemáticos a través en todos los tiempos. Históricamente, el número pi se presenta junto con la deducción de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia, para lo que sólo se contaba con el radio (o el diámetro) y una interrelación, entre los elementos anteriores, que era evidente al trazar circunferencias con cuerda o compás.

Desde que fue introducido en el cálculo geométrico, pi ha recibido diversos tratamientos para obtener su valor con una aproximación más refinada y con mayor cantidad de cifras decimales. Así tenemos que en diferentes épocas y regiones geográficas se han utilizado diversos valores para pi que van desde el entero 3 (citado en la Biblia) y 3,125 en Babilonia; 3,10, o 3,14, o 3,1447 o 3,14159 en China; 3,16 en Egipto; 3,09 en India; hasta los valores conocidos hoy, cuyos decimales se cuentan por millones. Las enormes cantidades de cifras decimales se consiguen mediante el uso de software basado en algoritmos diseñados, mucho antes de existir la computadora, por eminentes matemáticos como Viéte, Wallis, Newton, Leibnitz, Euler, Ramanujan y otros.

No obstante que el número pi haya sido estudiado durante tanto tiempo (y todavía se estudie), se le ha tratado como número aislado dentro del universo matemático. Los antiguos procedimientos geométricos han sido suplantados por aritméticos y analíticos que lo aíslan más; hasta existen procedimientos probabilísticos para determinar su valor aproximado como el de los alfileres propuesto por Leclerc o el de los dardos, conocido como Método de Montecarlo. En este artículo veremos que pi no está solo: sino que está acompañado de una serie de valores que solamente se han tomado como aproximaciones del valor buscado, sin caer en cuenta que forman parte de una familia de infinitas constantes análogas apretujadas en un pequeño intervalo real.

Utilizaremos la definición usual de pi "razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro".

Si L es la longitud de una circunferencia cualquiera y d su correspondiente diámetro tendremos:

Y como d=2r, siendo r el radio, tenemos que se puede expresar:

La última expresión nos conduce a otra de las definiciones conocidas del número pi: "la razón entre la longitud de la semicircunferencia y el radio".

Igual que en la circunferencia, en cualquier polígono regular se evidencia una interrelación entre la apotema y el perímetro ya que al variar cualquiera de los dos elementos también variará el otro en el mismo sentido que el primero. Estas variaciones también se experimentan con otros elementos del polígono regular como el radio y los diagonales.

Haremos una partición del conjunto de los polígonos regulares en conjuntos que llamaremos Clases, y que notaremos con Cn donde n es el número de lados. Como en cada clase de polígono regular: apotemas diferentes originan polígonos diferentes (aunque semejantes), resulta obvio que a cada apotema le corresponde un único polígono regular dentro de una clase dada. La unicidad del polígono nos lleva también a la unicidad del radio, del perímetro, del lado y del área. Entonces, como sucede con el círculo, cualquier polígono regular está bien determinado si se da su clase y cualquiera de los elementos mencionados. Luego podemos referirnos sin equivocación, por ejemplo, al hexágono regular de 2 m de apotema; o al decágono regular de 3 m de lado, o de 100 m2 de área, o de 1 Km. de perímetro, etc.

Lo anterior nos permite establecer diversas razones entre elementos del polígono regular; de las que: por analogía con el círculo, por su sencillez y porque muchos de sus valores son conocidos, trataremos sólo la interrelación perímetro-apotema.

Sea cualquier polígono regular de la clase Cn y sea p el correspondiente perímetro y a su apotema. Denotaremos la razón entre el semiperímetro y la apotema con Kan y demostraremos que tal razón es única para cada clase; por lo que puede nombrársele apropiadamente como: Constante de Semiproporcionalidad en los Polígonos Regulares. Es decir:

Expresando el perímetro en función del lado l y aplicando propiedades de la multiplicación:

Observemos, ahora, a que corresponde en el polígono regular.

Tomaremos uno de los triángulos isósceles con vértice al centro del polígono que definen dos radios consecutivos y el lado entre éstos.

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En la ilustracion de la izquierda se representa uno de esos triángulos. El ángulo en la parte superior (ángulo central) al ser bisecado determina dos triángulos rectángulos con catetos l/2 y a e hipotenusa igual al radio, siendo l/2 el cateto opuesto al semiángulo central.

Es evidente que es la tangente del semiángulo central del polígono regular.

Como la medida del ángulo central es 360°/n, la del semiángulo central es:

360°/2n = 180°/n, por lo que

Y la constante de semiproporcionalidad se puede escribir:

 Es decir: el valor de kn es n veces la tangente del semiángulo central del polígono regular de n lados.

Como se ha visto, la constante de semiproporcionalidad depende sólo del número de lados y, en consecuencia, todos los polígonos regulares de una misma clase poseen la misma constante (1). Ahora pasaremos a demostrar que las constantes son únicas para cada clase:

Sean las clases Cn y Cm y sus constantes de semiproporcionalidad kn y km, respectivamente, tales que n y m son números naturales mayores que 2 y n ≠ m. Se trata de demostrar que kn ≠ km.

Por Reducción al Absurdo:

Sean m y n números naturales tales que n > m≥3,

Supongamos cierto que kn = km. Luego

 Tomemos un polígono regular de la clase Cn y otro de la clase Cm con la misma apotema a y sean ln y lm las longitudes de los lados respectivos.

En el polígono de la clase Cn tenemos:

 En el polígono de la clase Cm tenemos:

 Luego:

 Es decir: los perímetros de ambos polígonos son iguales. Lo que es un absurdo ya que, por construcción, se ha demostrado que los perímetros de los polígonos regulares con igual apotema tienden a la longitud de la circunferencia inscrita, disminuyendo en la medida que se incrementa el número de lados. Como el absurdo provino de suponer la igualdad de las constantes de semiproporcionalidad en clases diferentes, queda demostrado que tales constantes en clases diferentes, también son diferentes (2).

De (1) y (2) se concluye en que cada clase de polígono regular posee una constante de semiproporcionalidad propia que se denota con kn, donde n indica el número de lados que identifica la clase y su valor se calcula mediante la fórmula:

A manera de ejemplo citaremos algunas de estas constantes con aproximaciones de diez y doce cifras decimales:

 Como se mencionó antes, algunos de estos valores fueron conocidos durante la búsqueda del valor de pi por el procedimiento de aproximacines sucesivas de polígonos regulares inscritos y circunscritos a un círculo dado. ¿ Esas constantes tienen alguna aplicación útil?. Claro que si: de entrada cumplen, en cada clase de polígono regular, funciones análogas a las de pi en las fórmulas del círculo. Esto ha la deducción y diseño de fórmulas con idéntica estructura para los polígonos regulares y el círculo. Entre estas, por ejemplo, tenemos An=kna2 para el cálculo de áreas. Acerca de las fórmulas mencionadas puede consultar en la red la monografía del mismo autor: Area de los Polígonos-enfoque para el cálculo.

Hemos visto que el número pi no está solo; sino que forma parte de una familia de infinitas constantes, relativamente pequeñas en el conjunto de los números reales, ubicadas en un intervalo apenas mayor a dos (2) unidades de longitud. Al observar los valores de las constantes de semiproporcionalidad en los polígonos regulares podemos decir que:

 Para finalizar diré que el utilísimo y asombroso número pi me causa ahora más asombro; dado que: siendo el más viejo conocido de la familia……, resultó ser el menor de todos los hermanitos.

Atentamente,

Gustavo Yanes Yanes

República Bolivariana de Venezuela.

NOTA: Para la redacción de este artículo se ha consultado la bibliografía señalada en la monografía recomendada arriba y los siguientes artículos en la red:

Historietas de Pi by Ramón Llorens Moreno

CALCULO DEL # PI Por: Fernando Valdés Macías