h Cuerpos Platónicos Tetraedro Construcción Se construyen 4 triángulos equiláteros que tengan la medida a. a a Tetraedro Fórmula para el área Se calcula el área de un triangulo equilátero. sen60°=h ? h=b.sen60° ? h=v3.a a Atriángulo=a.v3.b 2 a 4 Atriángulo=v3.a2 4 60° 1
Atetraedro=4.v3.a2 4 Atetraedro=a2.v3 Fórmula para el volumen Se calcula el volumen del tetraedro. ap h a x x 30° a 2 tan30°=2.x ? x=a.tan30° ? x=a.v3 ? x=v3.a a 2 2 3 6 ap=v3.a ? ap2=h2+x2 ? h2=ap2-x2 ? h2=(v3.a)2-(v3.a)2 ? h2=3.a2-3.a2 ? h=v(2.a2) ? h=v6.a 2 2 6 4 36 3 3 Vtetraedro=1.v3.a2.v6.a=v18.a3=3.v2.a3 3 4 3 36 36 Vtetraedro= a3.v2 12 Hexaedro Construcción Se construyen 6 cuadrados que tengan la medida a. a 2
a Hexaedro Fórmula para el área Se calcula el área de un cuadrado. Acuadrado=a.a Acuadrado=a2 Ahexaedro=6.a2 a Fórmula para el volumen Se calcula el volumen del hexaedro. a 3
Vhexaedro=a.a.a Vhexaedro=a3 Octaedro Construcción Se construyen 8 triangulos equilateros que tengan la medida a. a a Octaedro 4
2 a 2 2 2 2 2 2 2 2 3 Fórmula para el área Se calcula el área de un triangulo equilatero. sen60°=h ? h=b.sen60° ? h=v3.b b Atriángulo=a.v3.b=v3.a 2 4 4 h a Aoctógono=8.v3.a2 4 Aoctógono= 2.a2.v3 60° Fórmula para el volumen Se calcula el volumen de la pirámide. a h y a 2 y a 2 y2=(a)2+(a)2=2.a2=a2 ? y=v2.a 2 2 4 2 2 a =h +y ? h =a -y ? h =a2-(v2.a)2 ? h2=a2-a2 ? h2=a2 ? h=v2.a 2 2 2 2 Vpirámide=1.a .v2.a ? Vpirámide=v2.a 3 2 6 Voctaedro=2.Vpirámide ? Voctaedro=2.v2.a3 6 Voctaedro=a3.v2 3 5
Dodecaedro Construcción Se construyen 12 pentagonos regulares que tengan la medida a. a a Dodecaedro Fórmula para el área Se calcula el área de un pentagono regular. tan72°=2.b ? b=a.tan54°=a.sen54° a 2 2.cos54° cosn.t+i.senn.t=(cost+sent)n ? n=5 ^ t=54° cos5.t+i.sen5.t=(cost+i.sent)5 b 54° a 2 6
(cost+i.sent)5=cos5t+5.cos4t.i.sent+10.cos3t.i2.sen2t+10.cos2t.i3.sen3t+5.cost.i4.sen4t+i5.sen5t= cos5t+5.cos4t.i.sent-10.cos3t.sen2t-10.cos2t.i.sen3t+5.cost.sen4t+i.sen5t= cost.(cos4t-10.cos2t.sen2t+5.sen4t)+i.sent.(5.cos4t-10.cos2t.sen2t+sen4t)= cost.[cos4t-10.cos2t.(1-cos2t)+5.(1-cos2t)2]+i.sent.[5.(1-sen2t)2-10.(1-sen2t).sen2t+sen4t]= cost.(cos4t-10.cos2t+10.cos4t+5-10.cos2t+5.cos4t)+i.sent.(5-10.sen2t+5.sen4t- 10.sen2t+10.sen4t+sen4t)= cost.(16.cos4t-20.cos2t+5)+i.sent.(16.sen4t-20.sen2t+5)= 16.cos5t-20.cos3t+5.cost+i.(16.sen5t-20.sen3t+5.sent)=cos5.t+i.sen5.t ? cos5.t=16.cos5t-20.cos3t+5.cost ^ sen5.t=16.sen5t-20.sen3t+5.sent ? t=54°, cost=x ^ sent=y cos270°=16.x5-20.x3+5.x=0 ^ sen270°=16.y5-20.y3+5.y=-1 16.x4-20.x2+5=0 ^ 16.y5-20.y3+5.y+1=0 ? (16.y5-20.y3+5.y+1):(y+1)=16.y4-16.y3-4.y2+4.y+1 ? 16.y4-16.y3-4.y2+4.y+1=0 16.y4-16.y3+4.y2-8.y2+4.y+1=(4.y2)2-2.4.y2.2.y+(2.y)2-2.(4.y2-2.y)+1=(4.y2-2.y)2-2.(4.y2-2.y).1+12= [(4.y2-2.y)-1]2=0 ? 4.y2-2.y-1=0 ? y1-2-3-4=2±v(4+16)=2±v20=2±2.v5=1±v5 ? sen54°=1+v5 8 8 8 4 4 16.x4-20.x2+5=0 ? x1-2-3-4=±v[20±v(400-320)]=±v(20±v80)=±v(20±4.v5)=±v(10±2.v5)= 32 32 32 16 ±v(10±2.v5) ? cos54°=v(10-2.v5) 4 4 b= a.(1+v5).4 =a.(1+v5).v(10+2.v5)=a.v[(1+v5)2.(10+2.v5)]=a.v5.v[(1+2.v5+5).(10+2.v5)]= 2.v(10-2.v5).4 2.v80 8.v5 40 a.v5.v[(6+2.v5).(10+2.v5)]=a.v5.v(60+12.v5+20.v5+20)=a.v5.v(80+32.v5)=a.v5.v[16.(5+2.v5)]= 40 40 40 40 a.v5.4.v(5+2.v5)=a.v5.v(5+2.v5) 40 10 Atriángulo=a.a.v5.v(5+2.v5)=a2.v5.v(5+2.v5) 2.10 20 Apentágono=5.b2.v5.v(5+2.v5)=a2.v5.v(5+2.v5) 20 4 Adodecaedro=12.a2.v5.v(5+2.v5) 4 Adodecaedro=3.a2.v5.v(5+2.v5) 7
2 2 2 Fórmula para el volumen Para poder calcular el volumen tenemos que imaginarnos el cuerpo cortado por la mitad y ejes concéntricos de la siguiente forma. ?=360°=36° 10 ? Imaginamos que el dodecaedro se puede dividir en 12 piramides de base pentagonal concéntricos, y nos imaginamos por donde pasan los ejes con respecto a la piramide. ap ap y y y2=(a)2+(a)2-2.a.a.cos108°=a2-a2.cos108°=a2.(1-cos108°) ? 2 2 22 2 2 2 cos108°=cos2.54°=1-2.sen254°=1-2.(1+v5)2=1-(1+v5)2= 8-1-2.v5-5=2-2.v5=2.(1-v5)=1-v5 4 8 8 8 8 4 108° y y =a .[1-(1-v5)]=a .(4-1+v5)=a2.(3+v5) ? y=a.v2.v(3+v5) 2 4 2 4 8 4 a 2 8
36° 72° ap = y .? ap=y.sen72° ? sen72° sen36° sen36° sen72°=sen2.36°=2.sen36°.cos36° ^ cos36°=sen(90°-36°)=sen54° ? ap=y.2.sen36°.sen54°= ap 2.y.sen54°=2.a.v2.v(3+v5).v(1+v5)2= 4 4 sen36° a.v2.v[(3+v5).(1+2.v5+5)]=a.v2.v[(3+v5).(6+2.v5)]= 8 8 a.v2.v2.v[(3+v5).(3+v5)]=a.2.v(3+v5)2=a.(3+v5) y 8 8 4 h ap b ap2=h2+b2 ? h2=ap2-b2=[a.(3+v5)]2-[a.v5.v(5+2.v5)]2=a2.(3+v5)2-a2.5.(5+2.v5)= 4 10 16 100 a2.(9+6.v5+5)-a2.(5+2.v5)=a2.(14+6.v5)-a2.(5+2.v5)=a2.(7+3.v5)-a2.(5+2.v5)=a2.(25+11.v5) ? 16 20 16 20 8 20 40 h=a.v40.v(25+11.v5)=a.2.v2.v5.v(25+11.v5)=a.v2.v5.v(25+11.v5) 40 40 20 Vpirámide=1. a2.v5.v(5+2.v5).a.v5.v2.v(25+11.v5)=5.a3.v2.v(125+55.v5+50.v5+110)= 3 4 20 240 5.a3.v2.v(235+105.v5)= 5.a3.v2.v5.v(47+21.v5) 240 240 Vdodecaedro=12. 5.a3.v2.v5.v(47+21.v5) 240 Vdodecaedro=5.a3.v2.v5.v(47+21.v5) 20 9
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