Construcción de fractales clásicos propuesta didáctica
Enviado por Jorge Eliécer Villarreal Fernández
Introducción
Este trabajo es una propuesta para introducir los conceptos y procedimientos básicos de la Geometría Fractal en el bachillerato. La Geometría Fractal es un área de investigación muy reciente en matemáticas cuyo desarrollo se ha visto acelerado gracias a sus inmensas aplicaciones en diferentes campos de la ciencia y la tecnología y al desarrollo de los computadores. Estudia figuras altamente irregulares generadas a través de procesos recursivos que tienen como característica fundamental autosimilaridad y dimensión no entera. Lo primero significa que poseen alguna propiedad invariante bajo el cambio de escala. Por ejemplo, a veces la rama de un árbol está compuesta por pequeñas ramas que tienen una forma muy parecida a la totalidad de la rama. Lo segundo significa que no posee las dimensiones usuales: uno, la de la línea; dos, la del plano y tres, la del espacio. Es decir, son figuras que pueden habitar en espacios intermedios. Por ejemplo, encontrarse en el plano y en el espacio. En el trabajo sólo trataremos con el plano.
Este trabajo ha sido motivado por el interés que despierta el estudio de esta rama de la matemática en investigadores, profesores, alumnos y personas no especializadas. Este material didáctico enriquece los cursos normales de matemáticas al aportar nuevos contextos de enseñanza. Además brinda a los estudiantes la oportunidad de reforzar sus conocimientos en matemáticas y reducir de esta manera la dificultad que ellos tienen con su aprendizaje. Al mismo tiempo los familiariza a muy temprana edad con temas científicos muy recientes, lo que aumenta la probabilidad de hacer avanzar la ciencia y la tecnología, pues entre estos jóvenes pueden existir algunos muy inquietos que se interesen seriamente por estos temas. Pero también es una ayuda para el profesor, ya que le da la posibilidad de ponerse al tanto de los avances de su propia disciplina y al mismo tiempo, encontrar elementos para enriquecer su actividad docente.
El trabajo aborda, por espacio, sólo la construcción de dos fractales clásicos: el conjunto de Cantor y el Triángulo de Sierpinski. La construcción de estos fractales se hace por medio de un método estático y otro dinámico. El primero no usa movimientos en el plano mientras que el segundo sí. Sin embrago ambos se fundamentan en un proceso recursivo y podrían ampliarse al resto de fractales clásicos.
Entonces el problema es la construcción de los fractales antes mencionados y para esto se plantean una serie de instrucciones que el estudiante al ir siguiendo va reconociendo cada una de las características del fractal y de su construcción. Esto quiere decir que se parte de los procesos de pensamiento, desde la observación y se va desarrollando hasta el planteamiento de hipótesis y la comparación de estas hipótesis con otras.
Las actividades planteadas nos brindan la posibilidad de trabajar con estudiantes diversos en el aula ya que como se va a construir conocimiento cada uno parte de sus potencialidades y tiene la posibilidad de obtener la información que le haga falta y profundizar hasta donde cada uno de ellos quiera ya que no hay limites para el desarrollo del pensamiento.
La propuesta esta diseñada para aplicar en los grados noveno, décimo y once. Sin embargo por la forma en que se realiza el desarrollo de las actividades y la construcción de conocimiento, se puede trabajar desde el grado sexto, teniendo en cuenta el nivel de conocimiento adquirido por estudiantes de este grado.
La problemática esta incluida en cada una de las dos secciones a trabajar, lo mismo que un corto recuento histórico que contextualice al alumno y le posibilite un mayor nivel de motivación.
OBJETIVO GENERAL
Construir en forma estática y dinámica e identificar patrones numéricos y geométricos en las estructuras clásicas de los fractales.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
a. Construir mediante una secuencia de instrucciones el conjunto de Cantor y elaborar otras formas alternativas de este conjunto con base en la misma idea de construcción.
b. Encontrar patrones aritméticos y algebraicos en el proceso de construcción del conjunto de Cantor y sus formas alternativas.
c. Construir el conjunto de Cantor mediante la aplicación de movimientos en el plano descritos verbalmente. Los movimientos que serán sujetos a dicha descripción son la homotecia y la traslación.
d. Construir el triángulo de Sierpinski mediante la realización de una secuencia de instrucciones.
e. Reconocer patrones numéricos y geométricos subyacentes en el triángulo de Sierpinski.
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