Introducción
El propósito de este artículo es desarrollar una aproximación teórica sencilla que, en una primera instancia, proporcione datos significativos del grado de achatamiento de la superficie terrestre con respecto a una esfera como consecuencia de la rotación diurna de la Tierra. A tal efecto consideraremos la forma de la Tierra como la determinada por superficie de los océanos que, en ausencia de rotación de la Tierra adoptara una forma esférica , y que por efecto de rotación diurna sufre un achatamiento polar.
Fundamento teórico
Consideremos como se modifica la forma de la superficie horizontal aparente, entendida esta como la perpendicular a la plomada en cada punto, por efecto de la rotación de la Tierra.
Para un cuerpo sometido a la acción de la gravedad en reposo la fuerza necesaria para mantenerla en esa situación sería igual y de sentido contrario a la acción de la gravedad y estaría dirigida siempre hacia el centro de la Tierra ( F=mg). La línea horizontal aparente del meridiano local sería un círculo, tal como se muestra en la figura 1A.
Para un cuerpo que describe una circunferencia de forma periódica a velocidad constante la situación cambia dado que la resultante de F y mg es ahora la fuerza centrípeta de la rotación. Tal como muestra la figura 1B la fuerza F necesaria para mantener el cuerpo en ese estado no es igual en módulo a mg y solo tendría la misma dirección cuando cuando mg tenga la misma dirección o perpendicular al eje de rotación.
Figura 1.- Fuerza necesaria para el equilibrio de un punto material en reposo (1A) o sometido a rotación alrededor de un eje (1B)
La diferente dirección del vector F en la figura 1B con respecto a la 1A indica que la horizontal aparente siempre mantendrá una inclinación menor con respecto al eje de rotación que la correspondiente a la correspondiente al punto en reposo, excepto en los casos en que la dirección de mg sea la del eje de giro o perpendicular al mismo, lo que podría corresponderse con el achatamiento de la superficie terrestre con respecto a una esfera.
Formulación del modelo
La figura 2 muestra la disposición de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo de masa m situado en un punto de la superficie terrestre teniendo en cuenta la rotación de la Tierra. En ella se indican las siguientes magnitudes
x, y coordenadas del punto m sobre la superficie de la Tierra con respecto al centro de la misma
mg Fuerza gravitatoria de la Tierra sobre la masa m
T Fuerza de sustentación necesaria para mantener el cuerpo en equilibrio teniendo en cuenta la rotación de la Tierra
R Fuerza centrípeta de la masa m sometida a la rotación de la Tierra ( resultante de las dos fuerzas anteriores)
Re radio ecuatorial de la Tierra
Rp radio polar de la Tierra
Figura 2
Los vectores mg, T y R cumplen la siguiente relación
mg + T = R (1)
Si los vectores T y R los sustituimos por las expresiones
T = mg´ (2) R = -m w2 x i (3)
donde g´ es erl vector aceleración de la gravedad aparente en un punto de la superficie terrestre, w es la velocidad angular de rotación de la Tierra y x es la distancia de la masa m al eje de rotación de la Tierra la expresión (1) toma la forma
mg + mg´ = -m w2 x i (4)
Dividiendo por m la expresión anterior obtenemos
g + g´ = – w2 x i (5)
Las expresiones de las componentes horizontal y vertical de la ecuación vectorial anterior toman la forma
-gy + g´y = 0 (6)
-gx + g´x = -w2 x (7)
Si en una primera aproximación, a efectos de cálculo, consideramos constante la distancia del punto materia al centro de la Tierra (Rm) la figura 2 proporciona las siguientes relaciones entre gy, gx, las coordenadas x,y del punto material m y el valor de Rm
gy = g ·y/Rm (8) gx= g · x/Rm (9)
Introduciendo estas expresiones en las ecuaciones (6) y (7) y despejando de las mismas g´y y g´x obtenemos las siguientes igualdades
g´y = g ·y/Rm (10) g´x = x( (g/Rm) – w2 ) (11)
Dividiendo miembro a miembro las igualdades (10) y (11) obtenemos
g´y /g´x = (y/x) / (1 – w2 Rm/g) (12)
El primer miembro de la ecuación anterior nos indica la tangente del ángulo que forma el vector mg´ con respecto al eje OX o, lo que es lo mismo, la dirección de la vertical aparente en dicho punto. La dirección de la horizontal aparente correspondiente al meridiano que pasa por el punto x,y será perpendicular a la de este vector por lo que la pendiente local de ese meridiano dy/dx cumplirá la igualdad
g´y /g´x = – dx/dy (13)
Sustituyendo la igualdad (13) en la ecuación (12) obtenemos
– dx/dy = (y/x) / (1 – w2 Rm/g) (14)
Reordenando la igualdad anterior obtenemos
-xdx = (1/(1 – w2 Rm/g)) ydy (15)
Integrando los dos miembros de la ecuación diferencial anterior obtenemos
– x 2 /2 + C = y2 /2(1 – w2 Rm/g) (16)
Reordenando la ecuación anterior obtenemos
x 2 + y2 /(1 – w2 Rm/g) = 2C (17)
Haciendo
2C = D
la ecuación (17) toma la forma
x 2 + y2 /(1 – w2 Rm/g) = D (18)
ecuación de una elipse correspondiente al meridiano que pasa por el punto x,y.
En la igualdad anterior w, Rm y g se determinan respectivamente por la velocidad angular de rotación de la Tierra, el radio medio de la Tierra y el valor de la aceleración de la gravedad en ausencia de rotación.
En la ecuación (18) es posible hacer una estimación aproximada de la constante D si, como aproximación válida, identificamos el valor de Rm con el radio de la Tierra considerada esférica y con el valor de la distancia de un punto de la elipse a su centro cuando x=y, tal como muestra la figura 3
Figura 3.- Identificación del radio vector de la elipse para un ángulo de 45º con el radio de una circunferencia de igual longitud
Teniendo en cuenta esta identificación si en la ecuación (18) hacemos x=y obtenemos
x 2 + x2 /(1 – w2 Rm/g) = D (19)
Por otra parte cuando x=y se cumple también la relación
x2 = Rm 2 /2 (20)
Sustituyendo la igualdad (20) en la ecuación (19) obtenemos
D = (Rm 2 /2 )(1 + 1/(1 – w2 Rm/g) ) (21)
Introduciendo este valor de D en la ecuación (18) obtenemos
x 2 + y2 /(1 – w2 Rm/g) = (Rm 2 /2 )(1 + 1/(1 – w2 Rm/g) ) (22)
Aplicación numérica
En la ecuación (22) introduciremos los siguientes valores relativos a la rotación de la Tierra, radio medio de la superficie terrestre y valor de la gravedad media en la superficie terrestre
w = 2p /(24 · 3600) = 7,2722· 10 -5 rad/s
Rm = 10 7 · 4 / 2p = 6,366182 · 10 6 m
g = 9,8 m/s 2
obteniendo la siguiente igualdad
x 2 + y2 /(1 – 0,003435479 ) = 2,0264· 10 13 (1 + 1/(1 – 0,003435479 ) ) (22)
Simplificando la ecuación anterior obtenemos
x 2 + y2 /0,996564= 4,0598 · 10 13 (23)
La ecuación anterior describe una elipse correspondiente a un meridiano que, teóricamente, es una aproximación aceptable a la superficie terrestre al nivel medio del mar,considerada como un elipsoide de revolución, en cualquier punto del planeta.
Reordenando la ecuación (23) obtenemos
x 2 / (4,0598 · 10 13) + y2 /(4,0459· 10 13) = 1 (23)
En la ecuación anterior el valor de x para y=0 corresponde al radio ecuatorial (Re) mientras que el valor de para x=0 indica la longitud del radio polar (Rp). Obtenemos de esta forma
Re = 6,371655 · 10 6 m Rp = 6,360738 · 10 6 m
El achatamiento recíproco (Ar) de la elipse definida por la ecuación (23) y del elipsoide de revolución asociado (elipsoide de referencia del modelo) vendrá dado por
Ar = Re/(Re-Rp) = 583,6
Una consecuencia digna de reseñar del modelo es que la dirección de la vertical local de un punto (recta normal a la tangente) de la elipse descrita por la ecuación (23) no pasa por el centro de la elipse o, expresado en términos geográficos, la latitud aparente de un punto asociada a la dirección de la vertical local, no coincide con la latitud geocéntrica correspondiente a la de una esfera en reposo.
La figura (4) muestra, a partir de la figura (2a), la relación geométrica que hay entre el ángulo que determina la latitud aparente (ángulo La) y el correspondiente a latitud real o geocéntrica (ángulo Lr). Como puede observarse en esa figura el valor de La siempre es apreciablemente mayor que Lr salvo en los polos y en el ecuador
Figura 4.-
Las relaciones de La y Lr con las magnitudes descritas en el modelo son las siguientes
tagLa = g´y / g´x (24) tagLr = y/x (25)
Teniendo en cuenta las igualdades (12) la ecuación (24) puede ponerse en la forma
tagLa = (y/x) / (1 – w2 Rm/g) (26)
Si en esta ecuación introducimos el valor de x/y dado por la ecuación (25) y reordenamos obtenemos
tagLr = (tagLa) · (1 – w2 Rm/g) (27)
Teniendo en cuenta los valores numéricos asignados a las magnitudes de la expresión anterior la ecuación anterior toma la forma
tagLr = (tagLa) · 0,996564 (28)
expresión que permite el cálculo aproximado de la latitud real de un punto situado en la superficie de la Tierra a partir de la latitud aparente determinada por la vertical local. De acuerdo con la igualdad (28) la longitud real será menor que la longitud aparente definida por la vertical local. La gráfica 1 muestra el grado de divergencia entre La y Lr en función de la latitud real de acuerdo con la ecuación (28). En ella puede apreciarse como esta diferencia varía con la latitud y alcanza su máximo valor a la latitud de 45º y en ningún caso alcanza un valor superior a 0,1º.
Gráfica 1.- Diferencia entre la latitud aparente y la latitud real (La – Lr) a diferentes latitudes reales (Lr)
La rotación de la Tierra y su achatamiento afecta también al valor aparente de la aceleración de la gravedad sobre su superficie. En efecto en el tratamiento considerado no solo se modifica la dirección de la gravedad sino también el valor aparente del peso de un cuerpo que pasa a ser de mg a mg´ (figura 4). Cualquier medida de la aceleración gravitatoria realizada localmente por un observador ligado a la rotación de la Tierra nos proporciona el valor de g´.
Para obtener una estimación aproximada de la variación de g´ con la latitud real de un punto de la superficie de la Tierra consideremos en la figura 4 las proyecciones sobre la dirección del vector mg´ de los vectores mg, R y mg´.Teniendo en cuenta su valor y su relación con los ángulos La y Lr se cumplirá la igualdad
mg cos(La – Lr) – mg´ = mw2 Rm cosLr cosLa (29)
Simplificando y reordenando la ecuación anterior obtenemos
g´ = g cos(La – Lr) – w2 Rm cosLr cosLa (30)
Teniendo en cuenta la ecuación (28) podemos poner
La = artg((tgLr)/ 0,996564) (31)
Introduciendo esta expresión en la ecuación (30) obtenemos una igualdad que permite calcular g´ en función de la latitud de un punto de la superficie terrestre . La gráfica 2 muestra la aplicación de este procedimiento de cálculo a la obtención del valor de g´ a diferentes valores de la latitud real (Lr)
Gráfica 2.- Variación del módulo de la gravedad aparente g´ con la latitud real de un punto de la superficie terrestre.
Comentario final
El modelo descrito es una aproximación teórica simplificada de la obtención de un elipsoide de referencia geodésico. El resultado obtenido difiere apreciablemente del actualmente aceptado como el más adecuado a la forma de la Tierra a nivel del mar. La determinación más precisa de dicho elipsoide requiere la concurrencia de los valores obtenidos por procedimientos tanto exclusivamente teóricos como gravimétricos y geodésicos. El desarrollo de estos estudios, que ha ocupado a la comunidad científica desde el siglo XVIII, proporciona la base de los sistemas de posicionamiento global (GPS) limitándose el alcance de este artículo a una exposición académica a nivel de Física General del estudio de la rotación de la Tierra.
Temas relacionados
elipsoide de referencia
geodesia
geoide
gravedad
gravimetría
sistemas de posicionamiento global
Autor:
A. Quirante Candel