Representación vectorial de las cargas gravitarorias, electrostáticas y hadrónicas de los quarks. Cargas vectoriales (página 2)

La figura 1 representa el caso del átomo de hidrógeno, donde las cargas electrostáticas del protón y el electrón, representadas por y respectivamente, forman un ángulo de . Aplicando la ecuación [2] obtenemos un valor negativo, es decir una fuerza de atracción, siendo la suma de los vectores nula. Este resultado es independiente de la posición de los vectores en el plano.

Fig. 1 – Representación vectorial de las cargas del protón y el electrón

CARGAS DE LOS QUARKS

Los bariones poseen tres quarks cuyas cargas están representadas por los colores rojo, azul y verde (o rojo, azul y amarillo) . Estas cargas cambian constantemente de color, de modo que su intensidad, simbolizada por , es la misma en cada quark. De acuerdo a la cromodinámica cuántica, la suma de los tres colores debe dar blanco (3) . De modo análogo al caso de las cargas electrostáticas, vamos a representar las cargas de color de los quarks por tres vectores coplanarios, formando ángulos de , como se ilustra en la figura 2.

Fig. 2 – Representación vectorial de las cargas de los quarks de un barión

Aplicando la ecuación [2] a cualquiera de los tres quarks respecto a los otros y sumando ambos resultados, tendremos

  [3]

donde es la intensidad del campo generado por la carga de un quark en función de la distancia r. Es decir, los tres quarks ejercen entre sí una fuerza de atracción. La suma de los tres vectores es nula, al igual que la suma de los tres colores da blanco. Por otro lado, la suma de dos vectores es igual al tercero pero de signo contrario, y precisamente la suma de los colores de dos quarks nos da el anticolor del tercer quark. La analogía de la representación vectorial de las cargas con las propiedades cromáticas de los quarks es completa, constituyendo una descripción satisfactoria de sus propiedades físicas.

Como mencionamos anteriormente, los quarks cambian continuamente de color. Este cambio se efectúa a través de los gluones, que son partículas mensajeras que transportan la información del color de un quark al otro. A diferencia de los fotones, los gluones poseen cargas de color, en combinaciones de dos colores compuestos por un color y el anticolor de cualquiera de los otros dos colores. Cuando un quark envía un gluón mensajero, debe cambiar de color para pagar el color que se lleva el gluón. De manera que, un quark rojo puede emitir un gluón rojo – antiazul y transformarse en azul. Del mismo modo, un quark verde que absorve un gluón azul – antiverde pasa a ser azul. Y así en los demás casos (4) . Representemos por medio de vectores esta interacción. Si designamos los colores rojo, azul y verde por los vectores , y respectivamente, tendremos en el primer caso , y en el segundo . Los vectores dentro del corchete representan la carga del color compuesto del gluón.

REPRESENTACIÓN DE LAS CARGAS EN UN CAMPO VECTORIAL

Representemos ahora los vectores unitarios de las tres cargas en el plano vectorial i, j, como se muestra en la figura 3.

Fig. 3 – Representación vectorial de las cargas unitarias de los quarks

Si asignamos por convención a una de las cargas el valor de i, las otras dos serán y . De modo análogo a las cargas del protón y el electrón, podemos girar los tres vectores sobre el origen 0 en cualquier dirección, manteniendo entre ellos un ángulo de ; la suma y el producto escalar continuarán siendo los mismos. La carga se distribuye por igual entre los tres vectores, independiente de la posición que adopten. Son indistinguibles entre sí, con las mismas propiedades y una configuración completamente simétrica. Por convención, adoptaremos la posición de la figura 3.

Hemos visto que la repulsión o atracción entre dos cargas está dado por la ecuación [2] . Ahora bien, se ha comprobado experimentalmente que las cargas de color no ejercen ninguna acción sobre las cargas eléctricas (5) , lo que significa que el producto escalar de sus respectivos vectores debe ser nulo, es decir, deben formar un ángulo de entre sí, puesto que . De modo que podemos representar las cargas unitarias de color y electrostática en un espacio vectorial i, j, k, donde k representa la carga electrostática, como se ilustra en la figura 4.

Fig. 4 – Representación vectorial de las cargas unitarias de los quarks y electrostática

De acuerdo a la teoría de los quarks, los protones están constituidos por dos quarks up ( u ), con cargas eléctricas de cada uno, y un quark dawn ( d ), con carga eléctrica de , siendo e la carga del electrón, y los neutrones por un quark u y dos quarks d (6) . En consecuencia, la carga del

quark u estará dada por , o bien

ó , y del quark d por

, o bien ó .

Por tanto, la carga del protón (uud) estará dada por

  [4]

y la del neutrón (udd) por

  [5]

Los mesones se representan de modo similar. Por ejemplo el pión positivo está dado por

[6]

y el pión negativo por

  [7]

FUERZA NUCLEAR RESIDUAL. SIMETRÍA INTERBARIÓNICA

Como acabamos de mostrar, la disposición simétrica de las cargas vectoriales, en la que su suma es nula, o el color de las cargas da blanco para el caso de los quarks, determina la atracción entre las mismas. Proponemos como segunda hipótesis que, del mismo modo, para mantener la fuerza residual de atracción entre protones y neutrones, la suma de sus cargas vectoriales debe ser nula, lo que implicaría una configuración simétrica, conservando al mismo tiempo de manera independiente, la configuración simétrica triangular de los tres quarks dentro del barión a fin de mantenerse unidos. El potencial de un barión, equivalente a la suma del potencial de sus tres quarks, estaría dado por

  [8]

Se trata de un potencial negativo puesto que la fuerza es atractiva. En el caso de los protones, debemos considerar el potencial positivo de la fuerza de repulsión electrostática, de modo que su potencial neto estaría dado por

  [9]

La fuerza neta entre los protones estaría dada por

  [10]

siendo un vector unitario. Ahora bien, se ha demostrado experimentalmente que la fuerza de atracción nuclear decae rápidamente conforme aumenta la distancia. La fuerza de repulsión electrostática desciende lentamente, de manera que a determinada distancia la fuerza resultante se anula. A distancias mayores, como la que existe entre los protones, la fuerza electrostática vence a la fuerza nuclear, de allí que los protones no puedan mantenerse unidos. En el caso de los neutrones que no poseen carga eléctrica, estos se mantienen unidos a los bariones, haciendo posible la existencia del núcleo.

FUERZAS NUCLEAR DÉBIL Y GRAVITATORIA

La fuerza débil, cuyas partículas mensajeras son los bosones vectoriales, responsable del cambio de sabor de los quarks y de los procesos de desintegración nuclear, unificada a la fuerza electromagnética, no ejerce atracción ni repulsión entre las cargas.

Para la representación vectorial de la carga gravitatoria, debemos introducir la unidad imaginaria vinculada a la masa m de la partícula, es decir, el vector de la carga gravitatoria estaría dado por . La figura 6 representa las masas de dos electrones que forman un ángulo de . Aplicando la ecuación [2] obtenemos un valor negativo, es decir las masas se atraerán. La fuerza de gravedad entre las masas es siempre atractiva.

Fig. 6 – Representación vectorial de la masas de dos electrones

La figura 7 representa la masa de un electrón y la masa su correspondiente antimateria o positrón, que forman un ángulo de . Aplicando la ecuación [2] obtenemos un valor positivo, es decir las masas se repelerán.

Fig. 7 – Representación de las masas de un electrón y un positrón

La carga gravitatoria determina un campo vectorial de cuatro dimensiones, tres de ellas reales y una imaginaria, como se ilustra en la figura 8, en la que los vectores unitarios son ortogonales.

Fig. 8 – Representación vectorial de la cargas unitarias gravitatoria, electrostática y hadrónica

Así, por ejemplo, de las ecuaciones [4] y [5] se desprende que la carga del protón está dada por y la del neutrón por .

CONCLUSIONES

La representación vectorial de las cargas de los quarks y electrostática, o cargavectores, constituye una descripción matemática eficaz para determinar las propiedades físicas de dichas cargas, en concordancia con la cromodinámica y electrodinámica cuánticas. La simetría de los vectores explica la atracción entre los quarks y el efecto residual de la fuerza nuclear. La introducción de la unidad imaginaria es útil para una descripción adecuada de las cargas gravitatorias.

NOTAS

1- Sears F., Zemansky M., Física (p 521), Madrid, Aguilar S.A. Ediciones, 1972

2- Spiegel M.R., Análisis Vectorial (p16), México, Serie Schaum, McGraw – Hill, 1979

3- Davis P., Superfuerza (p 132), Barcelona, Salvat Editores, S.A., 1985

4- Davis P., Superfuerza (p 132), op. cit

5- Davis P., Superfuerza (p 86), op. cit

6- Miró Quesada F. Las Supercuerdas (p 30), Lima, Empresa Editora El Comercio S.A., 1992

BIBLIOGRAFÍA

• Davis P., Superfuerza, Barcelona, Salvat Editores, S.A., 1985
• Haaser N., La Salle J., Sullivan J., Análisis Matemático l, México, Editorial Trillas, S.A., 1972
• Miró Quesada F., Las Supercuerdas, Lima, Empresa Editora El Comercio S.A., 1992
• Resnick R., Holliday D., Física ll, México, Compañía Editorial Continental, S.A., 1979
• Sears F., Zemansky M., Física, Madrid, Aguilar S.A. Ediciones, 1972
• Spiegel M.R., Análisis Vectorial, México, Serie Schaum, McGraw – Hill, 1979

Autor

Enrique Álvarez Vita

Centro de Estudios Aeroespaciales y Ciencias del Espacio

Ó Lima – Perú