Ensayo en ruta para determinar el coeficiente de forma de un vehículo automotor
Enviado por hector poggi
Este ensayo nos permitirá determinar el coeficiente de forma o coeficiente aerodinámico de un vehículo automotor, normalmente conocido como Cx, por medio de la realización de un ensayo en ruta, cuando no disponemos de un túnel de viento, que es lo que generalmente sucede.
Cabe aclarar que el método consiste en una variante mejorada del ya clásico y conocido ensayo Coasting.
El método tiene, básicamente, la misma operatoria de ensayo que el Coasting, pero con la siguiente diferencia sustancial:
-en el ensayo Coasting solo se considera como fuerza frenante a la resistencia aerodinámica, despreciando la influencia de la resistencia por rodadura, lo cual constituye una simplificación que introduce un error apreciable en la determinación del coeficiente Cx, ya que dicha resistencia no puede ser despreciada a menos que hagamos el ensayo a velocidades excesivamente altas.
-en la variante mejorada que mostramos en este trabajo, se tienen en cuenta las influencias de ambas resistencias al avance, tanto la resistencia aerodinámica como la resistencia por rodadura, por lo cual vemos disminuido el error cometido en la valoración de dicho coeficiente Cx.
La operatoria de ensayo consiste, entonces, en lo que sigue:
Debemos circular con el vehículo a ensayar por una ruta plana y horizontal, en condiciones de viento nulo, a una velocidad determinada, que para nuestro ensayo será la velocidad inicial.
Si soltamos el acelerador poniendo al mismo tiempo la caja de cambio de velocidades en punto muerto, el vehículo irá reduciendo gradualmente su velocidad, por efecto de las resistencias al avance.
Podemos entonces medir el tiempo que el vehículo tarda en reducir su velocidad desde el valor inicial hasta otro valor previamente establecido.
Dicho tiempo, reemplazado en la función matemática correspondiente, nos permitirá conocer el valor del coeficiente de forma del vehículo.
De aquí en más nos abocaremos a la obtención de la función matemática antedicha.
En primer lugar, definamos los parámetros que intervienen en la obtención de la función, como así también las unidades utilizadas:
F = Fuerza neta que actúa sobre el vehículo ( Kg )
M = Masa del vehículo ( Kg.seg²/m )
A = Aceleración instantánea del vehículo ( m/seg² )
Fm = Fuerza motriz que impulsa al vehículo ( Kg)
Rav = Resistencia al avance ( Kg)
Rr = Resistencia por rodadura ( Kg )
Ra = Resistencia aerodinámica ( Kg )
P = Peso del vehículo ( Kg )
f = Coeficiente de rodadura
Cx = Coeficiente de forma
S = Sección frontal del vehículo ( m² )
Vo = Velocidad inicial del vehículo ( m/seg )
V = Velocidad instantánea del vehículo ( m/seg )
T = Tiempo transcurrido ( seg )
G = Aceleración de la gravedad ≈ 10 m/seg²
Partimos de la ecuación fundamental de la dinámica:
F = M.A
Reemplazamos la fuerza neta por la diferencia de fuerzas actuantes, la que está a favor del movimiento ( fuerza motriz) menos la que está en contra (resistencia al avance):
Fm – Rav = M.A
Reemplazamos la resistencia al avance por la suma de las resistencias por rodadura y aerodinámica:
Fm – ( Rr + Ra ) = M.A
Pero Fm = 0 pues hemos soltado el acelerador, entonces queda, pasando términos:
M.A + Rr + Ra = 0
Reemplazando según Rr = P.f ; Ra = Cx.S.V²/16 y A = dV/dT
M.dV/dT + P.f + Cx.S.V²/16 = 0
Dividiendo todos los términos por la masa:
dV/dT + P.f/M + Cx.S.V²/16M = 0
Pero P/M = G luego:
dV/dT + G.f + Cx.S.V²/16M = 0
Haciendo G.f = a² y Cx.S/16M = b² queda:
dV/dT + b² + a².V² = 0
Resolveremos esta ecuación diferencial para encontrar la función V = f ( T )
dV/dT = -( b² + a².V² )
dV/( b² + a².V² ) = -dT
Sacamos factor común b² en el denominador
dV/b²( 1 + a².V²/b² ) = -dT
Hacemos la siguiente sustitución: Z = a.V/b ; dZ = a.dV/b y dV = b.dZ/a
b.dZ/a.b²( 1 + Z² ) = -dT
Simplificando b:
dZ/a.b( 1 + Z² ) = -dT
Integrando ambos miembros:
( 1/a.b ). ∫dZ/( 1 + Z² ) = -∫dT
Resolviendo las integrales, que son directas:
( 1/a.b ).arc tg Z = -T + C
Reemplazando Z y reordenando:
arc tg ( a.V/b ) = a.b( C – T )
Despejando a.V/b queda:
a.V/b = tg [ a.b( C – T ) ]
Distribuyendo a.b y despejando V queda:
V = ( b/a ). tg ( a.b.C – a.b.T ) (1)
Para calcular la constante de integración C debemos tener en cuenta que al comenzar el ensayo ( T = 0 ) la velocidad es la inicial ( V = Vo ), reemplazando:
Vo = ( b/a ). tg ( a.b.C )
reordenando queda:
a.Vo/b = tg ( a.b.C )
a.b.C = arc tg ( a.Vo/b )
Reemplazando en la ecuación (1) queda:
V = ( b/a ). tg [ arc tg (a.Vo/b ) – a.b.T ] (2)
Debemos ahora reemplazar las constantes a y b que veníamos utilizando, recordemos que habíamos hecho:
b² = G.f y a² = Cx.S/16M
De donde sale:
b = ( G.f )^½ y a = ( Cx.S/16M )^½
Entonces, por un lado, b/a queda:
b/a = ( 16M.G.f/Cx.S )^½
b/a = 4( P.f/Cx.S )^½ (3)
por otro lado, a/b queda:
a/b = 0,25( Cx.S/P.f )^½ (4)
y por último, a.b queda:
a.b = ( G.f.Cx.S/16M )^½
a.b = ( G².f.Cx.S/16M.G )^½
a.b = ( G/4 ).( f.Cx.S/P )^½
a.b = 2,5( f.Cx.S/P )^½ (5)
Reemplazando las ecuaciones (3), (4) y (5) en la ecuación (2) obtendremos la función V = f ( T ) que veníamos buscando:
V = 4( P.f/Cx.S )^½. tg { arc tg [ 0,25Vo( Cx.S/P.f )^½ ] – 2,5T( f.Cx.S/P )^½ }
En realidad, si hacemos:
A = 4( P.f/Cx.S )^½ ; B = arc tg [ 0,25Vo( Cx.S/P.f )^½ y C = 2,5( f.Cx.S/P )^½
la función V = f ( T ) responde a la estructura matemática del tipo siguiente:
V = A. tg ( B – C.T )
Para realizar el ensayo debemos disponer de los siguientes datos del vehículo:
Peso ( P )
Coeficiente de rodadura ( f )
Sección frontal ( S )
Debemos elegir a que velocidad vendrá inicialmente el vehículo al comenzar el ensayo ( Vo ) y hasta que valor dejaremos que disminuya la velocidad mientras dure el ensayo ( V ).
Luego debemos medir el tiempo que tarda en producirse dicho descenso de velocidad ( T ).
Como vemos, en la función V = f ( T ), el único parámetro desconocido, hasta ahora, es el coeficiente de forma Cx, que, obviamente, no intentaremos despejar.
Pero nos queda, como alternativa, determinarlo por tanteo.
Es decir: le daremos, en principio, un valor tentativo, y con dicho valor verificamos la igualdad. En caso de no verificarse la misma, cambiaremos el valor para repetir la verificación.
De más está decir que tendremos que repetir este paso matemático tantas veces como sea necesario hasta encontrar el valor buscado.
En este ensayo se hacen algunas simplificaciones y aproximaciones que influyen en la precisión del valor obtenido para el coeficiente buscado.
En primer lugar, estamos suponiendo que el mencionado coeficiente aerodinámico ( Cx ) es constante, e independiente de la velocidad, lo cual sabemos que no es cierto.
En segundo lugar, estamos suponiendo que el coeficiente de rodadura ( f ) también es constante, e independiente de la velocidad y de la carga que soportan las cubiertas, lo cual tampoco es cierto.
En tercer término, estamos despreciando las variaciones de carga aerodinámica sobre la carrocería del vehículo en función de la velocidad, lo cual influye en la resistencia por rodadura.
Por último, estamos despreciando también las resistencias de origen friccional que se producen en los elementos mecánicos del sistema de transmisión y en sus fluidos lubricantes, aunque es importante hacer notar que estas resistencias quedan reducidas a un mínimo ya que dicho sistema no está transmitiendo potencia a las ruedas.
Por otra parte, conviene que la velocidad inicial elegida ( Vo ) sea lo más grande posible, para que la acción de frenado del aire sea comparativamente mucho más importante que la acción de frenado por rodadura.
Conviene también que el tiempo de ensayo ( T ) no sea muy pequeño, para lo cual debemos elegir una velocidad final de ensayo ( V ) no muy próxima a la velocidad inicial.
De todos modos, y como ya explicamos con anterioridad, esta variante de ensayo reviste una ventaja sustancialmente importante con respecto al clásico y conocido ensayo Coasting, en el cual queda directamente despreciada la resistencia por rodadura en la valoración del coeficiente de forma.
Podemos determinar el tiempo que tarda el vehículo en detener su marcha por completo, llamado tiempo de detención ( Td ), igualando a cero la velocidad en la función V = f ( T ), para lo cual debe cumplirse, en la ecuación (2), lo siguiente:
arc tg ( a.Vo/b ) = a.b.Td
despejando Td queda:
Td = ( 1/a.b ). arc tg ( a.Vo/b ) (6)
Recordemos que la ecuación (4) nos da la relación a/b y de la ecuación (5) surge la relación 1/a.b, reemplazando ambas relaciones en la ecuación (6) queda:
Td = 0,4.( P/f.S.Cx )^½. arc tg [ 0,25Vo( Cx.S/P.f )^½ ]
Por otra parte, de más está decir que al coeficiente de rodadura ( f ) hay que determinarlo previamente en la misma ruta donde se va a determinar el coeficiente de forma ( Cx ).
Una buena alternativa para hacerlo es realizar el mismo tipo de ensayo, pero a una velocidad muy pequeña, con el objeto de poder despreciar a la resistencia aerodinámica frente a la resistencia por rodadura, de esta manera se reduce al mínimo el error cometido en la valoración del coeficiente de rodadura.
Recomendamos efectuar el ensayo, por ejemplo, desde velocidades inferiores a los 8Km/h hasta que el automóvil se detenga por completo.
Deduciremos la expresión matemática a ser utilizada a tal fin, para lo cual partiremos de las mismas ecuaciones que en el tratamiento anterior, pero despreciando la resistencia aerodinámica:
M.A + Rr = 0
M.dV/dT = -P.f
dV = -P.f.dT/M
dV = -G.f.dT
∫dV = -G.f. ∫dT
V = -10f.T + C
La constante de integración C surge de considerar que, cuando T = 0, la velocidad es la inicial ( Vo ), por lo tanto:
Vo = C
Reemplazando y reordenando:
V = Vo – 10f.T
Transcurrido el tiempo de detención Td la velocidad tomará valor nulo, entonces:
0 = Vo – 10f.Td
de donde podemos obtener el coeficiente de rodadura buscado f:
10f.Td = Vo
f = Vo/10Td
En realidad, para ser más precisos, en esta expresión conviene utilizar el valor 9,8 en lugar de 10 para la aceleración gravimétrica.
Héctor Poggi
Técnico en Automotores e Ingeniero Electricista