Los gradientes

• Introducción
• Fórmula del valor final del gradiente aritmético
• Gradiente aritmetico infinito
• Fórmula del valor presente del gradiente geométrico
• Fórmula del valor final del gradiente geométrico

Introducción

Debido a la inflación, se observa que casi todos los renglones de la economía van aumentando de precios, por esta razón, es necesario elaborar modelos matemáticos que ajustándose a los índices de inflación puedan compensar los efectos erosionantes en el dinero, a través del tiempo, entre los modelos matemáticos que pueden suplir esta necesidad están los gradientes.

DEFINICION

Un gradiente es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones:

• 1. Todos los pagos cumplen con una ley de formación

• 2. Los pagos se efectúan a iguales intervalos de tiempo

• 3. Todos los pagos se trasladan al principio o al final a la misma tasa de interés.

• 4. El número de pagos es igual al número de períodos.

La ley de formación, de la que habla la primera condición, puede ser de varias clases, sin embargo, las más utilizadas son: la que corresponde al gradiente lineal o aritmético y la que corresponde al gradiente geométrico.

Las anualidades, vienen a ser un caso particular de los gradientes, en el cual, el crecimiento es cero, lo que hace que todos los pagos sean de igual valor, por tal motivo el manejo de los gradientes es similar al manejo de las anualidades.

Las otras tres leyes son las mismas de las anualidades.

GRADIENTE ARITMETICO

En el gradiente aritmético cada pago es igual al anterior, más una constante L; si esta constante es positiva, el gradiente será creciente; si la constante es negativa, el gradiente será decreciente. Obviamente, si L = 0 todos los pagos son iguales y la serie se convierte en una anualidad.

Como en un gradiente todos los pagos son de diferente valor, será necesario distinguir un pago de otro y por eso al primer pago lo representaremos por R1; el segundo pago por R2 y así sucesivamente, el último pago lo representaremos por Rn.

De acuerdo a la definición de gradiente lineal se tendrá:

R2=R1+L

R3=R2+L = R1+2L

R4=R3+L = R1+3L

. . . .

. . . .

Rn=Rn-1+L = R1+(n-1)L

De los anterior se deduce que la fórmula del último término será:

Rn=R1+(n-1)L

Ejemplo 1

Hacer la gráfica de un gradiente aritmético de 6 pagos con primera cuota de $100 y a) crecimiento de $25 y b) decreciente en $25.

Solución

a)-

b)-

Obsérvese en la figura b) que, en el período 5, el pago es cero y que, en el período 6, el valor del pago viene a ser – $25, lo cual se representa colocándolo como positivo pero al otro lado de la línea de tiempo.

FORMULA DEL VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO

En igual forma como se hizo con las anualidades, planteamos la ecuación de valor, trasladando cada uno de los pagos a la fecha focal, usando la tasa efectiva i; entonces:

VP=R(1+i)-1+(R+L)(1+i)-2+(R+2L)(1+i)-3+……+[(R+(n-1)L](1+i)-n

Si eliminamos los paréntesis donde se encuentra R y escribimos primero los términos que contienen R y, después, los términos que contienen L, tenemos

VP=R(1+i)-1+R(1+i)-2+R(1+i)-3+……+R(1+i)-n + L(1+i)-2 + 2L(1+i)-3 +….+ (n-1)L(1+i)-n

Se observa que los términos que contienen R son los mismos de la ecuación de valor de una anualidad ordinaria en valor presente, y si además, factorizamos L de los términos restantes se tiene:

VP=Ran( i + L[(1+i)-2+2(1+i)-3+3(1+i)-4+……(n-1)(1+i)-n] (*)

Supongamos que W es igual a la serie que está dentro del paréntesis angular, en consecuencia:

W=(1+i)-2+2(1+i)-3+3(1+i)-4+……(n-1)(1+i)-n

Si multiplicamos la ecuación anterior por (1 + i) tenemos:

W(1+i)=(1+i)-1+2(1+i)-2+3(1+i)-3+……(n-1)(1+i)-(n+1)

Si substraemos W(1+i) – W resulta:

W(1+i) – W=(1+i)-1+(1+i)-2+(1+i)-3+…+(1+i)-(n+1) -(n-1)(1+i)-n

Simplificando:

W i=(1+i)-1+(1+i)-2+(1+i)-3+…+(1+i)-(n+1) +(1+i)-n+n(1+i)-n

W i= an( i -n(1+i)-n

Si reemplazamos W en (*) tenemos:

En la fórmula anterior figura R sin indicar cuál de todas las cuotas es pero, en la deducción de la fórmula hemos trabajado con base en que R es el primer pago. En consecuencia cuando en cualquier fórmula aparezca R sin indicar cuál es, deberá asumirse que se trata de la primera cuota.

Ejemplo 2

Hallar el valor presente con interés al 5% de la siguiente serie:

Solución:

En la gráfica se observan varias cosas:

• a) El gradiente tiene un crecimiento de $200; entonces L = 200

• b) El primer pago es $800; entonces R = 800

• c) El número de pagos es 6; entonces n=6

Reemplazando en la fórmula se tiene:

Ejemplo 3

Hallar el valor presente de la siguiente serie con tasa del 5%

GRAFICO

Solución:

Primera forma: podemos considerar que el gradiente se inicia en el período 2; entonces su primer pago será de $800 (el que está en 3); los otros pagos de $800 ubicados en 1 y 2 forman una anualidad:

X=$7342

Segunda forma: podemos suponer que el gradiente empieza en el punto 3; así, su primer pago será de $1.000, y tendrá 5 períodos.

X=$7342

Fórmula del valor final del gradiente aritmético

Para hallar el valor final, basta tomar el valor presente y multiplicarlo por (1+i)n , así:

VF=VP(1+i)n

Haciendo las operaciones respectivas y simplificando se concluye que:

Observación: nuevamente hacemos énfasis en que R representa a la primera cuota del gradiente:

Ejemplo 4

Hallar el monto de la siguiente gráfica; suponga una tasa del 15%

Observación: los 2 últimos valores son negativos

Solución: n = 8, L = -100, R = 500

AMORTIZACION CON CUOTA CRECIENTE

Debido a las altas tasas de inflación, en muchos países se ha impuesto la moda de utilizar una cuota creciente en los sistemas de amortización, lo que ha impulsado el desarrollo de nuevas técnicas.

Actualmente, los sistemas de amortización más utilizados son los que usan una cuota creciente.

Ejemplo 5

Amortizar la suma de $100.000, en 4 pagos, suponiendo una tasa del 8% y;

• a. Crecimiento lineal de la cuota de $ 12.000

• b. Decrecimiento lineal de la cuota de $12.000

Solución:

a.

De donde se obtiene que R1 = $13.344.56

Las demás cuotas se pueden calcular con la fórmula del último término del gradiente lineal o aritmético Rn = R1 + (n-1)L

R2 = 13344.56 + 12000=25344.56

R3 = 13344.56 + 2 x 12000=37344.56

R4 = 13344.56 + 3 x 12000=49344.56

Con los datos anteriores podemos elaborar la tabla en la misma forma como se trabajó con anualidades.

De donde se obtiene que R1= $47039.50

Gradiente aritmetico infinito

Igual que en las anualidades, solo tiene sentido el valor presente de un gradiente infinito. Su principal aplicación es el cálculo del costo del capital, tema que se discutirá en un capítulo posterior.

El planteamiento de la ecuación de valor será:

Pero

También

Además

Aplicando la regla de L'opital tenemos:

Final se tiene:

Ejemplo 6.

Calcular el valor presente de una serie infinita de pagos que crecen en $10, si el primer pago vale $200 y la tasa es del 3%.

Solución:

Esto significa que si colocamos $17.777.78 al 3% efectivo, podremos pagar $200 al final del primer período, $210 al final del segundo período, $220 al final del tercer período t así sucesivamente.

GRADIENTE GEOMETRICO

Un gradiente geométrico es una serie de pagos, en la cual cada pago es igual al anterior, multiplicado por una constante que representaremos por 1 + G. Si G es positivo el gradiente será creciente. Si G es negativo el gradiente será decreciente y, si G = 0 el gradiente se convierte en una anualidad.

En un gradiente geométrico, el primer pago será: R1

El segundo pago R2=R1(1+G)

El tercer pago R3=R2(1+G)=R1(1+G)2

………………………..

………………………..

El último pago Rn=Rn-1(1+G)=R1(1+G)n-1

Entonces:

Fórmula del valor presente del gradiente geométrico

El planteo de la ecuación de valor será:

VP=R(1+i)-1+R(1+G)(1+i)-2+R(1+g)(1+i)-3+……+(1+G)n-1(1+i)-n

Si multiplicamos la ecuación anterior, por (1+G)(1+i)-1 , tenemos:

VP(1+G)(1+i)-1=R(1+G)(1+i)-2+R(1+G)2(1+i)-3+R(1+G)3(1+i)-4 +…+R(1+G)n(1+i)-n-1

Sustrayendo la primera ecuación de la segunda, tenemos:

VP(1+G)(1+i)-1-VP=R(1+G)n(1+i)-n-1-R(1+i)-1

Factorizando, se tiene:

VP[(1+G)(1+i)-1-1]=R(1+i)-1[(1+G)n(1+i)-n-1]=R[(1+G)n(1+i)-n-1]/(1+i)

Y finalmente se llega a:

Cuando G = i, se presenta una indeterminada, que puede ser removida usando la regla de L'opital y derivando con respecto a i:

Por tanto podemos concluir VP es

Fórmula del valor final del gradiente geométrico

Si deseamos calcular el valor final, basta multiplicar a VP por (1+i)n y así tenemos:

También

Ejemplo 7

Hallar el valor presente de 10 pagos anuales, si el primer pago es de $5.000 y de pago subsiguiente crece un 20%. Suponga una tasa del 20%.

Solución:

Como G=i=20% se tiene que:

Ejemplo 8

Hallar el valor presente de 15 pagos que crecen un 25%, si el primer pago es de $800 y suponiendo una tasa del 20%

Solución

Ejemplo 9.

Elaborar una tabla para amortizar la suma de $100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa efectiva del 8% y:

• a) crecimiento geométrico de la cuota en 10%

• b) decrecimiento geométrico de la cuota en -10%

Solución

De donde R1 = $26.261.47

R2 = $26.261.47 (1+0.1) = $28.887.61

R3 = $26.261.47 (1+0.1)2 = $31.776.38

R4 = $26.261.47 (1+0.1)3 = $34.954.01

• b) 

De donde se obtiene que:

De donde R1 = $34.766.02

R2 = $34.766.02 (1+0.1) = $31.289.42

R3 = $34.766.02 (1+0.1)2 =$28.160.48

R4 = $34.766.02 (1+0.1)3 =$25.344.43

Ejemplo 10.

Cuánto debe crecer linealmente una serie de 8 pagos, efectuados al final de cada período y cuyo primer pago es de $600 para que, puesta en valor presente, sea equivalente a una serie de 10 pagos que crecen geométricamente en un 25% y cuyo primer pago es de $100? Suponga una tasa del 3% efectivo para el período.

Solución:

Hagamos la suposición que el gradiente lineal es creciente.

Debemos igualar el valor de las dos series y despejar L

De donde se obtiene L = -$64.58, lo que significa que el gradiente es el decreciente como se muestra en la gráfica.

Ejemplo 11

Se hacen depósitos trimestrales crecientes en un 5%, en una cuenta que paga el 5.25% efectivo trimestral, con el fin de tener disponibles $500.000 el primero de enero de 1991. Si el primer depósito se hace el primero de abril de 1988 y el último el primero de julio de 1990, determinar el valor del primer depósito.

Solución:

Despejando se obtiene que R=$28784.88 como primera cuota

GRADIENTE GEOMETRICO INFINITO

Una de las aplicaciones que tiene este tipo de gradientes está en el análisis sobre emisión de acciones. Solo tiene sentido el análisis del valor presente.

Si G > i entonces la expresión

Es mayor que 1 y la expresión no tendrá limite cuando n((

Si G < i entonces la expresión

Porque el valor de la cantidad entre el paréntesis será menor de 1 de lo anterior se deduce que:

Cuando G = 1 la formula del valor presente es:

Significa que no hay limite cuando G = i

Ejemplo 12

Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos que crecen un 10%, si la tasa de interés es del 20% y el primer pago es $300.

Significa que, si colocamos $3.000 al 20% podremos hacer infinito número de retiros crecientes, en un 10%, con un primer retiro de $300.

Autor:

Briceño, Francisco

Delgado, Erika

López, Roberto

PUERTO ORDAZ, JULIO DE 2006