Como consecuencia directa de este teorema se tiene el siguiente
El teorema anterior nos dice que toda sobreyección de un conjunto en sí mismo es una biyección. En el capítulo 7 se verá porqué esto no es así en funciones con el continuo. Sin embargo, todo lo anterior es cierto para todos los conjuntos discretos o continuos siempre que sus elementos tengan (o se les asigne) una existencia real (ver teorema 1.12).
El teorema anterior nos asegura que nunca existirá una sobreyección de A hacia B si A es un subconjunto propio de B. Por lo tanto, tampoco podrá existir una biyección ni de A hacia B, ni de B hacia A. En consecuencia, la mal llamada biyección entre N y Z no es tal.
Esta función así definida es la pretendida biyección entre N y Z con la cual se asegura que estos conjuntos tienen igual cardinalidad. Ahora bien, el teorema 1.9 nos asegura que entre N y Z no puede existir ninguna biyección. Como esta función es inyectiva, entonces dicha función no es sobreyectiva.
Analicemos la no sobreyectividad para el caso n impar en la tabla que sigue:
En la tabla anterior se tiene a las preimágenes en la parte superior y a sus imágenes en la parte inferior. Veamos lo que sucede si truncamos el proceso en un determinado n de I. Si truncamos el proceso en el 5 de I, notamos que el 5 también está en Z*+, por lo que el 4 y el 5 no tienen contraimagen.
Otra forma de disponer la tabla anterior es la siguiente:
Propiedad de Dilatación o Contracción de los Puntos
Sabemos que el punto carece de existencia real, es decir, así como el universo nace de la nada, también la Geometría nace de la nada. Por esta razón, los puntos poseen unas propiedades que no se pueden notar cuando las ponen en práctica. A estas propiedades se les llamará propiedad de contracción y propiedad de dilatación y consisten en que, los infinitos puntos que están en un segmento cualquiera, pueden entrar todos (en sentido figurado) en otro segmento de mayor o menor longitud, dilatándose o contrayéndose respectivamente. Sin embargo, es un error afirmar que dos segmentos cualesquiera poseen la misma cantidad de puntos, tomados dichos puntos como entes con existencia real, si dichos segmentos posen longitudes distintas. Veamos la demostración de esto.
Veamos ahora el serio problema en el cual nos meten las propiedades de contracción y dilatación de los puntos.
1.3.2 La Unidad a Diferentes Escalas
Sean dos segmentos paralelos de diferentes longitudes y representando ambos a la unidad (fig. 1.2), a los cuales llamaremos menor (segmento de color verde) y mayor (de color rojo).
Como ambos representan a la unidad (en diferentes escalas), cometemos el error de decir que ambos contienen la misma cantidad de puntos, es decir, que como conjuntos de puntos son equipotentes. Pero el teorema anterior nos dice que ello no es así. De manera que algo anda mal en nuestra forma de ver la realidad.
La pregunta es ¿qué es lo que realmente sucede? La respuesta es "la propiedad que tienen los puntos geométricos de dilatarse y contraerse".
1.3.2.1 Biyección Geométrica
Es la biyección galileana (en honor a Galileo quien fue el primero en observar esto) que existe entre los conjuntos de puntos geométricos. Ejemplo de ello es la biyección entre menor y mayor dada a partir de P del apartado anterior. Obsérvese que si acercamos P hacia menor, mayor aumenta de longitud, es decir, los puntos imágenes de menor se dilatan en una proporción mayor. Si, por el contrario, lo alejamos, mayor disminuye. Es decir, los puntos imágenes de menor sufren una dilatación en menor proporción.
1.3.2.2 Biyección Algebraica
Es la biyección cantoriana (en honor a Cantor, padre de la teoría de conjuntos) que existe entre conjuntos cuyos elementos tienen (o se les asigna) una existencia real. Ejemplo de ellos son las biyecciones entre conjuntos numéricos.
Para concluir este capítulo se debe decir que el gran geómetra Euclides de Alejandría sí tuvo razón al postular que "El todo es mayor que cualquiera de sus partes". Y ha sido la teoría de Cantor la que nos ha permitido deducir este hecho.
Autor:
Dimas Herrera
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