Indice1. Resumen 2. Introducción y objetivos 3. Ecuaciones de movimiento 4. Obtención del error del instrumento de medición (sensor y P.C.) 5. Gráficas y aproximaciones las ecuaciones teóricas 6. Bibliografía
El objetivo del practico es analizar el movimiento de un carro de masa (m) el cual oscila sujeto a un resorte de constante elástica (k) en un plano inclinado.En el estudio del fenómeno físico sé a llegado a la obtención de algunas constantes como:
Constante de elasticidad del resorte(K) K=3,037(+ -)0,006N/m. Frecuencia de oscilación(J ) J =0,3921Hz. Coeficiente de roce dinámico(m )m =0,05(+ -)0,01 También sé a aproximado una curva teórica X(t) a la obtenida experimentalmente.
2. Introducción y objetivos
Se debe analizar el movimiento oscilatorio de un carro el cual esta sujeto a un resorte en un plano inclinado(ver figura) y comprobar que el decaimiento de las amplitudes es de forma lineal si se desprecia la insignificante fuerza de roce viscosa que proporciona el aire.
Método: Primeramente se elige un ángulo, luego se aleja el carro de su posición de equilibrio estableciendo una amplitud y se deja libre, al mismo tiempo que comienza a oscilar se activa el sensor el cual dispara ondas de sonido con una frecuencia de 20Hz, recogiendo los datos a estudiar y enviándolos a una P.C. en la cual podemos, por ejemplo, realizar gráficos de su posición respecto del tiempo y estudiar diversos datos. También sé a tomado el periodo de oscilación con un cronometro para comparar las mediciones de la P.C. con el mismo.
Materiales:
- Cronometro, sensor Doppler de posición (PASCO) y P.C.
- Plano de aluminio, soportes y resortes.
- Comparador.
3. Ecuaciones de movimiento
Primeramente veremos que el peso no es una fuerza que amortigua la oscilación.
m.g.sen(q ) = -KD l m.dx/dt.dt = -KD l’+ m.g.sen(q ) + Fr = = -K(D l’+D l) + Fr ya que m.g.sen(q ) = -KD l pero si tomamos la posición de equilibrio Xo’ como nuestro 0 la ecuación queda: m.dx/dt.dt = -KD l’+ Fr
De aquí podemos concluir que:
- Las ecuaciones de movimiento se pueden escribir en forma independiente del peso.
- El peso no es una fuerza que amortigua el movimiento.
- El peso desplaza la posición de equilibrio Xo.
Ecuaciones Amortiguadas: Ecuación de posición X(t) = A(t). Cos(w .t) donde A(t) es la función del decaimiento de las amplitudes respecto de t.
Frecuencia angular 1/2w = (K / m) donde (K) es la constante elástica del resorte y (m) la masa
Amplitud A’ = A-2.Fr/K esta ecuación es lo que decae la amplitud con respecto a la del ciclo anterior, donde (Fr) es la fuerza de roce del sistema.
Periodo(T) T = 2.p /w
Frecuencia de oscilación(J )J = 1/T Sin fuerza de roce X(t) = A. Sen(w .t + j ) donde (A) es contante. Amplitud(A) A= cte. Condición inicial(j )j = arcsen(Xo/A)
Frecuencia angular(w ) 1/2w = (K/m)
Por lo visto podemos concluir que los parámetros que definen al sistema son: K, m, Fr, desde luego, despreciando la fuerza de roce del aire. Mediciones del periodo de oscilación del sistema (con cronometro) La mínima apreciación del cronometro es 0,036s Medición n° 1 Tiempo de 6 oscilaciones = 15,264s Þ que T = 2,54s(+ -)0,04s Medición n° 2 Tiempo de 6 oscilaciones =15,408s Þ que T = 2,57s(+ -)0,04s Medición n° 3 Tiempo de 6 oscilaciones =15,336s Þ que T = 2,56s(+ -)0,04s Medición n° 4 Tiempo de 6 oscilaciones =15,408s Þ que T = 2,57s(+ -)0,04s Promedio = (2,54s + 2,57s + 2,56s + 2,57s) / 4 = 2,56s(+ -)0,04s
Mediciones hechas con sensor y P.C. (gráficos de la posición respecto de t para 3 ángulos diferentes)
4. Obtención del error del instrumento de medición (sensor y P.C.)
Adaptamos un comparador al plano de aluminio con un soporte, luego se procedió a mover el carro de a medio milímetro, los cuales mediamos con el comparador, al mismo tiempo que la P.C. procesaba los datos del sensor. Finalmente maximisamos la gráfica y observamos que la misma tenia un ruido generado por causas externas en el orden de 0,4mm.
Conclusiones: El error del instrumento (D d = 0,4mm).
5. Gráficas y aproximaciones las ecuaciones teóricas
Aproximación de A(t) Forma exponencial: Se pude suponer que la oscilación es en un medio viscoso(aire) esto implicaría que los decaimientos de las amplitudes respecto del tiempo es de forma exponencial (A(t) = Ao.e^-a t).
Gráfico de A(t) con aproximación exponencial Parámetros Valor Errora -0.0092 (+ -)2.1369E-4
Forma lineal: También podemos suponer que el roce con el medio viscoso(aire) es despreciable, de este modo los decaimientos de amplitudes serian de forma lineal(A = D-b t). Esta será la aproximación que usaremos para la determinación de algunas constantes por la simplificación que esto provoca a nuestros problemas, y ya que entre la aproximación lineal y la exponencial existe una mínima diferencia a causa de que la constante de roce viscoso a es muy pequeña.
Gráfico de A(t) con aproximación lineal.
Ecuación: A = D + b t Parámetros Valor Error D 0.56379 (+ -)0.00535b -0.00981 (+ -)4.22202E-4 Nota: Las aproximaciones por mínimos cuadrados se realizaron con Origin 5.0 Por lo visto usaremos la ecuación de movimiento X(t) producto de la forma lineal A(t) con Cos(w t). X(t)=A(t)Cos(w t)+D l donde, D l=m.g.sen(q )/-K, es el desplazamiento de Xo que produce el peso del carro. Pero para mayor comodidad tomaremos Xo=0, entonces la ecuación queda: X(t)=A(t)Cos(w t). X(t)=(Ao-b t)Cos(w t) donde Ao = D – Xo = 0,203m
Gráfico de la ecuación teórica X(t) Decaimiento lineal: X(t)= -(0.203-0.008.t)Cos(2.464.t)
Nota N°1: A la función se la multiplico por –1 solo para una mejor comparación con las experimentales. Nota N°2: los gráficos fueron realizados con Maple V.
Determinación de algunas constantes Coeficiente elástico del resorte(K): K= w ^2.m siendo w =2,46399423 y m=500g (+-)1g K=6,0712676/S2(500g(+-)1g) K=3035,6338 g/S² (+-) 6,07120g/S² K=3,037Kg/S² (+-) 0,006Kg/S²
Frecuencia de oscilación(J ):J = w /2p = 2,46399423/2p = 0,39Hz
Coeficiente de roce dinámico(m d): Si se parte de la ecuación A’=Ao-2Fr/K donde Fr = m d.mgCos(q ) y A’ es la máxima amplitud subsiguiente a Ao, podemos llegar a:m d=A.K/2mgCos(q ) donde A=Ao-A’D d =0.0004m este es el error o ruido de la P.C. al mostrar la posición determinado anteriormente. D A = D d + D d =0,0008mD K = 0,006N/mD m = 0,001KgD q = 1°D g = 0,05 (determinado en el practico de caída libre) g = 9.82 (determinado en el practico de caída libre)
m d = [0,177m.3.037N/m]/2.0.5Kg.9.82m/s2.Cos(12°)=0,0535
Determinación del error D m d:m =m (A,k,m,q )
D m =[(¶ m /¶ A)D A+(¶ m /¶ K)D K+(¶ m /¶ m)D m+(¶ m /¶ q )D q +(¶ m /¶ g)D g] D m =(0,0002+0,0001+0,0002+0,01+0.0001)=0,01 m =0,05(+ -)0,01
Apuntes tomados en la cátedra de física 1. Resnick. Sears Mecánica. Apuntes de estadística y error.
Autor:
Juan José Noldin