Volumen de Tanques Horizontales Cilíndricos, Elípticos y Semiesféricos

¨¨ ¨¨ g ? ¨¨ ¨¨ ¨¨ VOLUMEN DE TANQUES CILÍNDRICOS Y ELÍPTICOS HORIZONTALES

”Ayer cuando estaba sentado en la yeep de mi esposa observé con- cidencialmente varios camiones que transpaortaban varios tipos de cargas (agua, gas y combustible) en tanques cilíndricos pero con diferentes caras laterales: (círculo, elipse y semiesfera) pensé en calcular el volumen de c/u de ellos, como un ejercicio de curio- sidad y este fué el resultado." Ejemplo de la vida real: Analicemos cúal es el volumen almacenado en un ”tanque cilín- drico horizontal", en función del nivel ”H” del líquido, del radio ”R” del recipiente y de la longitud ”L” del mismo. En este caso un tanque de gasolina conducido por un camión. Tanque cilíndrico Grá?co en 3D Diagrama Transversal Este tipo de problema puede abordarse de forma trigonométrica, pero lo haremos por in- tegrales de?nidas ya que abarca toda las situaciones de la altura (H) del ?uido de estudio. (H = D,H = D). Considremos la ecuación de la circunferencia con centro en el origen. Si: x2 + y2 = R2 entonces depejando ”x”: x2 = R2 – y2 ? x = R2 – y2 A = dA = 2xdy = Pero el difrencial del área es: dA = 2xdy por lo tanto; sustituyendo a ”x”:

dA = 2 R2 – y2dy Aplicando integral en ambos lados:

-R+H 2 R2 – y2dy -R

Entonces la primitiva por el cálculo integral por sustitución trigonométrica es: ¨ ¨ ¨ ¨ R ¨ y sen? = y R ,y = Rsen?,? = arcsen y R ,dy = RcosTdT R2 – y2

-R+H -R 2 R2 – y2dy = 2 -R+H -R R2 – (RsenT)2RcosTdT 1

R2 – (-R + H)2 + A =2 $$ $ 2 -$$ $ R $$ (-R) VOLUMEN DE TANQUES CILÍNDRICOS Y ELÍPTICOS HORIZONTALES 2 -R+H -R v R2 – R2sen2TRcosTdT = 2 -R+H -R R2(1 – sen2T)RcosTdT 2 -R+H -R v R2 cosT2cosTdT = 2R2 -R+H -R cos2TdT 2R2 1 2 1 T + sen(2T) 4 -R+H

-R = 2R2 1 2 T+ ¡ 1 4 ¡ (2senTcosT) -R+H

-R 2R 2 1 2 1 T + senTcosT 2 -R+H

-R =2 R2 2 T+ R2 2 v senT 1 – sen2T -R+H

-R Haciendo cambio de variables: 2 R2 2 arcsen y R + R2 && 2 y   R 1 – y2 -R+H

-R =2 R2 2 arcsen y R + Ry 2 1 – y2 -R+H

-R 2 R2 2 arcsen y R + y 2 R2 – y2 -R+H

-R ? 2 y 2 R2 – y2 + R2 2 arcsen y R -R+H

-R Evaluando los límites: (-R+H) 2 R2 2 arcsen -R+H R – -R 2 $$$ 2 + R2 2 arcsen -R R ¡ A = 2 ¡ (-R + H) 2 R2 – (-R + H)2 + ¡ R2 2 arcsen -R + H R + ¡ R2 2 arcsen(-1) R2 2 R A = (-R + H) &&-&&+ 2RH – H2 + R2arcsen -R + H R – R2 -p 2 A = pR2 2 v + (H – R) 2RH – H2 + R2arcsen -R + H R Esta es el área de la base, para encontrar el volumen tenemos que multiplicar por la altura o longitud ”L” del cilindro; por lo tanto la ecuación del volumen será: V = L pR2 2 v + (H – R) 2RH – H2 + R2arcsen -R+H R (1) 2

VOLUMEN DE TANQUES CILÍNDRICOS Y ELÍPTICOS HORIZONTALES

Calcular el volumen de un tanque de de gasolina cilíndrico que transporta un camión. Si las dimensiones del mismo son: 2m de diámetro, 10m de longitud y la gasolina en el tanque llena un 30% de su diámetro. Sustituyendo las variables de la 1 ecuación anterior V = 10m p(1m)2 2 + (0.6m – 1m) 2(1m × 0.6m) – (0.6m)2 + (1m)2arcsen -1m + 0.6m 1m v V = 10m 1.570m2 – (0.4m) 0.84m2 + (1m2)arcsen(-0.4)

El seno inverso debe ser aplicado en modo de radianes

V = 10m 1.570m2 – 0.3666m2 + 1m2(-0.4115)

v = 10m(0.7919m2)

v = 7.919m3

En términos de litros y galones, teniendo en cuenta que: 1m3 =

7.919m3 = 1000 Litros 264.172 Galones (US)

7,919 Litros 2,092.97 Galones (US) También se puede expresar por cálculo múltivariable, pero como los límites de la integral interior son los mismos, solo cambian de signo, es decir son simétricos con respecto al eje ”x” se puede expresar: v = 2z -R+H -R v R2-y2 0 dxdy ? -R+H -R v R2-y2 0 z 0 dzdxdy "Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano." (Sir.Isaac Newton) 3

a2 2 (b – y2) ? x = b ¨¨ ¨¨ g ? b¨¨¨ ¨¨ – (bsenT) bcosTdT = av 2 VOLUMEN DE TANQUES CILÍNDRICOS Y ELÍPTICOS HORIZONTALES

Consideremos ahora un Tanque de agua ”cilíndrico elíptico horizontal" con las siguientes dimensiones: largo 10m, el eje mayor a = 6m, eje menor b = 4m y la altura del agua H = 2m. Calcular la ecuación que de?ne el volumen en función de de la altura y el volumen del mismo. Tanque Elíptico Diagrama Transversal Si: x2 a2 + y2 b2 = 1 entonces depejando ”x”: x2 = a2 1 – y2 b2 ? x = 2 a b b2 – y2 Pero el difrencial del área es: dA = 2xdy por lo tanto; sustituyendo a ”x”: a b b2-y2 dy dA = 2

Aplicando integral en ambos lados: A = dA = 2xdy = 2 a

-p 2 a b b2-y2 dy Entonces la primitiva por el cálculo integral por sustitución trigonométrica de: ¨ ¨ ¨ ¨¨ ¨ b2 – y2 y sen? = y b ,y = bsen?,? = arcsen y b ,dy = bcosTdT a

-p 2 a b b2 – y2dy = a

-p 2 a b b2 2 a

-p 2 b b – b2sen2TbcosTdT a

-p 2 a b b2(1 – sen2T)bcosTdT = a

-p 2 a b b2(1 – sen2T)bcosTdT = a

– p 2 b2 b a v ¡ cos2TdTcosTdT a

– p 2 (ab)cos2TdT = ab a

-p 2 cos2TdT = 2ab 1 2 1 T + sen(2T) 4 a

– p 2 2ab 1 2 T+ ¡ 1 4 ¡ 2senTcosT a

– p 2 ¡ = 2ab ¡ 1 2 ¡ 1 T + senTcosT 2 a

-p 2 = ab | T + senTcosT |- p a 2 4

$$$ + sen$$$ cos VOLUMEN DE TANQUES CILÍNDRICOS Y ELÍPTICOS HORIZONTALES ab a + sen(a)cos(a) – – p 2 + sen – p 2 cos – p 2 = a + sen(a)cos(a) + p 2 p p$ $$ 2 2 ab a + p 2 + sen(a)cos(a) = a + p 2 v + sen(a) 1 – sen2a Pero: y = bsen(a) ? (H – b) = bsen(a) ? H – b b = sen(a) ? H b – 1 = sen(a) Entonces: a = arcsen H b – 1 en radianes. Sustituyendo: ? ab?arcsen H b – 1 + p 2 + H b – 1 1 – H b – 1 2 ? ? ab p 2 + arcsen H b – 1 + H b – 1 H b 2 – H b Multiplicando el área por la longitud ”L” obtenemos: v = L p 2 ab + (ab)arcsen H b – 1 + (ab) H b – 1 H b 2 – H b (2) Resolviendo el problema anterior sustituyendo las variables ( L,a,b,H ) en 2 la ecuación de volumen: v = 10m p 2 (6m × 4m) + (6m × 4m)arcsen 2m 4m – 1 + (6m × 4m) 2m 4m – 1 2m 4m 2 – 2m 4m v = 10m p 2 v (24m2) + (24m2)arcsen(-0.5) + (24m2)(-0.5) 0.75 v = 10m 12m2p – 12.5566m2 – 10.3923m2

v = 10m(37.699m2 – 22.9489m2)

v = 147.5m3 ˜ 147,500 litros ˜ 38,965.37 Galones 1 1 Recordar: el seno es una función impar y el coseno es par ; sen2x = 2senxcosx; cosx = v 1 – sen2x 5

1-y2 1- y2 VOLUMEN DE TANQUES CILÍNDRICOS Y ELÍPTICOS HORIZONTALES

Nota: Es sencillo veri?car que con H = 0 (tanque vacío), H = b (medio tanque lleno) ó H = 2b (tanque lleno) la fórmula satisface los resultados esperados.

También se puede expresar por cálculo múltivariable, pero como los límites de la integral interior son los mismos solo cambian de signo por simetría se expresa: v = 2z H -b a b 2 b 0 dxdy ? H -b a b 2 b 0 z 0 dzdxdy Sólo con introducir una sonda ” vara testigo” para saber la altura del ?uido en estos reci- pientes, y medir las dimensiones de una de sus caras laterales junto a la longitud del prisma podemos obtener el volumen, para el cáculo en ”EXCEL” pinchar el campo de Matemáticas, archivo (”volumenes”) en: https://sites.google.com/site/franciscocabreramsc/

Para cultura general: Para un cilíndro de longitud ”L”, radio ”R”, con ”casquetes semiesféricos" en ambos extre- mos, el volumen para una altura ”H” de líquido es: V = L R2arccos R-H R – (R – H)(R)sen arccos R-H R + ph2(3R-H) 3 (3) Tanque semi-esférico I Tanque semi-esférico II 2 "No puedes enseñarle nada a un hombre, solo puedes ayudarlo a descubrirlo por sí mismo." (Galileo Galilei)

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Recordar: el volumen de un casquete semi-esférico: v = 13ph2(3R – H)

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