Deducción de las fórmulas de Erlang, Engset y Pascal (página 2)

Enviado por Omar Esteban Le�n Ullauri

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La distribución de tiempo es una distribución exponencial.

El número de estados se vuelve [n+1], y el diagrama de la transición de estados se muestra en Figura 2.

Figura 2.Diagrama de la transición de estados para un sistema con un número limitado de fuentes (n), procesos de llegada de Poisson (λ) y los tiempos de retensión exponenciales (μ)

Tenemos las mismas ecuaciones cortadas que en caso de Poisson (Ec 3), pero el número de estados está limitado y la condición de normalización dada en la ecuación condicional (Ec. 4) se convierte en:

(Ec. 6)

Tenemos así la distribución truncada de Poisson, o llamada también la primera fórmula de Erlang.

(Ec. 7)

El nombre de truncado significa que en realidad puede ser interpretado como la Distribución de Poisson condicional p(i|i≤n). Esto se aprecia mejor si multiplicamos el numerador y denominador por e-A.

En literatura más vieja en teoría del teletrafico la fórmula de Poisson truncado se conoce también como distribución de Erlang.

Para evitar confusión, este nombre debe sólo se usado para una suma de k distribuciones exponenciales (distribución pendiente o Erlank-k).

La probabilidad que todos los canales n están ocupados en un punto del azar de tiempo es igual al tiempo en el que todos los canales están ocupados (promedio de tiempo). Esto se obtiene de la (Ec.7) para cuando i=n

(Ec. 8)

Ésta es la famosa fórmula de Erlang B. (congestión de llamadas)

Es denotado por En(A) = E1;n(A), donde el 1 se refiere a que es la primera fórmula de Erlang.

FÓRMULA DE ENGSET

Parte de la distribución binomial

Considerando un sistema un número limitado S de fuentes (subscriptores). La fuente cambia entre los estados ocioso y ocupado. Una fuente está ociosa un intervalo de tiempo que es exponencialmente distribuido con intensidad , y la fuente que está ocupada tiene una distribución exponencialmente distribuida con intervalos de tiempo con intensidad . Este tipo de fuente se llama una fuente esporádica o una fuente del on/off. El número total de canales n en esta sección es asumida que sea mayor que o iguala al número de fuentes (n≥S), para que ninguna llamada se pierda. Tanto n y S se asumen como valores enteros, pero es posible tratar con valores no enteros.

Figura 3: Cada fuente individual ociosa u ocupada, se comporta independiente de todas las otras fuentes.

Ecuaciones de equilibrio

Figura 4: Diagrama de la transición de Estados para el caso Binomial. El número de fuentes S es menor al número de circuitos n (n≥ S).

Estamos sólo interesados en el p(i), y basamos nuestros cálculos en la transición de estados como se indica en la Fig. 4. Consideramos un corte entre estados vecinos y encontramos

(Ec 9)

Expresando a través de p(0): Este es el inicio del análisis combinatorio para la deducción de la fórmula de Engset.

El total de todas las probabilidades debe ser igual a 1 (ecuación de normalización)

(Ec. 10)

Con la expansión del binomio y haciendo β=λ/μ tenemos

(Ec. 11)

El parámetro β es el tráfico ofrecido por la fuente ociosa (es el número de intentos de la llamada por la unidad de tiempo para una fuente ociosa), encontramos:

(Ec. 12)

Donde

La ecuación 12 es la Distribución binomial, base para deducir Engset, hay que notar el análisis combinatorio que involucra.

Cuando un intento de llamada de una fuente ociosa nunca se bloquea, el α es igual al trαfico llevado por la fuente α= que es equivalente a la probabilidad que una fuente está ocupada a un momento cualquiera.

Un ciclo desde el inicio de un estado ocupado, hasta el inicio del siguiente estado ocupado, es representativo en la escala de tiempo, y los promedios de tiempo se obtienen promediando más de un ciclo. Para un sistema con bloqueo tenemos un α≠

En teoría del teletrafico se llama a veces Distribución de Bernoulli, pero esto debe evitarse cuando en estadísticas usamos este nombre para una distribución que involucre dos puntos.

La Ecuación 12 puede ser derivada a través de consideraciones elementales. Todos los subscriptores pueden separarse en dos grupos (fig. 3): los subscriptores ociosos y los subscriptores ocupados.

La probabilidad que un subscriptor arbitrario se clasifique en "ocupado" es α= que es independiente del estado de todos los otros subscriptores; el sistema no tienen ningún bloqueo y los intentos de llamadas siempre se aceptan.

Hay S suscriptores en total (fuentes) y la p(i) de que i fuentes estén ocupadas en un tiempo determinado está dado por la Distribución Binomial.

Distribución de Engset

La única diferencia comparando con la Distribución Binomial, es que ahora el número de fuentes S es mayor al número de troncales (n < S). Por consiguiente, puede haber congestión.

Figura 5 El caso de Engset. Diagrama de la transición de estados para el caso de Engset con

S > n, donde S es el número de fuentes y n es el número de canales.

Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones cortadas son idénticas a (Ec 9), pero ellos sólo existen para

0 ≤ i ≤ n (Fig 5). La ecuación de normalización ( Ec. 10) se vuelve:

y permitiendo β=λ/μ las probabilidades estatales se vueltas:

(Ec. 13)

Se puede usar

Y reescribirlo de manera análogo a la (Ec .12):

(Ec. 14)

Que es llamada Distribución Binomial Truncada o Distribución de Engset

Características del tráfico de Engset

La Engset-distribución produce cálculos más complicados que el sistema de pérdida de Erlang.

El problema principal es el entendimiento de las definiciones:

Congestión de tiempo E: Por definición es igual al tiempo que el sistema se bloquea para los nuevos intentos de la llamada

(Ec. 15)

Esta es la ecuación que pretendíamos demostrar

Congestión de llamada B: Por definición es igual a los intentos de llamada que se pierden. Solo los intentos de llamada que llegan al sistema en estado n se bloquean.

Durante una unidad de tiempo conseguimos la relación entre el número de intentos de llamada bloqueada y el número total de intentos de llamada:

Desde

Por consiguiente, se tiene

(Ec. 16)

Este resultado puede interpretarse como sigue: La probabilidad que un intento de llamada de una fuente al azar que se rechaza, es igual a la probabilidad de que las S-1 fuentes restantes ocupen todos los n canales. Esto se llama el teorema de la llegada, y puede mostrarse para ser válido para cualquiera sistema (pérdida y " retraso) con un número limitado de fuentes.

FÓRMULA DE PASCAL

Llamado también Binomio Negativo

En el caso del Binomio la intensidad de la llegada disminuye linealmente cuando el número de fuentes ocupadas aumenta linealmente con el número de fuentes ocupadas.

La intensidad de la llegada en i estados se da por:

(Ec. 17)

donde y S son constantes positivas. Se asume que el tiempo de espera es exponencialmente distribuido con intensidad .

Figura.6: Diagrama de transición de estados para Pascal (Binomio Negativo truncado)

Asumimos que el número de canales es infinito. Preparamos una transición de estados de la Fig 6 con n infinito y encontramos las probabilidades de estados que sólo existen para

< (Ec 18)

Obtenemos:

(Ec 19)

Donde

(Ec 20)

La Fórmula 19 es la distribución Binomio Negativa (Distribución de Pascal)

Las características del tráfico de este modelo son obtenidas por una substitución apropiada de parámetros de la distribución del Binomio.

Un caso más realista es la distribución de Pascal Truncada

Consideramos los mismos procesos de tráfico que en el caso anterior, pero ahora restringimos el número de servidores a un número limitado n. La restricción de la (Ec 18) es trivial cuando nosotros siempre obtendremos equilibrio estadístico con un número de estados finitos.

El diagrama de la transición de estados es mostrado en la Figura 6, y las probabilidades de cada estado están dadas por:

(Ec 21)